記事ソース/ラグランジュの運動方程式を確認しよう!
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=========================================================...
ラグランジュの運動方程式を確認しよう!
=========================================================...
目的と方針
===========
ラグランジュの運動方程式は,いろんな座標で成り立つから便...
使ってて気持ち悪いなあとか,思うことってありませんか?
ラグランジュの運動方程式を導出する方法のひとつに,ダラン...
一般座標の式に持っていくという方法があります.でも,計算...
自力で最後までたどり着くのは結構大変ですよね.
そこで,変分法 [*]_ を用いて自力でラグランジュの運動方程...
みましょう!
次の方針で示すことにします.前提として,デカルト座標では...
成立するということは,認めることにしましょう [*]_ .そこ...
座標で運動を表してもデカルト座標で表したことと同値なんだ...
そうすれば,どの座標系でもラグランジュの運動方程式が成り...
では,早速やってみましょう!
.. [*]
この記事では,変分法について細かい内容は扱いません...
.. _変分法1: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/var...
.. [*]
デカルト座標だと成り立つの?っていう人は, ラグラン...
.. _ラグランジュの運動方程式: http://www12.plala.or.jp/k...
変分法を使う準備
==================
できるだけ一般的な運動を扱って行くことにしましょう.考え...
が時刻 $ t=t_1 $ から時刻 $ t=t_2 $ の間にどのような運動...
このとき,粒子の運動は $n$ 個の変数で記述できるので,それ...
運動の出発点と終着点は決めてしまいます.この2点を結ぶ任意...
この力学系を表すラグランジアンを $L(q(t),\dot{q}(t))$ も...
天下り的になりますが,作用と呼ばれる量 $I$ を次のように定...
<tex>
I[C_s] = \int_{t_1}^{t_2} L(q(t,C_s),\dot{q}(t,C_s)) \mat...
</tex>
作用 $I$ が極値や鞍点などの停留点をとる条件(すなわち $\de...
たどり着くことができます.
この作用 $I$ は,一体なんだ?と思うかもしれませんが,ここ...
考えてみただけと割り切って,先に進んでみましょう. [*]_
.. [*] この背後には,''実際にその運動が起こるとき,作用 ...
ラグランジュの運動方程式
==========================
ここでは,質点系はポテンシャルによる力のみを受けて運動し...
上のセクションで作用 $ I $ を導入しました. $ I $ が停留...
さて,では経路を微小量だけずらしてみたらどうでしょう.こ...
このとき,実際の運動からの座標のずれを一般に $ \delta q_k...
と終着点は分かっているから,そこでのずれはないものとしま...
<tex>
\delta q_k(t_1) = \delta q_k(t_2) =0 \tag{##}
</tex>
このずれのことを変分と呼び,十分に小さいものとして扱いま...
さて, $I[C]$ の $ I[C_0] $ からのずれを $ \delta I $ と...
<tex>
\delta I &\equiv I[C]-I[C_0] \\
&=\int_{t_1}^{t_2} \left(L(q+\delta q,\dot{q}+\delta \dot...
</tex>
ここで, $ \delta q_k $ が十分に小さいので, $L(q+\delta ...
<tex>
L(q+\delta q,\dot{q}+\delta \dot{q})=L(q,\dot{q})+\sum_{k...
\delta q_k+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\delta \d...
</tex>
よって, $\delta I$ は次式で表せます.
<tex>
\delta I = \int_{t_1}^{t_2}\sum_{k=1}^{n}\left( \left(\fr...
\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right)\delta ...
</tex>
経路変更による変分 $\delta q_k$ と実際に運動したことによ...
<tex>
\delta \dot{q_k}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\delta q_k...
</tex>
が成り立ちます.
つまり,式(4)の右辺第2項は部分積分を用いて次のように変形...
<tex>
\int_{t_1}^{t_2}\sum_{k=1}^{n}\left( \frac{\partial L}{\p...
= \left[ \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\partial L}{\partial \...
- \int_{t_1}^{t_2}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\mathrm{d}}{\...
\right)\delta q_k\mathrm{d}t \tag{##}
</tex>
右辺第1項は,境界条件の式(2)によって $0$ となりますから,...
<tex>
\delta I = \int_{t_1}^{t_2}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\par...
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial ...
</tex>
ここで,停留点をとる条件は,上式が $0$ になることですが,...
<tex>
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial ...
</tex>
となります.やっと,ラグランジュの方程式が出てきました.^^
ここで大事なのは,運動を表す変数の種類を特に指定していない...
わけで,そこには当然デカルト座標も含まれます.デカルト座...
が同じであることは容易に示せますから,結局ラグランジュの...
変分法を使うと,ずいぶんあっさり示すことができてしまいま...
一度身に着けてしまうと解析力学に見通しがずいぶんよくなる...
.. [*] ポテンシャル以外からの力を受けていても,ほぼ同様...
@@author:佑弥@@
@@category:解析力学@@
@@accept:2007-04-11@@
@@id:verifyLagEq@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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ラグランジュの運動方程式を確認しよう!
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目的と方針
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ラグランジュの運動方程式は,いろんな座標で成り立つから便...
使ってて気持ち悪いなあとか,思うことってありませんか?
ラグランジュの運動方程式を導出する方法のひとつに,ダラン...
一般座標の式に持っていくという方法があります.でも,計算...
自力で最後までたどり着くのは結構大変ですよね.
そこで,変分法 [*]_ を用いて自力でラグランジュの運動方程...
みましょう!
次の方針で示すことにします.前提として,デカルト座標では...
成立するということは,認めることにしましょう [*]_ .そこ...
座標で運動を表してもデカルト座標で表したことと同値なんだ...
そうすれば,どの座標系でもラグランジュの運動方程式が成り...
では,早速やってみましょう!
.. [*]
この記事では,変分法について細かい内容は扱いません...
.. _変分法1: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/var...
.. [*]
デカルト座標だと成り立つの?っていう人は, ラグラン...
.. _ラグランジュの運動方程式: http://www12.plala.or.jp/k...
変分法を使う準備
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できるだけ一般的な運動を扱って行くことにしましょう.考え...
が時刻 $ t=t_1 $ から時刻 $ t=t_2 $ の間にどのような運動...
このとき,粒子の運動は $n$ 個の変数で記述できるので,それ...
運動の出発点と終着点は決めてしまいます.この2点を結ぶ任意...
この力学系を表すラグランジアンを $L(q(t),\dot{q}(t))$ も...
天下り的になりますが,作用と呼ばれる量 $I$ を次のように定...
<tex>
I[C_s] = \int_{t_1}^{t_2} L(q(t,C_s),\dot{q}(t,C_s)) \mat...
</tex>
作用 $I$ が極値や鞍点などの停留点をとる条件(すなわち $\de...
たどり着くことができます.
この作用 $I$ は,一体なんだ?と思うかもしれませんが,ここ...
考えてみただけと割り切って,先に進んでみましょう. [*]_
.. [*] この背後には,''実際にその運動が起こるとき,作用 ...
ラグランジュの運動方程式
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ここでは,質点系はポテンシャルによる力のみを受けて運動し...
上のセクションで作用 $ I $ を導入しました. $ I $ が停留...
さて,では経路を微小量だけずらしてみたらどうでしょう.こ...
このとき,実際の運動からの座標のずれを一般に $ \delta q_k...
と終着点は分かっているから,そこでのずれはないものとしま...
<tex>
\delta q_k(t_1) = \delta q_k(t_2) =0 \tag{##}
</tex>
このずれのことを変分と呼び,十分に小さいものとして扱いま...
さて, $I[C]$ の $ I[C_0] $ からのずれを $ \delta I $ と...
<tex>
\delta I &\equiv I[C]-I[C_0] \\
&=\int_{t_1}^{t_2} \left(L(q+\delta q,\dot{q}+\delta \dot...
</tex>
ここで, $ \delta q_k $ が十分に小さいので, $L(q+\delta ...
<tex>
L(q+\delta q,\dot{q}+\delta \dot{q})=L(q,\dot{q})+\sum_{k...
\delta q_k+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\delta \d...
</tex>
よって, $\delta I$ は次式で表せます.
<tex>
\delta I = \int_{t_1}^{t_2}\sum_{k=1}^{n}\left( \left(\fr...
\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right)\delta ...
</tex>
経路変更による変分 $\delta q_k$ と実際に運動したことによ...
<tex>
\delta \dot{q_k}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\delta q_k...
</tex>
が成り立ちます.
つまり,式(4)の右辺第2項は部分積分を用いて次のように変形...
<tex>
\int_{t_1}^{t_2}\sum_{k=1}^{n}\left( \frac{\partial L}{\p...
= \left[ \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\partial L}{\partial \...
- \int_{t_1}^{t_2}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\mathrm{d}}{\...
\right)\delta q_k\mathrm{d}t \tag{##}
</tex>
右辺第1項は,境界条件の式(2)によって $0$ となりますから,...
<tex>
\delta I = \int_{t_1}^{t_2}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\par...
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial ...
</tex>
ここで,停留点をとる条件は,上式が $0$ になることですが,...
<tex>
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial ...
</tex>
となります.やっと,ラグランジュの方程式が出てきました.^^
ここで大事なのは,運動を表す変数の種類を特に指定していない...
わけで,そこには当然デカルト座標も含まれます.デカルト座...
が同じであることは容易に示せますから,結局ラグランジュの...
変分法を使うと,ずいぶんあっさり示すことができてしまいま...
一度身に着けてしまうと解析力学に見通しがずいぶんよくなる...
.. [*] ポテンシャル以外からの力を受けていても,ほぼ同様...
@@author:佑弥@@
@@category:解析力学@@
@@accept:2007-04-11@@
@@id:verifyLagEq@@
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