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ラグランジェの未定乗数法
===================================
ラグランジェの未定乗数法というのは、「拘束条件がある関数...
とても重要な計算テクニックなので、ここで紹介します。
この節では、最初にいきなり計算の仕方を紹介します。
計算だけを読んでも覚えにくいと思いますので、最後に例題も...
例題をやりながらまた最初の説明に戻る、ということを何度か...
幾つか問題を解いてみれば、便利さを体感して頂けると思いま...
一回なんとなく理解しておけば、忘れてしまっても、
また使うときに「物理のかぎしっぽ」のページで復習すれば良...
(※変数に付加的な条件式のことを、ここでは拘束条件と呼んで...
計算のしかた(ひととおり)
------------------------------------
まずは $x$ , $y$ , $z$ の三変数の関数 $f(x,y,z)$ の極値を...
<tex>
\displaystyle {\partial f\over \partial x}
={\partial f\over \partial y}
={\partial f\over \partial z}
=0 \tag{1}
</tex>
ここで $x$ , $y$ , $z$ が互いに独立ならば話は簡単で、
偏導関数 $f_{x}$ , $f_{y}$ , $f_{z}$ を連立して解けば良い...
( $f$ の右下に小さく $x$ とか $y$ とか書いてあるのは、
$f$ を $x$ や $y$ で偏微分したという略記号です。慣れてお...
$f$ はもちろん微分可能な関数だとします。
難しいのは、なんらかの拘束条件がある場合です。
拘束条件があると、 $x$ , $y$ , $z$ は互いに独立ではないの...
それぞれ勝手に偏微分することが出来ないからです。
拘束条件は $x$ , $y$ , $z$ の関数ですから、一般に式(2)の...
<tex>
g(x,y,z)=c \tag{2}
</tex>
(2)式がある一つの変数に対して陽に解けてしまうことがあるか...
それならば(1)式と(2)式を連立して、変数を一つ消せばいいだ...
これから考えるのは特に(2)式が陽に解けないような場合です。
(※陽に解くというのは、 $g(x,y)=0$ のような形をしていた関数
を式変形して $x=h(y)$ のような形にすることです。)
関数 $f$ 、 $g$ は極値近傍で次の式を満たすと考えられます。
<tex>
df &= {\partial f\over \partial x}
dx+{\partial f\over \partial y}
dy+{\partial f\over \partial z}
dz=0 \tag{3} \\
dg &= {\partial g\over \partial x}
dx+{\partial g\over \partial y}
dy+{\partial g\over \partial z}
dz=0 \tag{4}
</tex>
(3)式と(4)式は見かけは同じですが、違うのは関数の名前だけ...
本質的に式の意味することが異なることをここで理解しておく...
普通の日本語に直すと、(3)式が意味するのは「関数 $f$ が極...
一方、(4)式が意味するのは「拘束条件 $g$ が
あるので、 $x$ , $y$ , $z$ は互いに勝手には動けない」とい...
だから $g$ は極値近傍でなくても(4)式を満たしますね。よく...
ここで、式(3),(4)から形式的に $dz$ を消すような連立をしま...
<tex>
\displaystyle df&=\bigg({\partial f\over \partial x}
-{{\partial g\over \partial x}
\over {\partial g\over \partial z}
}
\cdot {\partial f\over \partial z}
\bigg)dx+\bigg({\partial f\over \partial y}
-{{\partial g\over \partial y}
\over {\partial g\over \partial z}
}
\cdot {\partial f\over \partial z}
\bigg)dy \\
& \equiv \bigg({\partial f\over \partial x}
-\lambda {\partial g\over \partial x}
\bigg)dx+\bigg({\partial f\over \partial y}
-\lambda {\partial g\over \partial y}
\bigg)dy=0 \tag{5}
</tex>
<tex>
\lambda = \frac{\frac{\partial f}{\partial z}}{\frac{\par...
</tex>
(5)式はすでに条件式(2)を中に含んでいるので、外部にはもう...
つまり、(5)式の $x$ と $y$ は独立変数になっているというこ...
こうなればしめたものです。 $dx$ と $dy$ がそれぞれ勝手に...
「右辺 $=0$ 」が成り立つならば、中辺に含まれる括弧は
それぞれ恒等的に零になっている、と考えることができますね。
(5) ⇔
<tex>
\displaystyle {\partial f\over \partial x}
-\lambda {\partial g\over \partial x}
=0 \tag{7}
</tex>
<tex>
{\partial f\over \partial y}
-\lambda {\partial g\over \partial y}
=0 \tag{8}
</tex>
また(6)式は次のように書き換えられます。
(6) ⇔
<tex>{\partial f\over \partial z}-\lambda {\partial g\ove...
=0 \tag{9}
</tex>
ここで $f-\lambda g=\widetilde{f}$ と置けば、式(7)(8)(9)...
( $f$ の上に〜がついていますが、これはエフ・チルダと読み...
(7)(8)(9) ⇔
<tex>
\displaystyle {\partial \widetilde f\over \partial x}
=0,\ {\partial \widetilde f\over \partial y}
=0,\ {\partial \widetilde f\over \partial z}
=0
</tex>
これは関数 $\widetilde{f}$ に関する極値問題です。
しかもここで、 $x$ , $y$ , $z$ には何も拘束条件が課せられ...
普通にそれぞれ $\widetilde{f}$ の導関数を連立して解けば良...
なんだか魔法のように拘束条件が見えなくなってしまいました。
これがラグランジェの未定乗数法というテクニックです。
まとめ
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
今までやったことを一言で書くと『拘束条件 $g$ のある関数 $...
拘束条件の無い $\widetilde{f}=f-\lambda g$ の極値問題に変...
ただし、未知数が $x$ , $y$ , $z$ , $\lambda$ の4つに増え...
普通は、変数や式の数は少ない方が計算が楽ですから、なるべ...
しかし、自由に微分の計算が出来ないことはもっと不便ですか...
反対にわざと変数の数を増やして、その代わり自由に微分が出...
今までの計算で何をやっていたのかというと、そういうことだ...
補足
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
ここでは $\lambda$ の物理的意味は曖昧で、単に数学的なテク...
として登場した変数のように見えるますが、実際の物理の問題...
は $\lambda$ が重要な意味を持つ物理量になっていることが少...
注意
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
ラグランジェの未定乗数法が使えない場合があります。
それは、極値を与える $x,y,z$ の組に対して $f_{x}=f_{y}=f_...
このとき、式(7)(8)(9)を連立しても $\lambda$ を決めること...
発展
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
拘束条件が複数ある場合には次式のようにおけばよいのです。
<tex>
\widetilde{f}=f-\lambda _{1}g_{1}-\lambda _{2}g_{2}- \dots
</tex>
例題
---------------------------------------------
例題1.[楕円に内接する四角形の面積]
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
『長径2a,短径2bの楕円に内接する長方形の面積の最大値を求め...
.. image:: Joh-Lag2.png
解答
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
四角形の面積を $f(x,y)$ 、楕円に内接するという拘束条件を ...
<tex>
\displaystyle f(x,y)=4xy
</tex>
<tex>
g(x,y)= {x^{2}\over a^{2}}
+{y^{2}\over b^{2}}
=1
</tex>
未定乗数 $\lambda$ を導入して、 $f$ から $\tilde f$ に変...
<tex>
\displaystyle \widetilde{f}=f-\lambda g=4xy-\lambda {x^{2...
-\lambda {y^{2}\over b^{2}}
</tex>
このとき、次の三式を $x$ , $y$ , $\lambda$ を独立変数のよう
に見なして連立すればよいだけです。式が3本、変数が3つで...
<tex>
& {\partial \widetilde{f} \over \partial x}
=4y-\lambda {2x\over a^{2}}
=0 \\
& {\partial \widetilde{f}\over \partial y}
=4x-\lambda {2y\over b^{2}}
=0 \\
& {x^{2}\over a^{2}}
+{y^{2}\over b^{2}}
=1
</tex>
これより次の結果を得ます。
<tex>
& x={a\over \sqrt {2}},\ y={b\over \sqrt {2}} ,\ \lambda ...
& S_\mathrm{max}=2ab
</tex>
はい、これで楕円に内接する四角形の最大値が出ました。 !(^^)!
でも、ちょっと待てよ、と思った読者の方はいませんか?
実は、ここで求めたのは、楕円に内接する四角形の「極値」に...
単に極値と言えば、極小値や変曲点も含まれますので、
数学的にはこの計算からだけでは「最大値」を求めたとは言え...
しかし、楕円に内接する四角形の面積が極値を持つとすれば、
それは直感的に最大値だけです。一般に関数の二次導関数まで...
物理学では直感的に明らかな問題に対しては、一次導関数を調...
最大だ、最小だ、と決めてしまうことがよくあるのです。
物理学の計算では「直感的に当たり前のことは手間を省く」と...
直感的に明らかで無い問題の場合には、きちんと二次導関数も...
例題.2
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
『二つの実数 $x$ , $y$ が $2x+y=8$ を満たすとき、 $xy$ の...
解答
~~~~~~~~~~~~~~
<tex>
f &= xy \tag{1}\\
g &= 2x+y=8 \tag{2}
</tex>
とおきます。このとき $\tilde f = f - \lambda g = xy-\lamb...
次の計算をすればいいというのは、もう大丈夫ですね。
<tex>
\frac{\partial \widetilde{f}}{\partial x} &= y-2\lambda=0...
\frac{\partial \widetilde{f}}{\partial y} &= x-\lambda=0 ...
</tex>
式(2),(3),(4)を連立すると、 $x=2$ , $y=4$ , $\lambda=2$ ...
<tex>
f_\mathrm{max}=8
</tex>
はい、これで最大値が出ました。 !(^^)!
……答は合ってるんですけど、実は、これは少しひっかけ問題で、
何もラグランジェの未定乗数法を使わなくても
次のように二次方程式の平方完成で簡単に解けてしまうのでし...
実は高校生の数Iから拾ってきた問題だったのです。
<tex>
xy &= x(-2x+8)\\
&= -2(x-2)^{2}+8
</tex>
最大値は $x=2$ の時、 8 になることがわかります。
大学生の人へ
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
ラグランジェの未定乗数法を使うと、大抵の条件付最大最小問...
しかし、慣れてくると、逆に簡単な方法を忘れてしまったりす...
高校生・受験生の人へ
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
最大・最小問題の解き方には相加相乗平均を使うとか色々なテ...
難しいと思います。ラグランジェの未定乗数法で大抵の問題は...
難しいのがあったら、こっそり使って検算しましょう。
@@author:Joh@@
@@accept:2005-02-06@@
@@category:物理数学@@
@@id:lagrangeUndetermin@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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ラグランジェの未定乗数法
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ラグランジェの未定乗数法というのは、「拘束条件がある関数...
とても重要な計算テクニックなので、ここで紹介します。
この節では、最初にいきなり計算の仕方を紹介します。
計算だけを読んでも覚えにくいと思いますので、最後に例題も...
例題をやりながらまた最初の説明に戻る、ということを何度か...
幾つか問題を解いてみれば、便利さを体感して頂けると思いま...
一回なんとなく理解しておけば、忘れてしまっても、
また使うときに「物理のかぎしっぽ」のページで復習すれば良...
(※変数に付加的な条件式のことを、ここでは拘束条件と呼んで...
計算のしかた(ひととおり)
------------------------------------
まずは $x$ , $y$ , $z$ の三変数の関数 $f(x,y,z)$ の極値を...
<tex>
\displaystyle {\partial f\over \partial x}
={\partial f\over \partial y}
={\partial f\over \partial z}
=0 \tag{1}
</tex>
ここで $x$ , $y$ , $z$ が互いに独立ならば話は簡単で、
偏導関数 $f_{x}$ , $f_{y}$ , $f_{z}$ を連立して解けば良い...
( $f$ の右下に小さく $x$ とか $y$ とか書いてあるのは、
$f$ を $x$ や $y$ で偏微分したという略記号です。慣れてお...
$f$ はもちろん微分可能な関数だとします。
難しいのは、なんらかの拘束条件がある場合です。
拘束条件があると、 $x$ , $y$ , $z$ は互いに独立ではないの...
それぞれ勝手に偏微分することが出来ないからです。
拘束条件は $x$ , $y$ , $z$ の関数ですから、一般に式(2)の...
<tex>
g(x,y,z)=c \tag{2}
</tex>
(2)式がある一つの変数に対して陽に解けてしまうことがあるか...
それならば(1)式と(2)式を連立して、変数を一つ消せばいいだ...
これから考えるのは特に(2)式が陽に解けないような場合です。
(※陽に解くというのは、 $g(x,y)=0$ のような形をしていた関数
を式変形して $x=h(y)$ のような形にすることです。)
関数 $f$ 、 $g$ は極値近傍で次の式を満たすと考えられます。
<tex>
df &= {\partial f\over \partial x}
dx+{\partial f\over \partial y}
dy+{\partial f\over \partial z}
dz=0 \tag{3} \\
dg &= {\partial g\over \partial x}
dx+{\partial g\over \partial y}
dy+{\partial g\over \partial z}
dz=0 \tag{4}
</tex>
(3)式と(4)式は見かけは同じですが、違うのは関数の名前だけ...
本質的に式の意味することが異なることをここで理解しておく...
普通の日本語に直すと、(3)式が意味するのは「関数 $f$ が極...
一方、(4)式が意味するのは「拘束条件 $g$ が
あるので、 $x$ , $y$ , $z$ は互いに勝手には動けない」とい...
だから $g$ は極値近傍でなくても(4)式を満たしますね。よく...
ここで、式(3),(4)から形式的に $dz$ を消すような連立をしま...
<tex>
\displaystyle df&=\bigg({\partial f\over \partial x}
-{{\partial g\over \partial x}
\over {\partial g\over \partial z}
}
\cdot {\partial f\over \partial z}
\bigg)dx+\bigg({\partial f\over \partial y}
-{{\partial g\over \partial y}
\over {\partial g\over \partial z}
}
\cdot {\partial f\over \partial z}
\bigg)dy \\
& \equiv \bigg({\partial f\over \partial x}
-\lambda {\partial g\over \partial x}
\bigg)dx+\bigg({\partial f\over \partial y}
-\lambda {\partial g\over \partial y}
\bigg)dy=0 \tag{5}
</tex>
<tex>
\lambda = \frac{\frac{\partial f}{\partial z}}{\frac{\par...
</tex>
(5)式はすでに条件式(2)を中に含んでいるので、外部にはもう...
つまり、(5)式の $x$ と $y$ は独立変数になっているというこ...
こうなればしめたものです。 $dx$ と $dy$ がそれぞれ勝手に...
「右辺 $=0$ 」が成り立つならば、中辺に含まれる括弧は
それぞれ恒等的に零になっている、と考えることができますね。
(5) ⇔
<tex>
\displaystyle {\partial f\over \partial x}
-\lambda {\partial g\over \partial x}
=0 \tag{7}
</tex>
<tex>
{\partial f\over \partial y}
-\lambda {\partial g\over \partial y}
=0 \tag{8}
</tex>
また(6)式は次のように書き換えられます。
(6) ⇔
<tex>{\partial f\over \partial z}-\lambda {\partial g\ove...
=0 \tag{9}
</tex>
ここで $f-\lambda g=\widetilde{f}$ と置けば、式(7)(8)(9)...
( $f$ の上に〜がついていますが、これはエフ・チルダと読み...
(7)(8)(9) ⇔
<tex>
\displaystyle {\partial \widetilde f\over \partial x}
=0,\ {\partial \widetilde f\over \partial y}
=0,\ {\partial \widetilde f\over \partial z}
=0
</tex>
これは関数 $\widetilde{f}$ に関する極値問題です。
しかもここで、 $x$ , $y$ , $z$ には何も拘束条件が課せられ...
普通にそれぞれ $\widetilde{f}$ の導関数を連立して解けば良...
なんだか魔法のように拘束条件が見えなくなってしまいました。
これがラグランジェの未定乗数法というテクニックです。
まとめ
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
今までやったことを一言で書くと『拘束条件 $g$ のある関数 $...
拘束条件の無い $\widetilde{f}=f-\lambda g$ の極値問題に変...
ただし、未知数が $x$ , $y$ , $z$ , $\lambda$ の4つに増え...
普通は、変数や式の数は少ない方が計算が楽ですから、なるべ...
しかし、自由に微分の計算が出来ないことはもっと不便ですか...
反対にわざと変数の数を増やして、その代わり自由に微分が出...
今までの計算で何をやっていたのかというと、そういうことだ...
補足
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
ここでは $\lambda$ の物理的意味は曖昧で、単に数学的なテク...
として登場した変数のように見えるますが、実際の物理の問題...
は $\lambda$ が重要な意味を持つ物理量になっていることが少...
注意
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
ラグランジェの未定乗数法が使えない場合があります。
それは、極値を与える $x,y,z$ の組に対して $f_{x}=f_{y}=f_...
このとき、式(7)(8)(9)を連立しても $\lambda$ を決めること...
発展
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
拘束条件が複数ある場合には次式のようにおけばよいのです。
<tex>
\widetilde{f}=f-\lambda _{1}g_{1}-\lambda _{2}g_{2}- \dots
</tex>
例題
---------------------------------------------
例題1.[楕円に内接する四角形の面積]
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
『長径2a,短径2bの楕円に内接する長方形の面積の最大値を求め...
.. image:: Joh-Lag2.png
解答
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
四角形の面積を $f(x,y)$ 、楕円に内接するという拘束条件を ...
<tex>
\displaystyle f(x,y)=4xy
</tex>
<tex>
g(x,y)= {x^{2}\over a^{2}}
+{y^{2}\over b^{2}}
=1
</tex>
未定乗数 $\lambda$ を導入して、 $f$ から $\tilde f$ に変...
<tex>
\displaystyle \widetilde{f}=f-\lambda g=4xy-\lambda {x^{2...
-\lambda {y^{2}\over b^{2}}
</tex>
このとき、次の三式を $x$ , $y$ , $\lambda$ を独立変数のよう
に見なして連立すればよいだけです。式が3本、変数が3つで...
<tex>
& {\partial \widetilde{f} \over \partial x}
=4y-\lambda {2x\over a^{2}}
=0 \\
& {\partial \widetilde{f}\over \partial y}
=4x-\lambda {2y\over b^{2}}
=0 \\
& {x^{2}\over a^{2}}
+{y^{2}\over b^{2}}
=1
</tex>
これより次の結果を得ます。
<tex>
& x={a\over \sqrt {2}},\ y={b\over \sqrt {2}} ,\ \lambda ...
& S_\mathrm{max}=2ab
</tex>
はい、これで楕円に内接する四角形の最大値が出ました。 !(^^)!
でも、ちょっと待てよ、と思った読者の方はいませんか?
実は、ここで求めたのは、楕円に内接する四角形の「極値」に...
単に極値と言えば、極小値や変曲点も含まれますので、
数学的にはこの計算からだけでは「最大値」を求めたとは言え...
しかし、楕円に内接する四角形の面積が極値を持つとすれば、
それは直感的に最大値だけです。一般に関数の二次導関数まで...
物理学では直感的に明らかな問題に対しては、一次導関数を調...
最大だ、最小だ、と決めてしまうことがよくあるのです。
物理学の計算では「直感的に当たり前のことは手間を省く」と...
直感的に明らかで無い問題の場合には、きちんと二次導関数も...
例題.2
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
『二つの実数 $x$ , $y$ が $2x+y=8$ を満たすとき、 $xy$ の...
解答
~~~~~~~~~~~~~~
<tex>
f &= xy \tag{1}\\
g &= 2x+y=8 \tag{2}
</tex>
とおきます。このとき $\tilde f = f - \lambda g = xy-\lamb...
次の計算をすればいいというのは、もう大丈夫ですね。
<tex>
\frac{\partial \widetilde{f}}{\partial x} &= y-2\lambda=0...
\frac{\partial \widetilde{f}}{\partial y} &= x-\lambda=0 ...
</tex>
式(2),(3),(4)を連立すると、 $x=2$ , $y=4$ , $\lambda=2$ ...
<tex>
f_\mathrm{max}=8
</tex>
はい、これで最大値が出ました。 !(^^)!
……答は合ってるんですけど、実は、これは少しひっかけ問題で、
何もラグランジェの未定乗数法を使わなくても
次のように二次方程式の平方完成で簡単に解けてしまうのでし...
実は高校生の数Iから拾ってきた問題だったのです。
<tex>
xy &= x(-2x+8)\\
&= -2(x-2)^{2}+8
</tex>
最大値は $x=2$ の時、 8 になることがわかります。
大学生の人へ
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
ラグランジェの未定乗数法を使うと、大抵の条件付最大最小問...
しかし、慣れてくると、逆に簡単な方法を忘れてしまったりす...
高校生・受験生の人へ
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
最大・最小問題の解き方には相加相乗平均を使うとか色々なテ...
難しいと思います。ラグランジェの未定乗数法で大抵の問題は...
難しいのがあったら、こっそり使って検算しましょう。
@@author:Joh@@
@@accept:2005-02-06@@
@@category:物理数学@@
@@id:lagrangeUndetermin@@
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