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=================================================
マックスウェル方程式への応用
=================================================
電磁気学の基礎方程式とも言えるのが、 *マックスウェルの方...
<tex>
\nabla \cdot \bm{B} = 0 \tag{1-1}
</tex>
<tex>
\nabla \times \bm{E} = - \frac{\partial \bm{B}}{\partial ...
</tex>
<tex>
\nabla \cdot \bm{E} = \frac{\rho }{\varepsilon _{0}} \tag...
</tex>
<tex>
\nabla \times \bm{B} = \mu _{0}\bm{J} + \mu_{0}\varepsilo...
\frac{\partial \bm{E}}{\partial t} \tag{1-4}
</tex>
ここで、 $\bm{B}$ は磁束密度、 $\bm{E}$ は電場 、 $\bm{J}...
<tex>
\nabla \cdot \bm{D} = \rho \tag{1-3'}
</tex>
<tex>
\nabla \times \bm{H} = \bm{J} +
\frac{\partial \bm{D}}{\partial t} \tag{1-4'}
</tex>
また、式 $(1)$ から波動方程式 $\frac{\partial ^{2}\bm{H}}...
<tex>
\nabla \cdot \bm{B} = 0 \tag{2-1}
</tex>
<tex>
\nabla \times \bm{E} = - \frac{\partial \bm{B}}{\partial ...
</tex>
<tex>
\nabla \cdot \bm{E} = {\rho } \tag{2-3}
</tex>
<tex>
\nabla \times \bm{B} = \bm{j} +
\frac{\partial \bm{E}}{\partial ct} \tag{2-4}
</tex>
.. [*] 極端な話、この記事を読むだけなら、上に出てきたさま...
.. [*] 式 $(1)$ は国際単位系( $SI$ 系)に単位を揃えたとき...
三次元ユークリッド空間上の微分形式
=========================================================...
最初に、微分形式の復習も兼ねて、三次元ユークリッド空間上...
<tex>
E= E_{x}dy \land dz + E_{y}dz \land dx + E_{z}dx \land dy...
</tex>
<tex>
B = B_{x} dx + B_{y} dy + B_{z} dz \tag{3-2}
</tex>
<tex>
j= J_{x}dy \land dz +J_{y}dz \land dx + J_{z}dx \land dy ...
</tex>
このように定義することが適当である理由は、 微分形式の物理...
<tex>
\rho = |\rho | dx \land dy \land dz \tag{3-4}
</tex>
これらを使うと、式 $(2-1)(2-2)(2-3)(2-4)$ の各式は次のよ...
<tex>
d*B = 0 \tag{4-1}
</tex>
<tex>
d*E = - * \dot {B} \tag{4-2}
</tex>
<tex>
dE = \rho \tag{4-3}
</tex>
<tex>
dB = \ddot {E} + j \tag{4-4}
</tex>
確かに、微分形式を使ってマックスウェルの方程式を表現する...
ミンコフスキー空間で表現してみる
=========================================================...
まず、次のような微分形式 $F$ を考えます。これは、ミンコフ...
<tex>
F = E_{x}dx \land cdt + E_{y} dy \land cdt + E_{z} dz \l...
B_{x} dy \land dz + B_{y} dz \land dx + B_{z} dx \land dy...
</tex>
この外微分は、次式のようになります。ここは、丁寧に途中計...
<tex>
dF &= d(E_{x}dx \land cdt + E_{y} dy \land cdt + E_{z} d...
B_{x} dy \land dz + B_{y} dz \land dx + B_{z} dx \land dy...
&=
dE_{x} \land dx \land cdt + dE_{y} \land dy \land cdt + ...
dz \land cdt + dB_{x} \land dy \land dz + dB_{y} \land dz...
+ dB_{z} \land dx \land dy) \\
&=
\left(
\frac{\partial E_{x}}{\partial x}dx +
\frac{\partial E_{x}}{\partial y}dy +
\frac{\partial E_{x}}{\partial z}dz +
\frac{\partial E_{x}}{\partial ct}cdt
\right) dx \land cdt
+
\left(
\frac{\partial E_{y}}{\partial x}dx +
\frac{\partial E_{y}}{\partial y}dy +
\frac{\partial E_{y}}{\partial z}dz +
\frac{\partial E_{y}}{\partial ct}cdt
\right) dy \land cdt \\
& \ \ \ +
\left(
\frac{\partial E_{z}}{\partial x}dx +
\frac{\partial E_{z}}{\partial y}dy +
\frac{\partial E_{z}}{\partial z}dz +
\frac{\partial E_{z}}{\partial ct}cdt
\right) dz \land cdt
+
\left(
\frac{\partial B_{x}}{\partial x}dx +
\frac{\partial B_{x}}{\partial y}dy +
\frac{\partial B_{x}}{\partial z}dz +
\frac{\partial B_{x}}{\partial ct}cdt
\right) dy \land dz \\
& \ \ \ +
\left(
\frac{\partial B_{y}}{\partial x}dx +
\frac{\partial B_{y}}{\partial y}dy +
\frac{\partial B_{y}}{\partial z}dz +
\frac{\partial B_{y}}{\partial ct}cdt
\right) dz \land dx
+
\left(
\frac{\partial B_{z}}{\partial x}dx +
\frac{\partial B_{z}}{\partial y}dy +
\frac{\partial B_{z}}{\partial z}dz +
\frac{\partial B_{z}}{\partial ct}cdt
\right) dx \land dy \\
&=
\left(
\frac{\partial E_{x}}{\partial y}dy +
\frac{\partial E_{x}}{\partial z}dz
\right) dx \land cdt
+
\left(
\frac{\partial E_{y}}{\partial x}dx +
\frac{\partial E_{y}}{\partial z}dz
\right) dy \land cdt
+
\left(
\frac{\partial E_{z}}{\partial x}dx +
\frac{\partial E_{z}}{\partial y}dy
\right) dz \land cdt \\
& \ \ \ +
\left(
\frac{\partial B_{x}}{\partial x}dx +
\frac{\partial B_{x}}{\partial ct}cdt
\right) dy \land dz
+
\left(
\frac{\partial B_{y}}{\partial y}dy +
\frac{\partial B_{y}}{\partial ct}cdt
\right) dz \land dx
+
\left(
\frac{\partial B_{z}}{\partial z}dz +
\frac{\partial B_{z}}{\partial ct}cdt
\right) dx \land dy \\
& =
\left(
\frac{\partial E_{z}}{\partial y} -
\frac{\partial E_{y}}{\partial z} +
\frac{\partial B_{x}}{\partial ct}
\right) dy \land dz \land cdt
+
\left(
\frac{\partial E_{x}}{\partial z} -
\frac{\partial E_{z}}{\partial x} +
\frac{\partial B_{y}}{\partial ct}
\right) dz \land dx \land cdt
+
\left(
\frac{\partial E_{y}}{\partial x} -
\frac{\partial E_{x}}{\partial y} +
\frac{\partial B_{z}}{\partial ct}
\right) dx \land dy \land cdt \\
& \ \ \ +
\left(
\frac{\partial B_{x}}{\partial x} +
\frac{\partial B_{y}}{\partial y} +
\frac{\partial B_{z}}{\partial z}
\right) dx \land dy \land dz
\tag{6}
</tex>
ここで $dF=0$ となるのはどんな場合かと考えてみれば、各基...
<tex>
\frac{\partial E_{z}}{\partial y} -
\frac{\partial E_{y}}{\partial z} +
\frac{\partial B_{x}}{\partial ct}=0 \tag{7-1}
</tex>
<tex>
\frac{\partial E_{x}}{\partial z} -
\frac{\partial E_{z}}{\partial x} +
\frac{\partial B_{y}}{\partial ct}=0 \tag{7-2}
</tex>
<tex>
\frac{\partial E_{y}}{\partial x} -
\frac{\partial E_{x}}{\partial y} +
\frac{\partial B_{z}}{\partial ct}=0 \tag{7-3}
</tex>
<tex>
\frac{\partial B_{x}}{\partial x} +
\frac{\partial B_{y}}{\partial y} +
\frac{\partial B_{z}}{\partial z}
=0 \tag{8}
</tex>
式 $(7)$ は、ベクトル形ではまとめて $\nabla \times \bm{E}...
<tex>
dF =0 \tag{9}
</tex>
美しい!
真空中でのマックスウェルの方程式
=========================================================...
今度は、特に真空(自由空間)中でのマックスウェルの方程式...
【真空(自由空間)におけるマックスウェルの方程式】
<tex>
\nabla \cdot \bm{B} = 0 \tag{10-1}
</tex>
<tex>
\nabla \times \bm{E} = - \frac{\partial \bm{B}}{\partial ...
</tex>
<tex>
\nabla \cdot \bm{E} = 0 \tag{10-3}
</tex>
<tex>
\nabla \times \bm{B} = \frac{\partial \bm{E}}{\partial ct...
</tex>
残りの二本も微分形式で表現することを考えます。(式 $(10-3...
<tex>
*F & =*( E_{x}dx \land cdt + E_{y} dy \land cdt + E_{z}...
+ B_{x} dy \land dz + B_{y} dz \land dx + B_{z} dx \land ...
& = E_{x}dy \land dz + E_{y} dz \land dx + E_{z} dx \lan...
B_{x} dx \land cdt - B_{y} dy \land cdt - B_{z} dz \lan...
</tex>
先ほどと同様に、 $*F$ の外微分を取ります。少し、計算は簡...
<tex>
d*F &= d(E_{x}dy \land dz + E_{y} dz \land dx + E_{z} dx...
B_{x} dx \land cdt - B_{y} dy \land cdt - B_{z} dz \lan...
& = dE_{x} \land dy \land dz + dE_{y} \land dz \land dx ...
&=
\left(
\frac{\partial E_{x}}{\partial x}dx +
\frac{\partial E_{x}}{\partial ct}cdt
\right) dy \land dz +
\left(
\frac{\partial E_{y}}{\partial y}dy +
\frac{\partial E_{y}}{\partial ct}cdt
\right) dz \land dx +
\left(
\frac{\partial E_{z}}{\partial z}dz +
\frac{\partial E_{z}}{\partial ct}cdt
\right) dy \land dz \\
& \ \ \ -
\left(
\frac{\partial B_{x}}{\partial y}dy +
\frac{\partial B_{x}}{\partial z}dz
\right) dx \land cdt -
\left(
\frac{\partial B_{y}}{\partial x}dx +
\frac{\partial B_{y}}{\partial z}dz
\right) dy \land cdt -
\left(
\frac{\partial B_{z}}{\partial x}dx +
\frac{\partial B_{z}}{\partial y}dy
\right) dz \land cdt \\
&= \left(
\frac{\partial E_{x}}{\partial x} +
\frac{\partial E_{y}}{\partial y} +
\frac{\partial E_{z}}{\partial z}
\right) dx \land dy \land dz
-
\left(
\frac{\partial B_{z}}{\partial y} -
\frac{\partial B_{y}}{\partial z} +
\frac{\partial E_{x}}{\partial ct}
\right) dy \land dz \land cdt \\
& \ \ \ -
\left(
\frac{\partial B_{x}}{\partial z} -
\frac{\partial B_{z}}{\partial x} +
\frac{\partial E_{y}}{\partial ct}
\right) dz \land dx \land cdt
-
\left(
\frac{\partial B_{y}}{\partial x} -
\frac{\partial B_{x}}{\partial y} +
\frac{\partial E_{z}}{\partial ct}
\right) dx \land dy \land cdt \tag{12}
</tex>
式 $(10)$ の成分をよく見れば、先ほどと同様、 $d*F=0$ とい...
<tex>
\nabla \cdot \bm{E} = 0 \tag{10-3}
</tex>
<tex>
\nabla \times \bm{B} = \frac{\partial \bm{E}}{\partial ct...
</tex>
つまり、真空中でのマックスウェル方程式は、 $dF=0$ と $d*F...
.. admonition:: theorem
真空中(自由空間中)でのマックスウェルの方程式は、微分形...
ここまで美しい形にまとめられたのも、まさに微分形式の威力...
.. [*] 微分形式の外微分が座標系の取り方によらない、という...
.. [*] マックスウェル方程式がこのように美しくまとまったの...
発展・一つにまとめてしまう
---------------------------------------------------------...
式 $(12)$ の右辺ですが、 $J=J_{x}dy \land dz \land dct + ...
<tex>
d*F=J \tag{13}
</tex>
式 $(2-3)(2-4)$ も再掲しておきます。
<tex>
\nabla \cdot \bm{E} = {\rho } \tag{2-3}
</tex>
<tex>
\nabla \times \bm{B} = \bm{j} +
\frac{\partial \bm{E}}{\partial ct} \tag{2-4}
</tex>
.. [*] こうすると $dF=0$ との双対性が崩れてしまいますが、...
.. [*] 蛇足ですが、式 $(13)$ の両辺の外微分をとって得られ...
さて、マックスウェルの最初の二本(つまり $dF=0$ )ですが...
<tex>
G = A_{x}dx +A_{y}dy + A_{z}dz - \phi cdt \tag{14}
</tex>
このとき $dG$ は次式で与えられます。
<tex>
dG &= d(A_{x}dx +A_{y}dy + A_{z}dz - \phi cdt) \\
&= \left(
\frac{\partial A_{x}}{\partial y }dy +
\frac{\partial A_{x}}{\partial z }dz +
\frac{\partial A_{x}}{\partial ct }dct
\right) \land dx
+
\left(
\frac{\partial A_{y}}{\partial x }dx +
\frac{\partial A_{y}}{\partial z }dz +
\frac{\partial A_{y}}{\partial ct }dct
\right) \land dy \\
& \ \ \ +
\left(
\frac{\partial A_{z}}{\partial x }dx +
\frac{\partial A_{z}}{\partial y }dy +
\frac{\partial A_{z}}{\partial ct }dct
\right) \land dz
- \left(
\frac{\partial \phi}{\partial x }dx +
\frac{\partial \phi}{\partial y }dy +
\frac{\partial \phi}{\partial z }dz
\right) \land dct \\
&=
\left(
\frac{\partial A_{z}}{\partial y } -
\frac{\partial A_{y}}{\partial z }
\right) dy \land dz
+
\left(
\frac{\partial A_{x}}{\partial z } -
\frac{\partial A_{z}}{\partial x }
\right) dz \land dx
+
\left(
\frac{\partial A_{y}}{\partial x } -
\frac{\partial A_{x}}{\partial y }
\right) dx \land dy \\
& \ \ \ -
\left(
\frac{\partial A_{x}}{\partial ct } +
\frac{\partial \phi}{\partial x }
\right) dx \land cdt
-
\left(
\frac{\partial A_{y}}{\partial ct } +
\frac{\partial \phi}{\partial y }
\right) dy \land dct
-
\left(
\frac{\partial A_{z}}{\partial ct } +
\frac{\partial \phi}{\partial z }
\right) dz \land dct \tag{15}
</tex>
式 $(5)$ と比べてみて下さい。
<tex>
F = E_{x}dx \land cdt + E_{y} dy \land cdt + E_{z} dz \l...
B_{x} dy \land dz + B_{y} dz \land dx + B_{z} dx \land dy...
</tex>
各成分を比較し、 $\bm{B}=\nabla \times \bm{A}$ , $\bm{E}=...
<tex>
dG = F \tag{16}
</tex>
またしても、これ以上ないほど美しい表現が得られました。さ...
.. admonition:: theorem
【マックスウェルの方程式】 $d*dG = J$ $(17)$
ついに、一本の式になってしまいました。
さらに発展
=========================================================...
これ以上簡単にはなりそうもありませんが、 *ダランベールの...
<tex>
\square = \triangle - \frac{1}{c^2}\frac{\partial ^{2}}{\...
</tex>
ダランベールの作用素とは、ミンコフスキー空間におけるラプ...
<tex>
\square \omega _{1} = - *d*d\omega _{1} + d*d*\omega _{1}...
</tex>
右辺も一次微分形式になっています。式 $(19)$ がなりたつこ...
.. admonition:: theorem
$\square G = - J$
微分形式を使って、マックスウェルの方程式を簡単な形にまと...
ここまで、多様体というような概念はわざと避け、ユークリッ...
練習問題
-----------------------------------------------------
零次微分形式、二次微分形式、三次微分形式、四次微分形式に...
.. _電磁気学: http://www12.plala.or.jp/ksp/elemag/index.h...
.. _ヘルムホルツの定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/vect...
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.. _ミンコフスキー空間の微分形式: http://www12.plala.or.j...
.. _ホッジ作用素: http://www12.plala.or.jp/ksp/differenti...
.. _こちら: http://www22.pair.com/csdc/pdf/maxwell.pdf
.. _電磁ポテンシャル: http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B...
.. _微分形式の物理的イメージ: http://www12.plala.or.jp/ks...
@@author:Joh@@
@@accept: 2007-03-15@@
@@category: 微分形式@@
@@id: DiffFormsMaxwellsEq@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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マックスウェル方程式への応用
=================================================
電磁気学の基礎方程式とも言えるのが、 *マックスウェルの方...
<tex>
\nabla \cdot \bm{B} = 0 \tag{1-1}
</tex>
<tex>
\nabla \times \bm{E} = - \frac{\partial \bm{B}}{\partial ...
</tex>
<tex>
\nabla \cdot \bm{E} = \frac{\rho }{\varepsilon _{0}} \tag...
</tex>
<tex>
\nabla \times \bm{B} = \mu _{0}\bm{J} + \mu_{0}\varepsilo...
\frac{\partial \bm{E}}{\partial t} \tag{1-4}
</tex>
ここで、 $\bm{B}$ は磁束密度、 $\bm{E}$ は電場 、 $\bm{J}...
<tex>
\nabla \cdot \bm{D} = \rho \tag{1-3'}
</tex>
<tex>
\nabla \times \bm{H} = \bm{J} +
\frac{\partial \bm{D}}{\partial t} \tag{1-4'}
</tex>
また、式 $(1)$ から波動方程式 $\frac{\partial ^{2}\bm{H}}...
<tex>
\nabla \cdot \bm{B} = 0 \tag{2-1}
</tex>
<tex>
\nabla \times \bm{E} = - \frac{\partial \bm{B}}{\partial ...
</tex>
<tex>
\nabla \cdot \bm{E} = {\rho } \tag{2-3}
</tex>
<tex>
\nabla \times \bm{B} = \bm{j} +
\frac{\partial \bm{E}}{\partial ct} \tag{2-4}
</tex>
.. [*] 極端な話、この記事を読むだけなら、上に出てきたさま...
.. [*] 式 $(1)$ は国際単位系( $SI$ 系)に単位を揃えたとき...
三次元ユークリッド空間上の微分形式
=========================================================...
最初に、微分形式の復習も兼ねて、三次元ユークリッド空間上...
<tex>
E= E_{x}dy \land dz + E_{y}dz \land dx + E_{z}dx \land dy...
</tex>
<tex>
B = B_{x} dx + B_{y} dy + B_{z} dz \tag{3-2}
</tex>
<tex>
j= J_{x}dy \land dz +J_{y}dz \land dx + J_{z}dx \land dy ...
</tex>
このように定義することが適当である理由は、 微分形式の物理...
<tex>
\rho = |\rho | dx \land dy \land dz \tag{3-4}
</tex>
これらを使うと、式 $(2-1)(2-2)(2-3)(2-4)$ の各式は次のよ...
<tex>
d*B = 0 \tag{4-1}
</tex>
<tex>
d*E = - * \dot {B} \tag{4-2}
</tex>
<tex>
dE = \rho \tag{4-3}
</tex>
<tex>
dB = \ddot {E} + j \tag{4-4}
</tex>
確かに、微分形式を使ってマックスウェルの方程式を表現する...
ミンコフスキー空間で表現してみる
=========================================================...
まず、次のような微分形式 $F$ を考えます。これは、ミンコフ...
<tex>
F = E_{x}dx \land cdt + E_{y} dy \land cdt + E_{z} dz \l...
B_{x} dy \land dz + B_{y} dz \land dx + B_{z} dx \land dy...
</tex>
この外微分は、次式のようになります。ここは、丁寧に途中計...
<tex>
dF &= d(E_{x}dx \land cdt + E_{y} dy \land cdt + E_{z} d...
B_{x} dy \land dz + B_{y} dz \land dx + B_{z} dx \land dy...
&=
dE_{x} \land dx \land cdt + dE_{y} \land dy \land cdt + ...
dz \land cdt + dB_{x} \land dy \land dz + dB_{y} \land dz...
+ dB_{z} \land dx \land dy) \\
&=
\left(
\frac{\partial E_{x}}{\partial x}dx +
\frac{\partial E_{x}}{\partial y}dy +
\frac{\partial E_{x}}{\partial z}dz +
\frac{\partial E_{x}}{\partial ct}cdt
\right) dx \land cdt
+
\left(
\frac{\partial E_{y}}{\partial x}dx +
\frac{\partial E_{y}}{\partial y}dy +
\frac{\partial E_{y}}{\partial z}dz +
\frac{\partial E_{y}}{\partial ct}cdt
\right) dy \land cdt \\
& \ \ \ +
\left(
\frac{\partial E_{z}}{\partial x}dx +
\frac{\partial E_{z}}{\partial y}dy +
\frac{\partial E_{z}}{\partial z}dz +
\frac{\partial E_{z}}{\partial ct}cdt
\right) dz \land cdt
+
\left(
\frac{\partial B_{x}}{\partial x}dx +
\frac{\partial B_{x}}{\partial y}dy +
\frac{\partial B_{x}}{\partial z}dz +
\frac{\partial B_{x}}{\partial ct}cdt
\right) dy \land dz \\
& \ \ \ +
\left(
\frac{\partial B_{y}}{\partial x}dx +
\frac{\partial B_{y}}{\partial y}dy +
\frac{\partial B_{y}}{\partial z}dz +
\frac{\partial B_{y}}{\partial ct}cdt
\right) dz \land dx
+
\left(
\frac{\partial B_{z}}{\partial x}dx +
\frac{\partial B_{z}}{\partial y}dy +
\frac{\partial B_{z}}{\partial z}dz +
\frac{\partial B_{z}}{\partial ct}cdt
\right) dx \land dy \\
&=
\left(
\frac{\partial E_{x}}{\partial y}dy +
\frac{\partial E_{x}}{\partial z}dz
\right) dx \land cdt
+
\left(
\frac{\partial E_{y}}{\partial x}dx +
\frac{\partial E_{y}}{\partial z}dz
\right) dy \land cdt
+
\left(
\frac{\partial E_{z}}{\partial x}dx +
\frac{\partial E_{z}}{\partial y}dy
\right) dz \land cdt \\
& \ \ \ +
\left(
\frac{\partial B_{x}}{\partial x}dx +
\frac{\partial B_{x}}{\partial ct}cdt
\right) dy \land dz
+
\left(
\frac{\partial B_{y}}{\partial y}dy +
\frac{\partial B_{y}}{\partial ct}cdt
\right) dz \land dx
+
\left(
\frac{\partial B_{z}}{\partial z}dz +
\frac{\partial B_{z}}{\partial ct}cdt
\right) dx \land dy \\
& =
\left(
\frac{\partial E_{z}}{\partial y} -
\frac{\partial E_{y}}{\partial z} +
\frac{\partial B_{x}}{\partial ct}
\right) dy \land dz \land cdt
+
\left(
\frac{\partial E_{x}}{\partial z} -
\frac{\partial E_{z}}{\partial x} +
\frac{\partial B_{y}}{\partial ct}
\right) dz \land dx \land cdt
+
\left(
\frac{\partial E_{y}}{\partial x} -
\frac{\partial E_{x}}{\partial y} +
\frac{\partial B_{z}}{\partial ct}
\right) dx \land dy \land cdt \\
& \ \ \ +
\left(
\frac{\partial B_{x}}{\partial x} +
\frac{\partial B_{y}}{\partial y} +
\frac{\partial B_{z}}{\partial z}
\right) dx \land dy \land dz
\tag{6}
</tex>
ここで $dF=0$ となるのはどんな場合かと考えてみれば、各基...
<tex>
\frac{\partial E_{z}}{\partial y} -
\frac{\partial E_{y}}{\partial z} +
\frac{\partial B_{x}}{\partial ct}=0 \tag{7-1}
</tex>
<tex>
\frac{\partial E_{x}}{\partial z} -
\frac{\partial E_{z}}{\partial x} +
\frac{\partial B_{y}}{\partial ct}=0 \tag{7-2}
</tex>
<tex>
\frac{\partial E_{y}}{\partial x} -
\frac{\partial E_{x}}{\partial y} +
\frac{\partial B_{z}}{\partial ct}=0 \tag{7-3}
</tex>
<tex>
\frac{\partial B_{x}}{\partial x} +
\frac{\partial B_{y}}{\partial y} +
\frac{\partial B_{z}}{\partial z}
=0 \tag{8}
</tex>
式 $(7)$ は、ベクトル形ではまとめて $\nabla \times \bm{E}...
<tex>
dF =0 \tag{9}
</tex>
美しい!
真空中でのマックスウェルの方程式
=========================================================...
今度は、特に真空(自由空間)中でのマックスウェルの方程式...
【真空(自由空間)におけるマックスウェルの方程式】
<tex>
\nabla \cdot \bm{B} = 0 \tag{10-1}
</tex>
<tex>
\nabla \times \bm{E} = - \frac{\partial \bm{B}}{\partial ...
</tex>
<tex>
\nabla \cdot \bm{E} = 0 \tag{10-3}
</tex>
<tex>
\nabla \times \bm{B} = \frac{\partial \bm{E}}{\partial ct...
</tex>
残りの二本も微分形式で表現することを考えます。(式 $(10-3...
<tex>
*F & =*( E_{x}dx \land cdt + E_{y} dy \land cdt + E_{z}...
+ B_{x} dy \land dz + B_{y} dz \land dx + B_{z} dx \land ...
& = E_{x}dy \land dz + E_{y} dz \land dx + E_{z} dx \lan...
B_{x} dx \land cdt - B_{y} dy \land cdt - B_{z} dz \lan...
</tex>
先ほどと同様に、 $*F$ の外微分を取ります。少し、計算は簡...
<tex>
d*F &= d(E_{x}dy \land dz + E_{y} dz \land dx + E_{z} dx...
B_{x} dx \land cdt - B_{y} dy \land cdt - B_{z} dz \lan...
& = dE_{x} \land dy \land dz + dE_{y} \land dz \land dx ...
&=
\left(
\frac{\partial E_{x}}{\partial x}dx +
\frac{\partial E_{x}}{\partial ct}cdt
\right) dy \land dz +
\left(
\frac{\partial E_{y}}{\partial y}dy +
\frac{\partial E_{y}}{\partial ct}cdt
\right) dz \land dx +
\left(
\frac{\partial E_{z}}{\partial z}dz +
\frac{\partial E_{z}}{\partial ct}cdt
\right) dy \land dz \\
& \ \ \ -
\left(
\frac{\partial B_{x}}{\partial y}dy +
\frac{\partial B_{x}}{\partial z}dz
\right) dx \land cdt -
\left(
\frac{\partial B_{y}}{\partial x}dx +
\frac{\partial B_{y}}{\partial z}dz
\right) dy \land cdt -
\left(
\frac{\partial B_{z}}{\partial x}dx +
\frac{\partial B_{z}}{\partial y}dy
\right) dz \land cdt \\
&= \left(
\frac{\partial E_{x}}{\partial x} +
\frac{\partial E_{y}}{\partial y} +
\frac{\partial E_{z}}{\partial z}
\right) dx \land dy \land dz
-
\left(
\frac{\partial B_{z}}{\partial y} -
\frac{\partial B_{y}}{\partial z} +
\frac{\partial E_{x}}{\partial ct}
\right) dy \land dz \land cdt \\
& \ \ \ -
\left(
\frac{\partial B_{x}}{\partial z} -
\frac{\partial B_{z}}{\partial x} +
\frac{\partial E_{y}}{\partial ct}
\right) dz \land dx \land cdt
-
\left(
\frac{\partial B_{y}}{\partial x} -
\frac{\partial B_{x}}{\partial y} +
\frac{\partial E_{z}}{\partial ct}
\right) dx \land dy \land cdt \tag{12}
</tex>
式 $(10)$ の成分をよく見れば、先ほどと同様、 $d*F=0$ とい...
<tex>
\nabla \cdot \bm{E} = 0 \tag{10-3}
</tex>
<tex>
\nabla \times \bm{B} = \frac{\partial \bm{E}}{\partial ct...
</tex>
つまり、真空中でのマックスウェル方程式は、 $dF=0$ と $d*F...
.. admonition:: theorem
真空中(自由空間中)でのマックスウェルの方程式は、微分形...
ここまで美しい形にまとめられたのも、まさに微分形式の威力...
.. [*] 微分形式の外微分が座標系の取り方によらない、という...
.. [*] マックスウェル方程式がこのように美しくまとまったの...
発展・一つにまとめてしまう
---------------------------------------------------------...
式 $(12)$ の右辺ですが、 $J=J_{x}dy \land dz \land dct + ...
<tex>
d*F=J \tag{13}
</tex>
式 $(2-3)(2-4)$ も再掲しておきます。
<tex>
\nabla \cdot \bm{E} = {\rho } \tag{2-3}
</tex>
<tex>
\nabla \times \bm{B} = \bm{j} +
\frac{\partial \bm{E}}{\partial ct} \tag{2-4}
</tex>
.. [*] こうすると $dF=0$ との双対性が崩れてしまいますが、...
.. [*] 蛇足ですが、式 $(13)$ の両辺の外微分をとって得られ...
さて、マックスウェルの最初の二本(つまり $dF=0$ )ですが...
<tex>
G = A_{x}dx +A_{y}dy + A_{z}dz - \phi cdt \tag{14}
</tex>
このとき $dG$ は次式で与えられます。
<tex>
dG &= d(A_{x}dx +A_{y}dy + A_{z}dz - \phi cdt) \\
&= \left(
\frac{\partial A_{x}}{\partial y }dy +
\frac{\partial A_{x}}{\partial z }dz +
\frac{\partial A_{x}}{\partial ct }dct
\right) \land dx
+
\left(
\frac{\partial A_{y}}{\partial x }dx +
\frac{\partial A_{y}}{\partial z }dz +
\frac{\partial A_{y}}{\partial ct }dct
\right) \land dy \\
& \ \ \ +
\left(
\frac{\partial A_{z}}{\partial x }dx +
\frac{\partial A_{z}}{\partial y }dy +
\frac{\partial A_{z}}{\partial ct }dct
\right) \land dz
- \left(
\frac{\partial \phi}{\partial x }dx +
\frac{\partial \phi}{\partial y }dy +
\frac{\partial \phi}{\partial z }dz
\right) \land dct \\
&=
\left(
\frac{\partial A_{z}}{\partial y } -
\frac{\partial A_{y}}{\partial z }
\right) dy \land dz
+
\left(
\frac{\partial A_{x}}{\partial z } -
\frac{\partial A_{z}}{\partial x }
\right) dz \land dx
+
\left(
\frac{\partial A_{y}}{\partial x } -
\frac{\partial A_{x}}{\partial y }
\right) dx \land dy \\
& \ \ \ -
\left(
\frac{\partial A_{x}}{\partial ct } +
\frac{\partial \phi}{\partial x }
\right) dx \land cdt
-
\left(
\frac{\partial A_{y}}{\partial ct } +
\frac{\partial \phi}{\partial y }
\right) dy \land dct
-
\left(
\frac{\partial A_{z}}{\partial ct } +
\frac{\partial \phi}{\partial z }
\right) dz \land dct \tag{15}
</tex>
式 $(5)$ と比べてみて下さい。
<tex>
F = E_{x}dx \land cdt + E_{y} dy \land cdt + E_{z} dz \l...
B_{x} dy \land dz + B_{y} dz \land dx + B_{z} dx \land dy...
</tex>
各成分を比較し、 $\bm{B}=\nabla \times \bm{A}$ , $\bm{E}=...
<tex>
dG = F \tag{16}
</tex>
またしても、これ以上ないほど美しい表現が得られました。さ...
.. admonition:: theorem
【マックスウェルの方程式】 $d*dG = J$ $(17)$
ついに、一本の式になってしまいました。
さらに発展
=========================================================...
これ以上簡単にはなりそうもありませんが、 *ダランベールの...
<tex>
\square = \triangle - \frac{1}{c^2}\frac{\partial ^{2}}{\...
</tex>
ダランベールの作用素とは、ミンコフスキー空間におけるラプ...
<tex>
\square \omega _{1} = - *d*d\omega _{1} + d*d*\omega _{1}...
</tex>
右辺も一次微分形式になっています。式 $(19)$ がなりたつこ...
.. admonition:: theorem
$\square G = - J$
微分形式を使って、マックスウェルの方程式を簡単な形にまと...
ここまで、多様体というような概念はわざと避け、ユークリッ...
練習問題
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零次微分形式、二次微分形式、三次微分形式、四次微分形式に...
.. _電磁気学: http://www12.plala.or.jp/ksp/elemag/index.h...
.. _ヘルムホルツの定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/vect...
.. _ベクトルポテンシャル: http://www12.plala.or.jp/ksp/ve...
.. _ローレンツ計量: http://www12.plala.or.jp/ksp/differen...
.. _ミンコフスキー空間: http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%...
.. _ポアンカレの補題: http://www12.plala.or.jp/ksp/differ...
.. _ミンコフスキー空間の微分形式: http://www12.plala.or.j...
.. _ホッジ作用素: http://www12.plala.or.jp/ksp/differenti...
.. _こちら: http://www22.pair.com/csdc/pdf/maxwell.pdf
.. _電磁ポテンシャル: http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B...
.. _微分形式の物理的イメージ: http://www12.plala.or.jp/ks...
@@author:Joh@@
@@accept: 2007-03-15@@
@@category: 微分形式@@
@@id: DiffFormsMaxwellsEq@@
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