記事ソース/ポテンシャルとグラディエント
をテンプレートにして作成
査読
rst2hooktail
進行表
執筆中
かぎマニュ
物理のかぎプロジェクト
トップ
最近の更新
ヘルプ
開始行:
#rst2hooktail_source
=================================
ポテンシャルとグラディエント
=================================
ベクトル解析のグラディエントってなんだか意味不明です.授...
ポテンシャル
=============
なんらかの保存力が働く空間で考えます.ポテンシャルは保存...
質点 m が「ある始点」から「ある終点」に動くとき,保存力の...
<tex>
U(\bm{r})-U(\bm{r}_0)=-\int_{\bm{r}_0}^{\bm{r}}\bm{F}\cdo...
</tex>
ここで始点の位置ベクトルを $\bm{r}_0$ ,終点の位置ベクト...
<tex>
U(\bm{r})-U(\bm{r}_0)
</tex>
を $\bm{r}_0$ を基準にしたポテンシャルエネルギー,または...
積分区間が始点 $\bm{r}_0$ から終点 $\bm{r}$ になっている...
<tex>
\bm{F}\cdot d\bm{r}
</tex>
の意味は分かるでしょうか. $\bm{F}$ も $\bm{r}$ もベクト...
ポテンシャルの傾き
====================
さて,終点の位置ベクトル $\bm{r}$ を $\bm{r}+\varDelta\bm...
<tex>
U(\bm{r}+\varDelta\bm{r})-U(\bm{r}_0) = -\int_{\bm{r}_0}^...
</tex>
からポテンシャルエネルギーの定義
<tex>
U(\bm{r})-U(\bm{r}_0)=-\int_{\bm{r}_0}^{\bm{r}}\bm{F}\cdo...
</tex>
を辺々引くと $\bm{r}_0$ の項が消えて
<tex>
U(\bm{r}+\varDelta\bm{r})-U(\bm{r})
&= -\int_{\bm{r}_0}^{\bm{r}+\varDelta\bm{r}}\bm{F}\cdot ...
&= -\int_{\bm{r}_0}^{\bm{r}}\bm{F}\cdot d\bm{r}-\int_{\b...
&= -\int_{\bm{r}}^{\bm{r}+\varDelta\bm{r}}\bm{F}\cdot d\...
</tex>
となります.位置ベクトル $\varDelta\bm{r}$ は成分で書くと...
<tex>
\varDelta\bm{r} = (\varDelta x,\varDelta y,\varDelta z)
</tex>
$\varDelta\bm{r}$ を十分小さい量とすると
<tex>
U(\bm{r}+\varDelta\bm{r})-U(\bm{r})
</tex>
は $U(\bm{r})$ が微小区間 $\varDelta\bm{r}$ でどれだけ変...
<tex>
U(\bm{r}+\varDelta\bm{r})-U(\bm{r}) = \frac{\partial U(\b...
</tex>
また,
<tex>
-\int_{\bm{r}}^{\bm{r}+\varDelta\bm{r}}\bm{F}\cdot d\bm{r}
&= -\left[\bm{F}\cdot\bm{r}\right]_{\bm{r}}^{\bm{r}+\Del...
&= -\left(\bm{F}\cdot(\bm{r}+\Delta\bm{r})-\bm{F}\cdot\b...
&= -\bm{F}\cdot\varDelta\bm{r}\\
&= -\left(F_x\varDelta x +F_y\varDelta y +F_z\varDelta z...
</tex>
なのでつぎの式が得られます.
<tex>
\frac{\partial U(\bm{r})}{\partial x}\varDelta x + \frac{...
</tex>
Δx,Δy,Δz の係数を比較すると
<tex>
F_x=-\frac{\partial U(\bm{r})}{\partial x} , \quad F_y=-\...
</tex>
ということが分かります.これは何を表すかというと, U(r +Δ...
<tex>
F(\bm{r}) =-\left( \frac{\partial U(\bm{r})}{\partial x}\...
</tex>
となり,勾配を表すベクトル解析の記号グラディアント
<tex>
\mathrm{grad}\,\phi = \frac{\partial\phi}{\partial x}\bm{...
</tex>
を使えばポテンシャルから受ける力 F は
<tex>
F(\bm{r})=-\mathrm{grad}\,U(\bm{r})
</tex>
または
<tex>
F(\bm{r})=-\nabla U(\bm{r})
</tex>
という具合に簡単に書き下すことができるようになります.こ...
@@author:崎間@@
@@category:力学@@
@@accept:2004-05-24@@
@@id:potential-grad@@
終了行:
#rst2hooktail_source
=================================
ポテンシャルとグラディエント
=================================
ベクトル解析のグラディエントってなんだか意味不明です.授...
ポテンシャル
=============
なんらかの保存力が働く空間で考えます.ポテンシャルは保存...
質点 m が「ある始点」から「ある終点」に動くとき,保存力の...
<tex>
U(\bm{r})-U(\bm{r}_0)=-\int_{\bm{r}_0}^{\bm{r}}\bm{F}\cdo...
</tex>
ここで始点の位置ベクトルを $\bm{r}_0$ ,終点の位置ベクト...
<tex>
U(\bm{r})-U(\bm{r}_0)
</tex>
を $\bm{r}_0$ を基準にしたポテンシャルエネルギー,または...
積分区間が始点 $\bm{r}_0$ から終点 $\bm{r}$ になっている...
<tex>
\bm{F}\cdot d\bm{r}
</tex>
の意味は分かるでしょうか. $\bm{F}$ も $\bm{r}$ もベクト...
ポテンシャルの傾き
====================
さて,終点の位置ベクトル $\bm{r}$ を $\bm{r}+\varDelta\bm...
<tex>
U(\bm{r}+\varDelta\bm{r})-U(\bm{r}_0) = -\int_{\bm{r}_0}^...
</tex>
からポテンシャルエネルギーの定義
<tex>
U(\bm{r})-U(\bm{r}_0)=-\int_{\bm{r}_0}^{\bm{r}}\bm{F}\cdo...
</tex>
を辺々引くと $\bm{r}_0$ の項が消えて
<tex>
U(\bm{r}+\varDelta\bm{r})-U(\bm{r})
&= -\int_{\bm{r}_0}^{\bm{r}+\varDelta\bm{r}}\bm{F}\cdot ...
&= -\int_{\bm{r}_0}^{\bm{r}}\bm{F}\cdot d\bm{r}-\int_{\b...
&= -\int_{\bm{r}}^{\bm{r}+\varDelta\bm{r}}\bm{F}\cdot d\...
</tex>
となります.位置ベクトル $\varDelta\bm{r}$ は成分で書くと...
<tex>
\varDelta\bm{r} = (\varDelta x,\varDelta y,\varDelta z)
</tex>
$\varDelta\bm{r}$ を十分小さい量とすると
<tex>
U(\bm{r}+\varDelta\bm{r})-U(\bm{r})
</tex>
は $U(\bm{r})$ が微小区間 $\varDelta\bm{r}$ でどれだけ変...
<tex>
U(\bm{r}+\varDelta\bm{r})-U(\bm{r}) = \frac{\partial U(\b...
</tex>
また,
<tex>
-\int_{\bm{r}}^{\bm{r}+\varDelta\bm{r}}\bm{F}\cdot d\bm{r}
&= -\left[\bm{F}\cdot\bm{r}\right]_{\bm{r}}^{\bm{r}+\Del...
&= -\left(\bm{F}\cdot(\bm{r}+\Delta\bm{r})-\bm{F}\cdot\b...
&= -\bm{F}\cdot\varDelta\bm{r}\\
&= -\left(F_x\varDelta x +F_y\varDelta y +F_z\varDelta z...
</tex>
なのでつぎの式が得られます.
<tex>
\frac{\partial U(\bm{r})}{\partial x}\varDelta x + \frac{...
</tex>
Δx,Δy,Δz の係数を比較すると
<tex>
F_x=-\frac{\partial U(\bm{r})}{\partial x} , \quad F_y=-\...
</tex>
ということが分かります.これは何を表すかというと, U(r +Δ...
<tex>
F(\bm{r}) =-\left( \frac{\partial U(\bm{r})}{\partial x}\...
</tex>
となり,勾配を表すベクトル解析の記号グラディアント
<tex>
\mathrm{grad}\,\phi = \frac{\partial\phi}{\partial x}\bm{...
</tex>
を使えばポテンシャルから受ける力 F は
<tex>
F(\bm{r})=-\mathrm{grad}\,U(\bm{r})
</tex>
または
<tex>
F(\bm{r})=-\nabla U(\bm{r})
</tex>
という具合に簡単に書き下すことができるようになります.こ...
@@author:崎間@@
@@category:力学@@
@@accept:2004-05-24@@
@@id:potential-grad@@
ページ名:
Modified by
物理のかぎプロジェクト
PukiWiki 1.4.6
Copyright © 2001-2005
PukiWiki Developers Team
. License is
GPL
.
Based on "PukiWiki" 1.3 by
yu-ji
Powered by PHP 5.3.29 HTML convert time to 0.002 sec.