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ホッジ作用素を使った公式補足
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外積代数に関して重要な事柄は、ここまでの記事でほとんどで...
ホッジ作用素を二回作用させる
=========================================================...
以下の議論では、空間の向きを保つとします。(つまり、右手...
<tex>
\lambda \land \mu= (-1)^{pq}\mu \land \lambda \tag{1}
</tex>
これを基底 $\sigma_{k}, \sigma_{n-k}$ に適用すると次のよ...
<tex>
\sigma_{k} \land \sigma_{n-k} = (-1)^{k(n-k)}\sigma_{n-k...
</tex>
一方、ホッジ作用素の定義式より、次式が言えました。空間の...
<tex>
\sigma_{k} \land \sigma_{n-k} &= (*\sigma_{k} , \sigma_{n...
&= (*\sigma_{n-k} , \sigma_{n-k} ) \sigma_{n} \tag{3}
</tex>
式 $(3)$ で $k$ と $n-k$ を入れ替えると次式を得ます。
<tex>
\sigma_{n-k} \land \sigma_{k} = (\sigma_{k} , \sigma_{k})...
</tex>
そこで、式 $(2)(3)(4)$ を見比べて、次式が得られます。これ...
<tex>
*\sigma _{n-k} = (-1)^{k(n-k)} (\sigma_{k},\sigma_{k}) \...
</tex>
式 $(3)(5)$ より、ホッジ作用素を二回連続して作用させる場...
<tex>
**\sigma_{k} &=*( (\sigma_{n-k},\sigma_{n-k})\sigma_{n-k...
& = (\sigma_{n-k},\sigma_{n-k}) * \sigma_{n-k} \\
& = (\sigma_{n-k},\sigma_{n-k}) (-1)^{k(n-k)} (\sigma_{k}...
&= (-1)^{k(n-k)} (\sigma_{n} , \sigma_{n} )\sigma_{k} \ta...
</tex>
基底の内積 $(\sigma _{n}, \sigma _{n})$ は、 `p-ベクトル...
.. admonition:: theorem
$**\sigma_{k} = (-1)^{k(n-k)+s} \sigma_{k}$
具体例
------------------------------------------------------
三次元ユークリッド空間 $E^{3}$ で考えましょう。正規直交基...
<tex>
*\bm{e_{1}} = \bm{e_{2}} \land \bm{e_{3}}
</tex>
<tex>
*(\bm{e_{2}} \land \bm{e_{3}}) = \bm{e_{1}}
</tex>
公式 $(6)$ は、確かにこの結果を説明しています。
<tex>
**(\bm{e_{1}})&=(-1)^{1(3-1)}(\bm{e_{1}}\land \bm{e_{2}}...
&= \bm{e_{1}}
</tex>
ちゃんと元に戻ってきました(^ ^)。
一つの定理
=========================================================...
ホッジ作用素に関して、もう一つ定理を補足しておきます。 $\...
.. admonition:: theorem
$\alpha \land *\beta = \beta \land *\alpha = (-1)^{s}(\...
.. admonition:: proof
$\alpha$ を $A\sigma_{k}=\bm{e_{h_{1}}}\land \cdots \la...
.. _ホッジ作用素: http://www12.plala.or.jp/ksp/differenti...
.. _ウェッジ積について補足: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
.. _`p-ベクトルの内積`: http://www12.plala.or.jp/ksp/diff...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-11-06@@
@@reference: Harley Flanders, Differential Forms with App...
@@category: 微分形式@@
@@id: HodgeStarOperatorApp@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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ホッジ作用素を使った公式補足
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外積代数に関して重要な事柄は、ここまでの記事でほとんどで...
ホッジ作用素を二回作用させる
=========================================================...
以下の議論では、空間の向きを保つとします。(つまり、右手...
<tex>
\lambda \land \mu= (-1)^{pq}\mu \land \lambda \tag{1}
</tex>
これを基底 $\sigma_{k}, \sigma_{n-k}$ に適用すると次のよ...
<tex>
\sigma_{k} \land \sigma_{n-k} = (-1)^{k(n-k)}\sigma_{n-k...
</tex>
一方、ホッジ作用素の定義式より、次式が言えました。空間の...
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\sigma_{k} \land \sigma_{n-k} &= (*\sigma_{k} , \sigma_{n...
&= (*\sigma_{n-k} , \sigma_{n-k} ) \sigma_{n} \tag{3}
</tex>
式 $(3)$ で $k$ と $n-k$ を入れ替えると次式を得ます。
<tex>
\sigma_{n-k} \land \sigma_{k} = (\sigma_{k} , \sigma_{k})...
</tex>
そこで、式 $(2)(3)(4)$ を見比べて、次式が得られます。これ...
<tex>
*\sigma _{n-k} = (-1)^{k(n-k)} (\sigma_{k},\sigma_{k}) \...
</tex>
式 $(3)(5)$ より、ホッジ作用素を二回連続して作用させる場...
<tex>
**\sigma_{k} &=*( (\sigma_{n-k},\sigma_{n-k})\sigma_{n-k...
& = (\sigma_{n-k},\sigma_{n-k}) * \sigma_{n-k} \\
& = (\sigma_{n-k},\sigma_{n-k}) (-1)^{k(n-k)} (\sigma_{k}...
&= (-1)^{k(n-k)} (\sigma_{n} , \sigma_{n} )\sigma_{k} \ta...
</tex>
基底の内積 $(\sigma _{n}, \sigma _{n})$ は、 `p-ベクトル...
.. admonition:: theorem
$**\sigma_{k} = (-1)^{k(n-k)+s} \sigma_{k}$
具体例
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三次元ユークリッド空間 $E^{3}$ で考えましょう。正規直交基...
<tex>
*\bm{e_{1}} = \bm{e_{2}} \land \bm{e_{3}}
</tex>
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*(\bm{e_{2}} \land \bm{e_{3}}) = \bm{e_{1}}
</tex>
公式 $(6)$ は、確かにこの結果を説明しています。
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**(\bm{e_{1}})&=(-1)^{1(3-1)}(\bm{e_{1}}\land \bm{e_{2}}...
&= \bm{e_{1}}
</tex>
ちゃんと元に戻ってきました(^ ^)。
一つの定理
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ホッジ作用素に関して、もう一つ定理を補足しておきます。 $\...
.. admonition:: theorem
$\alpha \land *\beta = \beta \land *\alpha = (-1)^{s}(\...
.. admonition:: proof
$\alpha$ を $A\sigma_{k}=\bm{e_{h_{1}}}\land \cdots \la...
.. _ホッジ作用素: http://www12.plala.or.jp/ksp/differenti...
.. _ウェッジ積について補足: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
.. _`p-ベクトルの内積`: http://www12.plala.or.jp/ksp/diff...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-11-06@@
@@reference: Harley Flanders, Differential Forms with App...
@@category: 微分形式@@
@@id: HodgeStarOperatorApp@@
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