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#rst2hooktail_source
===============================================
ホッジ作用素
===============================================
外積空間 $\land ^{k}R^{n} \ (k<n)$ について、その次元は $...
.. figure:: Joh-PascalTriangle.gif
二項係数の分布は左右対称だ。(図は `MathForum@Drexel`_ ...
逆に言えば、ある $R^{n}$ から生成される外積代数で、 $\lan...
ウェッジ積を考える
=========================================================...
まず、先ほどの序文で『次元が同じなら、対応させてみよう』...
<tex>
\lambda \land \mu \ \ \ \ (\lambda \in \land ^{k} R^{n...
</tex>
ここで、 ウェッジ積について補足_ で紹介したように、一般に...
<tex>
\lambda \land \mu = A \sigma_{n}\ \ (\in \land ^{n}R^{n}...
</tex>
スカラー $A$ は、 $\lambda$ と $\mu$ によって一意的に決ま...
<tex>
\lambda \land \mu = f_{\lambda }(\mu) \sigma_{n} \tag{3}
</tex>
.. [*] こんな見方が出来るのは、わざと $\lambda$ と $\mu$ ...
何だか、色々なことを書きましたが、式 $(2)$ と式 $(3)$ は...
内積を対応させる
---------------------------------------------------------...
ここで、 `p-ベクトルの内積`_ の記事の最後の定理を使うと、...
<tex>
f_{\lambda }(\mu) = (\beta , \mu), \ \ \ \ \ \ (\lambd...
</tex>
そろそろ、予め内積を勉強しておいたことや、前セクションで...
<tex>
\lambda \land \mu = (*\lambda , \mu) \sigma_{n} \tag{5}
</tex>
こんな変形が可能であったのも、 $\lambda$ と $\mu$ の階数...
<tex>
*: \ \lambda \in \land ^{k}R^{n} \ \ \longmapsto \ \ *\l...
</tex>
蛇足ですが、あるベクトル空間に対し、その線形汎関数の集合...
.. important::
$\land ^{k}R^{n}$ と $\land ^{n-k}R^{n}$ は、互いに双対...
外積代数の美しい構造がだんだん見えて来ましたね。
.. [*] 最初に掲げたパスカルの三角形の図で、 $n$ 段目の数...
基底や空間の向きに注意する
=========================================================...
ここまでで、 $\land ^{k}R^{n}$ から $\land ^{n-k}R^{n}$ ...
しかし、ホッジ作用素の定義はこれで全部ではありません。少...
.. [*] 例えば、もし $\land ^{k}R^{n}$ の元 $\lambda$ を $...
まずベクトル空間 $R^{n}$ の向きを決める
---------------------------------------------------------...
まず最初に、ベクトル空間 $R^{n}$ に『向き』をつけます。『...
<tex>
\bm{e_{1}} \ \bm{e_{2}} \ ..... \ \bm{e_{n}} \tag{7}
</tex>
これ以外の基底(例えば $\bm{{e'}_{i}}$ )は、この基底に行...
<tex>
\sigma_{n}= \bm{e_{1}} \land \bm{e_{2}} \land \bm{e_{3}} ...
</tex>
つまり、式 $(8)$ の基底に対し $(\sigma_{n}, \sigma_{n})=1...
.. [*] 外積空間 $\land^{n}R^{n}$ の非零な基底をボリューム...
ウェッジ積の性質より、式 $(8)$ で、どこか隣り合った基底の...
<tex>
- \sigma_{n}= \bm{e_{1}} \land \bm{e_{3}} \land \bm{e_{2}...
</tex>
この性質は、実は、右手系⇔左手系の取り方を逆にすると、ベク...
基底のウェッジ積だけ考えてみる
---------------------------------------------------------...
もう一度 $(5)$ 式を考えます。(再掲します。)
<tex>
\lambda \land \mu = (*\lambda , \mu) \sigma_{n} \tag{5}
</tex>
ここで特に、 $\lambda$ として $\land^{k}R^{n}$ の基底 $\s...
<tex>
(\bm{e_{h_{1}}}\land \cdots \land \bm{e_{h_{k}}}) \land (...
</tex>
もし $h_{i}$ と $g_{i}$ の中に重複するものが一つでもあれ...
<tex>
(\bm{e_{p_{1}}}\land \cdots \land \bm{e_{p_{k}}}) \land (...
</tex>
一方、式 $(11)$ の左辺は、単に $R^{n}$ の基底の積なので、...
<tex>
(\bm{e_{p_{1}}}\land \cdots \land \bm{e_{p_{k}}}) \land (...
&= \pm (\bm{e_{1}} \land \cdots \land \bm{e_{n}}) \\
&= \pm \sigma _{n} \tag{12}
</tex>
式 $(12)$ の右辺の符号は、前セクションで考えた、空間の向...
<tex>
(\bm{e_{p_{1}}}\land \cdots \land \bm{e_{p_{k}}}) \land (...
= {\rm sgn}
\left(
\begin{array}{cccc}
1 & 2 & \cdots & n \\
p_{1} & p_{2} & \cdots & p_{n} \\
\end{array}
\right)
\sigma _{n} \tag{13}
</tex>
次にやることは式 $(11)$ と式 $(13)$ の比較ですが、 `p-ベ...
空間の符号定数
---------------------------------------------------------...
最初に、空間の向きが保たれている状態(つまり右手系は右手...
<tex>
(*(\bm{e_{p_{1}}}\land \cdots \land \bm{e_{p_{k}}}), \bm{...
</tex>
ここで、 $\bm{e_{p_{k+1}}}\land \cdots \land \bm{e_{p_{n}...
<tex>
*(\bm{e_{p_{1}}}\land \cdots \land \bm{e_{p_{k}}})= \pm ...
</tex>
またしても、面倒なことに $\pm$ がついています。ここで、 $...
【空間の向き(右手・左手系)が保たれ、 $s$ が偶数の場合】
<tex>
*(\bm{e_{p_{1}}}\land \cdots \land \bm{e_{p_{k}}}) = \bm...
</tex>
【空間の向き(右手・左手系)が保たれ、 $s$ が奇数の場合】
<tex>
*(\bm{e_{p_{1}}}\land \cdots \land \bm{e_{p_{k}}}) = - \...
</tex>
【空間の向き(右手・左手系)が変わり、 $s$ が偶数の場合】
<tex>
*(\bm{e_{p_{1}}}\land \cdots \land \bm{e_{p_{k}}}) = - \...
</tex>
【空間の向き(右手・左手系)が変わり、 $s$ が奇数の場合】
<tex>
*(\bm{e_{p_{1}}}\land \cdots \land \bm{e_{p_{k}}}) = \b...
</tex>
符号の話が随分面倒でしたが、『空間の向き』という話と、『...
.. admonition:: definition
【ホッジ作用素】ベクトル空間 $R^{n}$ の基底を $\bm{e_{1}...
.. [*] 『計量を負とする基底の数』が問題になっているのは、...
具体例
=========================================================...
具体例を、三次元ニュークリッド空間 $E^{3}$ で考えてみます...
.. [*] いま、 $E^{3}$ には計量を負とするような基底はあり...
<tex>
*\bm{e_{1}} = \bm{e_{2}} \land \bm{e_{3}} \tag{16-1}
</tex>
<tex>
*\bm{e_{2}} = \bm{e_{3}} \land \bm{e_{1}} \tag{16-2}
</tex>
<tex>
*\bm{e_{3}} = \bm{e_{1}} \land \bm{e_{2}} \tag{16-3}
</tex>
<tex>
*(\bm{e_{1}} \land \bm{e_{2}} ) = \bm{e_{3}} \tag{16-4}
</tex>
<tex>
*(\bm{e_{2}} \land \bm{e_{3}} ) = \bm{e_{1}} \tag{16-5}
</tex>
<tex>
*(\bm{e_{3}} \land \bm{e_{1}} ) = \bm{e_{2}} \tag{16-6}
</tex>
<tex>
*(\bm{e_{1}}\land \bm{e_{2}} \land \bm{e_{3}} ) = 1 \tag...
</tex>
<tex>
*(1)=\bm{e_{1}}\land \bm{e_{2}} \land \bm{e_{3}} \tag{1...
</tex>
式 $(16)$ の各式に出て来る添字の並びは、全て $(1 \ 2 \ 3)...
<tex>
*\bm{e_{3}} = - \bm{e_{2}} \land \bm{e_{1}}
</tex>
こう書きたければこれでも構いませんが、ウェッジ積の性質 $ ...
どうでしょう、式 $(16)$ は、意外に分かりやすい結果だと思...
具体例の発展
---------------------------------------------------------...
式 $(16)$ を使って、 ウェッジ積について補足_ の記事の最後...
<tex>
\lambda \land \mu &= (A\bm{e_{x}}+B\bm{e_{y}}+C\bm{e_{z}}...
& = (BG-CF)\bm{e_{y}}\land \bm{e_{z}} + (CE-AG)\bm{e_{z}}...
</tex>
両辺の $*$ を取ってみます。
<tex>
*(\lambda \land \mu ) &= (BG-CF)*(\bm{e_{y}}\land \bm{e...
&= (BG-CF)\bm{e_{x}} + (CE-AG) \bm{e_{y}} + (AF-BE) \b...
</tex>
これは・・・、なんとベクトルの外積になっています。いまま...
<tex>
\lambda \times \mu =*(\lambda \land \mu) \ \ \ \ ( \lamb...
</tex>
もう一つ、1-ベクトル $\alpha$ と2-ベクトル $\beta$ のウェ...
<tex>
\alpha \land \beta & =
(A\bm{e_{x}}+B\bm{e_{y}}+C\bm{e_{z}})\land (P\bm{e_{y}}\l...
& = (AP+BQ+CR)\bm{e_{x}} \land \bm{e_{y}} \land \bm{e_{z}...
</tex>
両辺の $*$ を取ってみます。
<tex>
*(\alpha \land \beta )
& = (AP+BQ+CR)*(\bm{e_{x}} \land \bm{e_{y}} \land \bm{e_{...
& = AP+BQ+CR \tag{20}
</tex>
これは『双対ベクトルの内積がスカラーになる』というベクト...
<tex>
\alpha \cdot \beta =*(\alpha \land \beta) \ \ \ \ ( \alp...
</tex>
式 $(21)$ は、元の属する空間が違うだけで、式 $(18)$ と基...
.. _ミンコフスキー空間上の微分形式: http://www12.plala.or...
.. _`p-ベクトルの内積`: http://www12.plala.or.jp/ksp/diff...
.. _ウェッジ積について補足: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
.. _内積と双対空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoran...
.. _双対基底と双対空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/vect...
.. _`MathForum@Drexel`: http://mathforum.org/
.. _軸性ベクトル: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranal...
.. _スカラー三重積: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoran...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-11-06@@
@@category: 微分形式@@
@@id: HodgeStarOperator@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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ホッジ作用素
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外積空間 $\land ^{k}R^{n} \ (k<n)$ について、その次元は $...
.. figure:: Joh-PascalTriangle.gif
二項係数の分布は左右対称だ。(図は `MathForum@Drexel`_ ...
逆に言えば、ある $R^{n}$ から生成される外積代数で、 $\lan...
ウェッジ積を考える
=========================================================...
まず、先ほどの序文で『次元が同じなら、対応させてみよう』...
<tex>
\lambda \land \mu \ \ \ \ (\lambda \in \land ^{k} R^{n...
</tex>
ここで、 ウェッジ積について補足_ で紹介したように、一般に...
<tex>
\lambda \land \mu = A \sigma_{n}\ \ (\in \land ^{n}R^{n}...
</tex>
スカラー $A$ は、 $\lambda$ と $\mu$ によって一意的に決ま...
<tex>
\lambda \land \mu = f_{\lambda }(\mu) \sigma_{n} \tag{3}
</tex>
.. [*] こんな見方が出来るのは、わざと $\lambda$ と $\mu$ ...
何だか、色々なことを書きましたが、式 $(2)$ と式 $(3)$ は...
内積を対応させる
---------------------------------------------------------...
ここで、 `p-ベクトルの内積`_ の記事の最後の定理を使うと、...
<tex>
f_{\lambda }(\mu) = (\beta , \mu), \ \ \ \ \ \ (\lambd...
</tex>
そろそろ、予め内積を勉強しておいたことや、前セクションで...
<tex>
\lambda \land \mu = (*\lambda , \mu) \sigma_{n} \tag{5}
</tex>
こんな変形が可能であったのも、 $\lambda$ と $\mu$ の階数...
<tex>
*: \ \lambda \in \land ^{k}R^{n} \ \ \longmapsto \ \ *\l...
</tex>
蛇足ですが、あるベクトル空間に対し、その線形汎関数の集合...
.. important::
$\land ^{k}R^{n}$ と $\land ^{n-k}R^{n}$ は、互いに双対...
外積代数の美しい構造がだんだん見えて来ましたね。
.. [*] 最初に掲げたパスカルの三角形の図で、 $n$ 段目の数...
基底や空間の向きに注意する
=========================================================...
ここまでで、 $\land ^{k}R^{n}$ から $\land ^{n-k}R^{n}$ ...
しかし、ホッジ作用素の定義はこれで全部ではありません。少...
.. [*] 例えば、もし $\land ^{k}R^{n}$ の元 $\lambda$ を $...
まずベクトル空間 $R^{n}$ の向きを決める
---------------------------------------------------------...
まず最初に、ベクトル空間 $R^{n}$ に『向き』をつけます。『...
<tex>
\bm{e_{1}} \ \bm{e_{2}} \ ..... \ \bm{e_{n}} \tag{7}
</tex>
これ以外の基底(例えば $\bm{{e'}_{i}}$ )は、この基底に行...
<tex>
\sigma_{n}= \bm{e_{1}} \land \bm{e_{2}} \land \bm{e_{3}} ...
</tex>
つまり、式 $(8)$ の基底に対し $(\sigma_{n}, \sigma_{n})=1...
.. [*] 外積空間 $\land^{n}R^{n}$ の非零な基底をボリューム...
ウェッジ積の性質より、式 $(8)$ で、どこか隣り合った基底の...
<tex>
- \sigma_{n}= \bm{e_{1}} \land \bm{e_{3}} \land \bm{e_{2}...
</tex>
この性質は、実は、右手系⇔左手系の取り方を逆にすると、ベク...
基底のウェッジ積だけ考えてみる
---------------------------------------------------------...
もう一度 $(5)$ 式を考えます。(再掲します。)
<tex>
\lambda \land \mu = (*\lambda , \mu) \sigma_{n} \tag{5}
</tex>
ここで特に、 $\lambda$ として $\land^{k}R^{n}$ の基底 $\s...
<tex>
(\bm{e_{h_{1}}}\land \cdots \land \bm{e_{h_{k}}}) \land (...
</tex>
もし $h_{i}$ と $g_{i}$ の中に重複するものが一つでもあれ...
<tex>
(\bm{e_{p_{1}}}\land \cdots \land \bm{e_{p_{k}}}) \land (...
</tex>
一方、式 $(11)$ の左辺は、単に $R^{n}$ の基底の積なので、...
<tex>
(\bm{e_{p_{1}}}\land \cdots \land \bm{e_{p_{k}}}) \land (...
&= \pm (\bm{e_{1}} \land \cdots \land \bm{e_{n}}) \\
&= \pm \sigma _{n} \tag{12}
</tex>
式 $(12)$ の右辺の符号は、前セクションで考えた、空間の向...
<tex>
(\bm{e_{p_{1}}}\land \cdots \land \bm{e_{p_{k}}}) \land (...
= {\rm sgn}
\left(
\begin{array}{cccc}
1 & 2 & \cdots & n \\
p_{1} & p_{2} & \cdots & p_{n} \\
\end{array}
\right)
\sigma _{n} \tag{13}
</tex>
次にやることは式 $(11)$ と式 $(13)$ の比較ですが、 `p-ベ...
空間の符号定数
---------------------------------------------------------...
最初に、空間の向きが保たれている状態(つまり右手系は右手...
<tex>
(*(\bm{e_{p_{1}}}\land \cdots \land \bm{e_{p_{k}}}), \bm{...
</tex>
ここで、 $\bm{e_{p_{k+1}}}\land \cdots \land \bm{e_{p_{n}...
<tex>
*(\bm{e_{p_{1}}}\land \cdots \land \bm{e_{p_{k}}})= \pm ...
</tex>
またしても、面倒なことに $\pm$ がついています。ここで、 $...
【空間の向き(右手・左手系)が保たれ、 $s$ が偶数の場合】
<tex>
*(\bm{e_{p_{1}}}\land \cdots \land \bm{e_{p_{k}}}) = \bm...
</tex>
【空間の向き(右手・左手系)が保たれ、 $s$ が奇数の場合】
<tex>
*(\bm{e_{p_{1}}}\land \cdots \land \bm{e_{p_{k}}}) = - \...
</tex>
【空間の向き(右手・左手系)が変わり、 $s$ が偶数の場合】
<tex>
*(\bm{e_{p_{1}}}\land \cdots \land \bm{e_{p_{k}}}) = - \...
</tex>
【空間の向き(右手・左手系)が変わり、 $s$ が奇数の場合】
<tex>
*(\bm{e_{p_{1}}}\land \cdots \land \bm{e_{p_{k}}}) = \b...
</tex>
符号の話が随分面倒でしたが、『空間の向き』という話と、『...
.. admonition:: definition
【ホッジ作用素】ベクトル空間 $R^{n}$ の基底を $\bm{e_{1}...
.. [*] 『計量を負とする基底の数』が問題になっているのは、...
具体例
=========================================================...
具体例を、三次元ニュークリッド空間 $E^{3}$ で考えてみます...
.. [*] いま、 $E^{3}$ には計量を負とするような基底はあり...
<tex>
*\bm{e_{1}} = \bm{e_{2}} \land \bm{e_{3}} \tag{16-1}
</tex>
<tex>
*\bm{e_{2}} = \bm{e_{3}} \land \bm{e_{1}} \tag{16-2}
</tex>
<tex>
*\bm{e_{3}} = \bm{e_{1}} \land \bm{e_{2}} \tag{16-3}
</tex>
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*(\bm{e_{1}} \land \bm{e_{2}} ) = \bm{e_{3}} \tag{16-4}
</tex>
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*(\bm{e_{2}} \land \bm{e_{3}} ) = \bm{e_{1}} \tag{16-5}
</tex>
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*(\bm{e_{3}} \land \bm{e_{1}} ) = \bm{e_{2}} \tag{16-6}
</tex>
<tex>
*(\bm{e_{1}}\land \bm{e_{2}} \land \bm{e_{3}} ) = 1 \tag...
</tex>
<tex>
*(1)=\bm{e_{1}}\land \bm{e_{2}} \land \bm{e_{3}} \tag{1...
</tex>
式 $(16)$ の各式に出て来る添字の並びは、全て $(1 \ 2 \ 3)...
<tex>
*\bm{e_{3}} = - \bm{e_{2}} \land \bm{e_{1}}
</tex>
こう書きたければこれでも構いませんが、ウェッジ積の性質 $ ...
どうでしょう、式 $(16)$ は、意外に分かりやすい結果だと思...
具体例の発展
---------------------------------------------------------...
式 $(16)$ を使って、 ウェッジ積について補足_ の記事の最後...
<tex>
\lambda \land \mu &= (A\bm{e_{x}}+B\bm{e_{y}}+C\bm{e_{z}}...
& = (BG-CF)\bm{e_{y}}\land \bm{e_{z}} + (CE-AG)\bm{e_{z}}...
</tex>
両辺の $*$ を取ってみます。
<tex>
*(\lambda \land \mu ) &= (BG-CF)*(\bm{e_{y}}\land \bm{e...
&= (BG-CF)\bm{e_{x}} + (CE-AG) \bm{e_{y}} + (AF-BE) \b...
</tex>
これは・・・、なんとベクトルの外積になっています。いまま...
<tex>
\lambda \times \mu =*(\lambda \land \mu) \ \ \ \ ( \lamb...
</tex>
もう一つ、1-ベクトル $\alpha$ と2-ベクトル $\beta$ のウェ...
<tex>
\alpha \land \beta & =
(A\bm{e_{x}}+B\bm{e_{y}}+C\bm{e_{z}})\land (P\bm{e_{y}}\l...
& = (AP+BQ+CR)\bm{e_{x}} \land \bm{e_{y}} \land \bm{e_{z}...
</tex>
両辺の $*$ を取ってみます。
<tex>
*(\alpha \land \beta )
& = (AP+BQ+CR)*(\bm{e_{x}} \land \bm{e_{y}} \land \bm{e_{...
& = AP+BQ+CR \tag{20}
</tex>
これは『双対ベクトルの内積がスカラーになる』というベクト...
<tex>
\alpha \cdot \beta =*(\alpha \land \beta) \ \ \ \ ( \alp...
</tex>
式 $(21)$ は、元の属する空間が違うだけで、式 $(18)$ と基...
.. _ミンコフスキー空間上の微分形式: http://www12.plala.or...
.. _`p-ベクトルの内積`: http://www12.plala.or.jp/ksp/diff...
.. _ウェッジ積について補足: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
.. _内積と双対空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoran...
.. _双対基底と双対空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/vect...
.. _`MathForum@Drexel`: http://mathforum.org/
.. _軸性ベクトル: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranal...
.. _スカラー三重積: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoran...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-11-06@@
@@category: 微分形式@@
@@id: HodgeStarOperator@@
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