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開始行:
#rst2hooktail_source
===================================
ベクトル方程式
===================================
1.ベクトル方程式とは
----------------------
ベクトル方程式とは空間上の点がある規則(直線上、平面上、...
僕たちが中学で習った一次関数の式
<tex>
y=ax+b
</tex>
も変形してあげれば
<tex>
y-ax-b=0
</tex>
のように
<tex>
f(x,y)=0
</tex>
というように方程式の形で表せます。
一次関数のグラフのような二次元上の簡単な図形であればベク...
しかしそれが、曲線となったり三次元上の点となるとなかなか...
そこでベクトル幾何学的な性質などを利用して、ベクトルでそ...
今一度"方程式"の用語の意味を確認しておきましょう。
方程式とは
.. important::
「"ある"変数について成り立っている等式」
のことを言います。
これは僕の捉え方ですがいわゆる「関係式」という解釈をしてあ...
そのベクトルが満たさなければならない条件をベクトルに含ま...
.. contents::
2.直線の方程式
-----------------
先ず直線のベクトル方程式を考えて見ましょう。
図形的に考えると以下の通り
.. image:: yassan-RestudyVector04-fig1.png
ここでの表現を数式を用いて表すと適当な実数を $k$ 一般の位...
<tex>
&\bm{r}=\bm{r_0}+k\bm{a}\ \ \ \ (\bm{a} \equiv \overright...
\Longleftrightarrow
&\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x_0 \\
y_0 \\
z_0
\end{pmatrix}
+
k
\begin{pmatrix}
a_x \\
a_y \\
a_z
\end{pmatrix}
</tex>
各成分を比較して
<tex>
\left\{ \begin{array}{ll}
&x=x_0+ka_x \\
&y=y_0+ka_y \\
&z=z_0+ka_z
\end{array} \right.
</tex>
上式の $k$ はパラメタなので消去( $k$ について解いて三式を...
<tex>
\frac{a_x}{x-x_0}=\frac{a_y}{y-y_0}=\frac{a_z}{z-z_0}(=1/k)
</tex>
とした上式が正式な三次元の直線の方程式です。この $x$ と $...
<tex>
&a_x(y-y_0)=a_y(x-x_0) \\
\Longleftrightarrow
&a_xy-a_yx-a_xy_0+a_yx_0=0 \\
\Longleftrightarrow
&y=\frac{a_y}{a_x}x+\frac{a_xy_0-a_yx_0}{a_x}
</tex>
となり
<tex>
&a(x-x_0)=b(y-y_0) \\
&ax+by+c=0 \\
&y=ax+b
</tex>
という二次元の直線の方程式と一致することが見て取れるかと...
具体的には三次元の直線の方程式を二次元の座標に射影させた...
直線の方程式は直線が通る二点がわかっていれば、 もう一度ベ...
<tex>
\bm{r}
=
&\frac{n}{m+n}\bm{a}+\frac{m}{m+n}\bm{b} \\
\stackrel{\mathrm{or}}{=}
&\ \frac{n\bm{a}+m\bm{b}}{m+n}\bm{a}
</tex>
.. image:: yassan-RestudyVector03-fig2.png
.. _もう一度ベクトル3: http://www12.plala.or.jp/ksp/math...
3.平面の方程式
-------------------
1. 型1 平面上の2ベクトルがわかっている場合
平面上に乗っている2ベクトルが既知の場合を考えます
平行でない2ベクトル $\bm{a}$ , $\bm{b}$ の各定数倍の和(...
とか一次結合と言います): $k\bm{a}+l\bm{b}$ がそのベクト...
平面全てを表せるという事です。
.. image:: yassan-RestudyVector04-fig2.png
上図のように平面上のあらゆる点が $k\bm{a}+l\bm{b}$ で表...
いただけるでしょうか?
因みに上図は $\bm{a}$ , $\bm{b}$ を基底とした斜交座標と...
「平行でない」をことわった理由は斜交座標では基底が平行だと...
基底方向の直線しか表せず、平面を表現できないために平行で...
したかったからです。その様子も上図から見て取れると思いま...
平面上の任意のベクトルを $\bm{r}$ とすると上記の2ベクト...
<tex>
&\bm{r}=\bm{r_0}+k\bm{a}+l\bm{b} \\
\Longleftrightarrow
&\bm{r}-\bm{r_0}=k\bm{a}+l\bm{b}
</tex>
ここで計算を簡単にするため $\bm{r}-\bm{r_0}\stackrel{\mat...
考えます
<tex>
&\begin{pmatrix}
x^\prime \\
y^\prime \\
z^\prime
\end{pmatrix}
=
k
\begin{pmatrix}
a_x \\
a_y \\
a_z
\end{pmatrix}
+
l
\begin{pmatrix}
b_x \\
b_y \\
b_z
\end{pmatrix} \\
\Longleftrightarrow
&\left\{ \begin{array}{ll}
x^\prime=ka_x+lb_x \\
y^\prime=ka_y+lb_y \\
z^\prime=ka_z+lb_z
\end{array} \right.
</tex>
とかけました。今回はパラメーターが二つあるのでうまく消去...
ここで計算はストップしておきましょう。
2. 型2 平面に垂直なベクトルがわかっている場合
平面に垂直なベクトルがわかっている場合を考えます
以上のようにその平面に乗っている2ベクトルがわかればよい...
問題ではその平面に垂直なベクトル(法線ベクトル)を考えて計...
平面と一対一に対応するのはその平面に垂直なベクトルだから...
背中をつけてグリグリ立体的にまわしてみますと一対一に対応...
と思います。また、物理的にその点での物理的状態を考える際...
ています。
.. image:: yassan-RestudyVector04-fig3.png
具体的に計算をするのですが、上図から $\bm{r}^\prime$ と...
即解決します。具体的に書きますと
<tex>
&\begin{pmatrix}
x^\prime \\
y^\prime \\
z^\prime
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
n_x \\
n_y \\
n_z
\end{pmatrix}=0 \\
\Longleftrightarrow
&n_xx^\prime+n_yy^\prime+n_zz^\prime=0 \\
\Longleftrightarrow
&n_x(x-x_0)+n_y(y-y_0)+n_z(z-z_0)=0 \\
\Longleftrightarrow
&n_xx+n_yy+n_zz-(n_xx_0+n_yy_0+n_zz_0)=0
</tex>
ということで一般化しますと
<tex>
&ax+by+cz+d=0 \\
\rm{or} \\
&a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0
</tex>
は法線ベクトルが
<tex>
\begin{pmatrix}
a \\
b \\
c
\end{pmatrix}
</tex>
の適当な定点を通る平面の方程式の一般形であること
がわかると思います。型1のような与えられ方をしていてもそ...
法線ベクトルを求めればすぐに公式どおりの計算に持ち込める...
ベクトルは単位法線ベクトルである必要性はありません。なぜ...
、 $\bm{a}$ その大きさを $|\bm{a}|\stackrel{\mathrm{def}}...
ベクトルに平行な単位法線ベクトルを $\bm{n}$ とすると
<tex>
&\bm{a}=k\bm{n} \\
\Longleftrightarrow
&\begin{pmatrix}
a \\
b \\
c
\end{pmatrix}
=k
\begin{pmatrix}
n_x \\
n_y \\
n_z
\end{pmatrix} \\
\Longleftrightarrow
&\left\{ \begin{array}{ll}
a=kn_x \\
b=kn_y \\
c=kn_z
\end{array} \right.
</tex>
となります。ここで直線の方程式に代入してみますと
<tex>
&ax+by+cz+d=0 \\
\Longleftrightarrow
&kn_xx+kn_yy+kn_zz+d=0 \\
\Longleftrightarrow
&n_xx+n_yy+n_zz+d=0
</tex>
となり全ての $k$ が約分されるので単位ベクトルでもそうでな...
全く同値な式が導けます。
4.球面の方程式
---------------------
球面であるとはどういうことでしょうか?「ある定点までの距...
事実からベクトル $\bm{r}$ が満たすべき条件は球の中心を $A...
半径を $r$ として
<tex>
&|\bm{r}-\bm{a}|=r \\
\Longleftrightarrow
&|\bm{r}-\bm{a}|^2=r^2 \\
\Longleftrightarrow
&\left|\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
a \\
b \\
c
\end{pmatrix}\right|^2=r^2 \\
\Longleftrightarrow
&\left|\begin{pmatrix}
x-a \\
y-b \\
z-c
\end{pmatrix}\right|^2=r^2 \\
\Longleftrightarrow
&(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2
</tex>
円の方程式はと言うと二次元の円であれば $z=c=0$ として
<tex>
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
</tex>
と表せます。
.. image:: yassan-RestudyVector04-fig4.png
立体的に傾いた円であれば球の方程式と平面の方程式の共通部...
でも手で解くのは結構大変そうですね。
.. image:: yassan-RestudyVector04-fig5.png
5.円錐の方程式(演習問題)
----------------------------
以上のことから円錐の方程式も比較的容易にわかるのでぜひ...
因みに一般系は、円錐の頂点の位置ベクトルを $\bm{r}_0$ と...
<tex>
\frac{ax'+by'+cz'}{\sqrt{(x')^2+(y')^2+(z')^2}\sqrt{a^2+b...
=
Const
</tex>
<tex>
\bm{r}'
&=
\begin{pmatrix}
x' \\
y' \\
z'
\end{pmatrix} \\
&\stackrel{\mathrm{def}}{=}
\bm{r}-\bm{r}_0 \\
&=
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
x_0 \\
y_0 \\
z_0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x-x_0 \\
y-y_0 \\
z-z_0
\end{pmatrix}
</tex>
と表せます。
もちろん他の文献では、これを変形したものや、定数を置き換...
解答は準備中.
.. こちら_ にあります。
hint
1. 角度の概念が出てきます
2. 表記を睨んで見ましょう
..
.. _こちら: http://www12.plala.or.jp/ksp/
6.まとめ
----------------------------
ベクトル方程式を自分で立てるのにはちょっとしたコツがい...
ベクトルが持つ幾何学的な条件の中で"どれ"を使うかがキーに...
- 直線の方程式…ベクトルのスカラー倍でベクトルを延長した際...
- 平面の方程式 型1…2つのベクトルの線形結合で1つの平面が...
- 平面の方程式 型2…平面と一対一に対応するものとして法線...
- 球の方程式…ベクトルが線分である(あるいは大きさがある)と...
- 円錐の方程式…内積により角度が表現できること。
と挙げてみるとどうやら
- 線分→延ばすと直線
- 線分→大きさがある
- 方向&内積→2つのベクトル間の角度が表せる
といった点に集約されるのではないでしょうか。
逆に以上の条件では表し難い図形、例えば楕円体などはコンパ...
ベクトル方程式も万能とはいえませんが、表せる図形がコンパ...
@@author: やっさん@@
@@accept: 2005-09-28@@
@@category: ベクトル解析@@
@@information: イラスト:崎間@@
@@id: vectorEquation@@
終了行:
#rst2hooktail_source
===================================
ベクトル方程式
===================================
1.ベクトル方程式とは
----------------------
ベクトル方程式とは空間上の点がある規則(直線上、平面上、...
僕たちが中学で習った一次関数の式
<tex>
y=ax+b
</tex>
も変形してあげれば
<tex>
y-ax-b=0
</tex>
のように
<tex>
f(x,y)=0
</tex>
というように方程式の形で表せます。
一次関数のグラフのような二次元上の簡単な図形であればベク...
しかしそれが、曲線となったり三次元上の点となるとなかなか...
そこでベクトル幾何学的な性質などを利用して、ベクトルでそ...
今一度"方程式"の用語の意味を確認しておきましょう。
方程式とは
.. important::
「"ある"変数について成り立っている等式」
のことを言います。
これは僕の捉え方ですがいわゆる「関係式」という解釈をしてあ...
そのベクトルが満たさなければならない条件をベクトルに含ま...
.. contents::
2.直線の方程式
-----------------
先ず直線のベクトル方程式を考えて見ましょう。
図形的に考えると以下の通り
.. image:: yassan-RestudyVector04-fig1.png
ここでの表現を数式を用いて表すと適当な実数を $k$ 一般の位...
<tex>
&\bm{r}=\bm{r_0}+k\bm{a}\ \ \ \ (\bm{a} \equiv \overright...
\Longleftrightarrow
&\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x_0 \\
y_0 \\
z_0
\end{pmatrix}
+
k
\begin{pmatrix}
a_x \\
a_y \\
a_z
\end{pmatrix}
</tex>
各成分を比較して
<tex>
\left\{ \begin{array}{ll}
&x=x_0+ka_x \\
&y=y_0+ka_y \\
&z=z_0+ka_z
\end{array} \right.
</tex>
上式の $k$ はパラメタなので消去( $k$ について解いて三式を...
<tex>
\frac{a_x}{x-x_0}=\frac{a_y}{y-y_0}=\frac{a_z}{z-z_0}(=1/k)
</tex>
とした上式が正式な三次元の直線の方程式です。この $x$ と $...
<tex>
&a_x(y-y_0)=a_y(x-x_0) \\
\Longleftrightarrow
&a_xy-a_yx-a_xy_0+a_yx_0=0 \\
\Longleftrightarrow
&y=\frac{a_y}{a_x}x+\frac{a_xy_0-a_yx_0}{a_x}
</tex>
となり
<tex>
&a(x-x_0)=b(y-y_0) \\
&ax+by+c=0 \\
&y=ax+b
</tex>
という二次元の直線の方程式と一致することが見て取れるかと...
具体的には三次元の直線の方程式を二次元の座標に射影させた...
直線の方程式は直線が通る二点がわかっていれば、 もう一度ベ...
<tex>
\bm{r}
=
&\frac{n}{m+n}\bm{a}+\frac{m}{m+n}\bm{b} \\
\stackrel{\mathrm{or}}{=}
&\ \frac{n\bm{a}+m\bm{b}}{m+n}\bm{a}
</tex>
.. image:: yassan-RestudyVector03-fig2.png
.. _もう一度ベクトル3: http://www12.plala.or.jp/ksp/math...
3.平面の方程式
-------------------
1. 型1 平面上の2ベクトルがわかっている場合
平面上に乗っている2ベクトルが既知の場合を考えます
平行でない2ベクトル $\bm{a}$ , $\bm{b}$ の各定数倍の和(...
とか一次結合と言います): $k\bm{a}+l\bm{b}$ がそのベクト...
平面全てを表せるという事です。
.. image:: yassan-RestudyVector04-fig2.png
上図のように平面上のあらゆる点が $k\bm{a}+l\bm{b}$ で表...
いただけるでしょうか?
因みに上図は $\bm{a}$ , $\bm{b}$ を基底とした斜交座標と...
「平行でない」をことわった理由は斜交座標では基底が平行だと...
基底方向の直線しか表せず、平面を表現できないために平行で...
したかったからです。その様子も上図から見て取れると思いま...
平面上の任意のベクトルを $\bm{r}$ とすると上記の2ベクト...
<tex>
&\bm{r}=\bm{r_0}+k\bm{a}+l\bm{b} \\
\Longleftrightarrow
&\bm{r}-\bm{r_0}=k\bm{a}+l\bm{b}
</tex>
ここで計算を簡単にするため $\bm{r}-\bm{r_0}\stackrel{\mat...
考えます
<tex>
&\begin{pmatrix}
x^\prime \\
y^\prime \\
z^\prime
\end{pmatrix}
=
k
\begin{pmatrix}
a_x \\
a_y \\
a_z
\end{pmatrix}
+
l
\begin{pmatrix}
b_x \\
b_y \\
b_z
\end{pmatrix} \\
\Longleftrightarrow
&\left\{ \begin{array}{ll}
x^\prime=ka_x+lb_x \\
y^\prime=ka_y+lb_y \\
z^\prime=ka_z+lb_z
\end{array} \right.
</tex>
とかけました。今回はパラメーターが二つあるのでうまく消去...
ここで計算はストップしておきましょう。
2. 型2 平面に垂直なベクトルがわかっている場合
平面に垂直なベクトルがわかっている場合を考えます
以上のようにその平面に乗っている2ベクトルがわかればよい...
問題ではその平面に垂直なベクトル(法線ベクトル)を考えて計...
平面と一対一に対応するのはその平面に垂直なベクトルだから...
背中をつけてグリグリ立体的にまわしてみますと一対一に対応...
と思います。また、物理的にその点での物理的状態を考える際...
ています。
.. image:: yassan-RestudyVector04-fig3.png
具体的に計算をするのですが、上図から $\bm{r}^\prime$ と...
即解決します。具体的に書きますと
<tex>
&\begin{pmatrix}
x^\prime \\
y^\prime \\
z^\prime
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
n_x \\
n_y \\
n_z
\end{pmatrix}=0 \\
\Longleftrightarrow
&n_xx^\prime+n_yy^\prime+n_zz^\prime=0 \\
\Longleftrightarrow
&n_x(x-x_0)+n_y(y-y_0)+n_z(z-z_0)=0 \\
\Longleftrightarrow
&n_xx+n_yy+n_zz-(n_xx_0+n_yy_0+n_zz_0)=0
</tex>
ということで一般化しますと
<tex>
&ax+by+cz+d=0 \\
\rm{or} \\
&a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0
</tex>
は法線ベクトルが
<tex>
\begin{pmatrix}
a \\
b \\
c
\end{pmatrix}
</tex>
の適当な定点を通る平面の方程式の一般形であること
がわかると思います。型1のような与えられ方をしていてもそ...
法線ベクトルを求めればすぐに公式どおりの計算に持ち込める...
ベクトルは単位法線ベクトルである必要性はありません。なぜ...
、 $\bm{a}$ その大きさを $|\bm{a}|\stackrel{\mathrm{def}}...
ベクトルに平行な単位法線ベクトルを $\bm{n}$ とすると
<tex>
&\bm{a}=k\bm{n} \\
\Longleftrightarrow
&\begin{pmatrix}
a \\
b \\
c
\end{pmatrix}
=k
\begin{pmatrix}
n_x \\
n_y \\
n_z
\end{pmatrix} \\
\Longleftrightarrow
&\left\{ \begin{array}{ll}
a=kn_x \\
b=kn_y \\
c=kn_z
\end{array} \right.
</tex>
となります。ここで直線の方程式に代入してみますと
<tex>
&ax+by+cz+d=0 \\
\Longleftrightarrow
&kn_xx+kn_yy+kn_zz+d=0 \\
\Longleftrightarrow
&n_xx+n_yy+n_zz+d=0
</tex>
となり全ての $k$ が約分されるので単位ベクトルでもそうでな...
全く同値な式が導けます。
4.球面の方程式
---------------------
球面であるとはどういうことでしょうか?「ある定点までの距...
事実からベクトル $\bm{r}$ が満たすべき条件は球の中心を $A...
半径を $r$ として
<tex>
&|\bm{r}-\bm{a}|=r \\
\Longleftrightarrow
&|\bm{r}-\bm{a}|^2=r^2 \\
\Longleftrightarrow
&\left|\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
a \\
b \\
c
\end{pmatrix}\right|^2=r^2 \\
\Longleftrightarrow
&\left|\begin{pmatrix}
x-a \\
y-b \\
z-c
\end{pmatrix}\right|^2=r^2 \\
\Longleftrightarrow
&(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2
</tex>
円の方程式はと言うと二次元の円であれば $z=c=0$ として
<tex>
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
</tex>
と表せます。
.. image:: yassan-RestudyVector04-fig4.png
立体的に傾いた円であれば球の方程式と平面の方程式の共通部...
でも手で解くのは結構大変そうですね。
.. image:: yassan-RestudyVector04-fig5.png
5.円錐の方程式(演習問題)
----------------------------
以上のことから円錐の方程式も比較的容易にわかるのでぜひ...
因みに一般系は、円錐の頂点の位置ベクトルを $\bm{r}_0$ と...
<tex>
\frac{ax'+by'+cz'}{\sqrt{(x')^2+(y')^2+(z')^2}\sqrt{a^2+b...
=
Const
</tex>
<tex>
\bm{r}'
&=
\begin{pmatrix}
x' \\
y' \\
z'
\end{pmatrix} \\
&\stackrel{\mathrm{def}}{=}
\bm{r}-\bm{r}_0 \\
&=
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
x_0 \\
y_0 \\
z_0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x-x_0 \\
y-y_0 \\
z-z_0
\end{pmatrix}
</tex>
と表せます。
もちろん他の文献では、これを変形したものや、定数を置き換...
解答は準備中.
.. こちら_ にあります。
hint
1. 角度の概念が出てきます
2. 表記を睨んで見ましょう
..
.. _こちら: http://www12.plala.or.jp/ksp/
6.まとめ
----------------------------
ベクトル方程式を自分で立てるのにはちょっとしたコツがい...
ベクトルが持つ幾何学的な条件の中で"どれ"を使うかがキーに...
- 直線の方程式…ベクトルのスカラー倍でベクトルを延長した際...
- 平面の方程式 型1…2つのベクトルの線形結合で1つの平面が...
- 平面の方程式 型2…平面と一対一に対応するものとして法線...
- 球の方程式…ベクトルが線分である(あるいは大きさがある)と...
- 円錐の方程式…内積により角度が表現できること。
と挙げてみるとどうやら
- 線分→延ばすと直線
- 線分→大きさがある
- 方向&内積→2つのベクトル間の角度が表せる
といった点に集約されるのではないでしょうか。
逆に以上の条件では表し難い図形、例えば楕円体などはコンパ...
ベクトル方程式も万能とはいえませんが、表せる図形がコンパ...
@@author: やっさん@@
@@accept: 2005-09-28@@
@@category: ベクトル解析@@
@@information: イラスト:崎間@@
@@id: vectorEquation@@
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