記事ソース/ベクトル解析奮闘記2
をテンプレートにして作成
査読
rst2hooktail
進行表
執筆中
かぎマニュ
物理のかぎプロジェクト
トップ
最近の更新
ヘルプ
開始行:
#rst2hooktail_source
===================
ベクトル解析奮闘記2
===================
大学に入ると”ベクトル解析”を習うのですが、高校でやる”ベク...
ちょっと手ごわそうです。黒板に先生が書いた式も、難しそう...
もしよろしかったら私と一緒にベクトル解析の基本、やってみ...
(続き物なので ベクトル解析奮闘記1_ からお読みいただくと...
.. _ベクトル解析奮闘記1: http://www12.plala.or.jp/ksp/vec...
自宅で復習(divの巻)
------------------------
えーっと、 ${\rm div}$ か・・・。読みは”ダイバージェンス”...
先生が黒板に書いた式は $\vec{A}$ をベクトル関数とすると
<tex>\vec{A}=(A_x,A_y,A_z)</tex>と書けて、
<tex>{\rm div}\vec{A}=\frac{\partial A_x}{\partial x}+\fr...
ですか・・・。偏微分記号 $\partial$ は少し見慣れてきまし...
ベクトル関数
------------------------
まずベクトル関数というものですが、空間の一点で決まるベク...
.. image:: yakan-vec2-fig6.png
3次元ベクトルなので $x$ 軸、 $y$ 軸、 $z$ 軸方向の成分が...
<tex>\vec{A}=(F,G,H)</tex>
の方が誤解が少ないかな(同じか・・・)。
量が湧き出す小箱?
------------------
さて、先生が黒板に書いた図によるご説明では、”直方体のよう...
辺の長さがそれぞれ h , i , j の直方体を例に考えてみまし...
.. image:: yakan-vec2-fig1.png
もう一度自分の使い慣れた記号を使って書いてみます。直方体...
面 $B$ からの単位面積あたりの流出量は $F(x+h)$ となります...
.. image:: yakan-vec2-fig2.png
それぞれの面の面積は $ij$ だから、直方体を通る事による正...
<tex>
&ijF(x+h)-ijF(x)
\\
\\
&=ij\{F(x+h)-F(x) \}
\\
\\
&=hij\frac{F(x+h)-F(x)}{h}</tex>
良く見ると最後の式の $hij$ は直方体の体積、その右は $h$ ...
$hij$ を体積 $V$ 、 $F$ は $x,y,z$ 3変数の関数だけど、 $h...
<tex>V\frac{\partial F}{\partial x}</tex>
と書けますね。
実際にはあと対向する二組の面があるから、同様に( $x$ と同...
$y$ の場合(以下に図と式)
.. image:: yakan-vec2-fig4.png
<tex>
&hjG(y+i)-hjG(y)
\\
\\
&=hj\{G(y+i)-G(y) \}
\\
\\
&=hij\frac{G(y+i)-G(y)}{i}</tex>
同様に $i$ を $0$ に近づけた極限を考えて、
<tex>V\frac{\partial G}{\partial y}</tex>
$z$ の場合(以下に図と式)
.. image:: yakan-vec2-fig5.png
<tex>
&hiH(z+j)-hiH(z)
\\
\\
&=hi\{H(z+j)-H(z) \}
\\
\\
&=hij\frac{H(z+j)-H(z)}{j}</tex>
同様に $j$ を $0$ に近づけた極限を考えて、
<tex>V\frac{\partial H}{\partial z}</tex>
となります。
結局、3方向への増加分合計は、
<tex>V\frac{\partial F}{\partial x}+V\frac{\partial G}{\p...
となるわけですね。右辺に体積 $V$ が掛け算されて総増加分に...
なるほどこれイコール ${\rm div}\vec{A}$ (ベクトル $A$ の...
数字を入れるとわかりやすいかも
------------------------
例えば
<tex>F=x+2y+3z</tex>
<tex>G=4x+5y+6z</tex>
<tex>H=7x+8y+9z</tex>
とすると、
<tex>
&{\rm div} \vec{A}(F,G,H)
\\
\\
&=\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial G}{\partia...
\\
\\
&=\frac{\partial (x+2y+3z)}{\partial x}+\frac{\partial (4...
\\
\\
&=1+5+9
\\
\\
&=15</tex>
となるわけですね。う〜ん、わかったと言えばわかったような...
果たして何の役に?
---------------
ところでこの ${\rm div}$ の概念、一体どうゆう場面で使うの...
先生がおっしゃるには上にも書いたように温泉の湧き出し口の...
<tex>{\rm div} \vec{D}= \rho</tex>
という風に使うみたいですね。
電荷があると、電束が湧き出す・・・(とたんに難しそうに見...
(続き物なので ベクトル解析奮闘記1_ , ベクトル解析奮闘...
.. _ベクトル解析奮闘記1: http://www12.plala.or.jp/ksp/vec...
.. _ベクトル解析奮闘記3: http://www12.plala.or.jp/ksp/vec...
@@author:やかん@@
@@information:イラスト:崎間@@
@@accept:2005-10-12@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: vecFuntou2@@
終了行:
#rst2hooktail_source
===================
ベクトル解析奮闘記2
===================
大学に入ると”ベクトル解析”を習うのですが、高校でやる”ベク...
ちょっと手ごわそうです。黒板に先生が書いた式も、難しそう...
もしよろしかったら私と一緒にベクトル解析の基本、やってみ...
(続き物なので ベクトル解析奮闘記1_ からお読みいただくと...
.. _ベクトル解析奮闘記1: http://www12.plala.or.jp/ksp/vec...
自宅で復習(divの巻)
------------------------
えーっと、 ${\rm div}$ か・・・。読みは”ダイバージェンス”...
先生が黒板に書いた式は $\vec{A}$ をベクトル関数とすると
<tex>\vec{A}=(A_x,A_y,A_z)</tex>と書けて、
<tex>{\rm div}\vec{A}=\frac{\partial A_x}{\partial x}+\fr...
ですか・・・。偏微分記号 $\partial$ は少し見慣れてきまし...
ベクトル関数
------------------------
まずベクトル関数というものですが、空間の一点で決まるベク...
.. image:: yakan-vec2-fig6.png
3次元ベクトルなので $x$ 軸、 $y$ 軸、 $z$ 軸方向の成分が...
<tex>\vec{A}=(F,G,H)</tex>
の方が誤解が少ないかな(同じか・・・)。
量が湧き出す小箱?
------------------
さて、先生が黒板に書いた図によるご説明では、”直方体のよう...
辺の長さがそれぞれ h , i , j の直方体を例に考えてみまし...
.. image:: yakan-vec2-fig1.png
もう一度自分の使い慣れた記号を使って書いてみます。直方体...
面 $B$ からの単位面積あたりの流出量は $F(x+h)$ となります...
.. image:: yakan-vec2-fig2.png
それぞれの面の面積は $ij$ だから、直方体を通る事による正...
<tex>
&ijF(x+h)-ijF(x)
\\
\\
&=ij\{F(x+h)-F(x) \}
\\
\\
&=hij\frac{F(x+h)-F(x)}{h}</tex>
良く見ると最後の式の $hij$ は直方体の体積、その右は $h$ ...
$hij$ を体積 $V$ 、 $F$ は $x,y,z$ 3変数の関数だけど、 $h...
<tex>V\frac{\partial F}{\partial x}</tex>
と書けますね。
実際にはあと対向する二組の面があるから、同様に( $x$ と同...
$y$ の場合(以下に図と式)
.. image:: yakan-vec2-fig4.png
<tex>
&hjG(y+i)-hjG(y)
\\
\\
&=hj\{G(y+i)-G(y) \}
\\
\\
&=hij\frac{G(y+i)-G(y)}{i}</tex>
同様に $i$ を $0$ に近づけた極限を考えて、
<tex>V\frac{\partial G}{\partial y}</tex>
$z$ の場合(以下に図と式)
.. image:: yakan-vec2-fig5.png
<tex>
&hiH(z+j)-hiH(z)
\\
\\
&=hi\{H(z+j)-H(z) \}
\\
\\
&=hij\frac{H(z+j)-H(z)}{j}</tex>
同様に $j$ を $0$ に近づけた極限を考えて、
<tex>V\frac{\partial H}{\partial z}</tex>
となります。
結局、3方向への増加分合計は、
<tex>V\frac{\partial F}{\partial x}+V\frac{\partial G}{\p...
となるわけですね。右辺に体積 $V$ が掛け算されて総増加分に...
なるほどこれイコール ${\rm div}\vec{A}$ (ベクトル $A$ の...
数字を入れるとわかりやすいかも
------------------------
例えば
<tex>F=x+2y+3z</tex>
<tex>G=4x+5y+6z</tex>
<tex>H=7x+8y+9z</tex>
とすると、
<tex>
&{\rm div} \vec{A}(F,G,H)
\\
\\
&=\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial G}{\partia...
\\
\\
&=\frac{\partial (x+2y+3z)}{\partial x}+\frac{\partial (4...
\\
\\
&=1+5+9
\\
\\
&=15</tex>
となるわけですね。う〜ん、わかったと言えばわかったような...
果たして何の役に?
---------------
ところでこの ${\rm div}$ の概念、一体どうゆう場面で使うの...
先生がおっしゃるには上にも書いたように温泉の湧き出し口の...
<tex>{\rm div} \vec{D}= \rho</tex>
という風に使うみたいですね。
電荷があると、電束が湧き出す・・・(とたんに難しそうに見...
(続き物なので ベクトル解析奮闘記1_ , ベクトル解析奮闘...
.. _ベクトル解析奮闘記1: http://www12.plala.or.jp/ksp/vec...
.. _ベクトル解析奮闘記3: http://www12.plala.or.jp/ksp/vec...
@@author:やかん@@
@@information:イラスト:崎間@@
@@accept:2005-10-12@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: vecFuntou2@@
ページ名:
Modified by
物理のかぎプロジェクト
PukiWiki 1.4.6
Copyright © 2001-2005
PukiWiki Developers Team
. License is
GPL
.
Based on "PukiWiki" 1.3 by
yu-ji
Powered by PHP 5.3.29 HTML convert time to 0.002 sec.