記事ソース/ベクトルポテンシャルは接続であるとはどういうことか3
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ベクトルポテンシャルは接続であるとはどういうことか
=========================================================...
この記事では、電磁気学のベクトルポテンシャル $A_i(x)$ は、
なぜ接続(ゲージ場)と呼ばれるのか、それを説明します。
接続とは
===============
「接続」とは、物理でいう「ゲージ場」の数学での名称です。
接続は多様体上の平行移動に関係します。
そこでは、基底が空間の曲がりの為一定ではなく、変化します。
接続の定義を確認しましょう。
<tex>
\partial_i e_j = \Gamma^k_{ij} e_k \tag{##}
</tex>
なんと、接続 $ \Gamma^k_{ij} $ には添え字が三つもあるでは...
一方で、ベクトルポテンシャル $A_i$ に添え字は一つです。
よって、これらを比較するには少し工夫が必要です。
ベクトルポテンシャルの正体
======================================
ゲージ場としてベクトルポテンシャルは $U(1)$ ゲージ場と呼...
基底を $e^{i \theta}$ とすればよいのです。
試しに、下のように位相因子 $\theta(x)$ を定義します。
<tex>
\partial_i e^{i \theta(x)} = \dfrac{iq}{\hbar} A_i(x) e^{...
</tex>
ただし、 $q(>0)$ は粒子の電荷です。
また、 $i \theta $ の $i$ は虚数単位です。
すると、 $\theta$ を $A$ で表すことができます。
<tex>
\theta(x) = \dfrac{iq}{\hbar}\int^{x} A_j dx^j \equiv \Ga...
</tex>
上で接続 $\Gamma$ を定義しました。
つまり、この $U(1)$ ゲージ場の接続とは(局所位相変換の)...
波動関数は、 $x_0$ から $x$ に移動すると、
<tex>
\psi(x) = e^{i \theta(x)} \psi(x_0)
</tex>
で結ばれます。
波動関数の平行移動をしてみる
======================================
波動関数 $\psi(x)$ の有限距離の平行移動を試みます。 $x_0 ...
平行移動の作用素を $M$ とすると、微小距離の平行移動 $1+ i...
<tex>
M
&= \lim_{dx^j \to 0} (1 + \dfrac{iq}{\hbar} A_j(x) dx^j)^...
&= \lim_{dx \to 0} (1 + i \Gamma(x) dx)^{x/dx} \\
&= \lim_{dx \to 0} \prod_{k=0}^{n} \left( 1 + i \Gamma \l...
</tex>
ここで $x_0$ に相当する点を $k=0$ 、 $x$ に相当する点を $...
すると、対数を取って、
<tex>
\ln M &= \sum_{k=0}^n \ln \left( 1 + i \Gamma \left( x_0 ...
&\simeq \sum_{k=0}^n i \Gamma \left( x_0 + (x-x_0)\dfrac{...
&\simeq i \int_{x_0}^x \Gamma(x) dx \\
&= \dfrac{iq}{\hbar} \int_{x_0}^{x} A_j(x) dx^j \tag{##}
</tex>
ここで、 $\ln(1+z) \simeq z $ と言う対数関数の解析接続と...
よって、
<tex>
M = \exp \left( \dfrac{iq}{\hbar} \int_{x_0}^{x} A_j(x) d...
</tex>
となります。つまり、平行移動すると、
<tex>
\psi(x) = M \psi(x_0) = \exp \left( \dfrac{iq}{\hbar} \in...
</tex>
ゲージ理論より
====================
ここで $U(1)$ ゲージ変換を思い出しましょう。それは
<tex>
\psi^\prime(x) &= \exp(i \theta) \psi(x) \tag{##} \\
A_i^\prime(x) &= A_i(x) + \dfrac{\hbar}{q} \dfrac{\partia...
</tex>
という局所位相変換で方程式が変わらないというものでした。
式 $(7)$ では点 $x_0$ では、左辺と右辺は同じになります。
また、 $x+dx$ で式 $(7)$ の平行移動を象徴的に表すと、 $\p...
式 $(7)$ と式 $(8)$ はつじつまが合います。 $\theta = \dfr...
また、式 $(9)$ は両端点を微分の変数として考えてあり、これ...
よって、ベクトルポテンシャル $A_i(x)$ は位置の移動と共に、
ゲージ $e^{i \theta}$ の変化を基底にした基底の曲がり具合...
この位相因子 $\exp \left( \dfrac{iq}{\hbar} \int_{x_0}^{x...
これは、下に参考文献として挙げた『トポロジカル絶縁体・超...
ただ、この記事では正電荷でSI単位系としましたが、この本で...
アハラノフ・ボーム効果
===============================
また、ベクトルポテンシャルには $\mathrm{rot} A^\prime_i =...
満たす不定性 $A_i+A^\prime_i$ がありますが、
ストークスの定理より、閉曲線一周の線積分には影響を与えま...
つまり、一周積分の経路 $\Gamma_1 - \Gamma_2$ を縁とする開...
<tex>
\dfrac{q}{\hbar} \int_{\Gamma_1 - \Gamma_2} A_i(x) dx &= ...
&= \dfrac{q}{\hbar} \Phi \tag{##}
</tex>
よって、荷電粒子を通過させる二経路 $\Gamma_1 , \Gamma_2$ ...
位相差
<tex>
\dfrac{q}{\hbar} \int_{\Gamma_1} A_i(x) dx &= \dfrac{q}{\...
\Delta \phi &= \dfrac{q}{\hbar} \Phi
\tag{##}
</tex>
が生じます。つまり、干渉が起こるのです。
これをアハラノフ・ボーム効果と言います。
ここで、興味深いのは荷電粒子の出発点と合流地点の位相差( $...
共変微分
=============
平行移動ができたので、 $U(1)$ ゲージでの共変微分について...
点 $x_0$ での波動関数 $\psi(x_0)$ を平行移動し $x_0+dx$ ...
それには $1+\dfrac{iq}{\hbar}A_i$ を掛ければよいので、
<tex>
\psi_\parallel(x_0+dx) = (1+\dfrac{iq}{\hbar}A_j dx^j) \p...
</tex>
この式ではアインシュタインの縮約記法を使っています。添え...
すると、共変微分 $D_i$ は $dx^i$ のみを変化させたときの量...
<tex>
D_i \psi(x) &= \lim_{dx^i \to 0} \dfrac{\psi(x+dx)-\psi_\...
&= \lim_{dx^i \to 0} \dfrac{\psi(x+dx)-\psi(x)}{dx^i} - \...
&= \left( \partial_i - \dfrac{iq}{\hbar}A_i \right) \psi(...
</tex>
相対論ではスカラー関数の共変微分はただの偏微分のはずなの...
今回の共変微分は、スカラーの波動関数の $U(1)$ ゲージ理論...
もし何か間違えていたり、お読みになって分かったことがあっ...
今日はここまで、お疲れさまでした!
@@reference: 野村健太郎,トポロジカル絶縁体・超伝導体,丸善...
@@reference: ファインマン他著;砂川重信訳,ファインマン物理...
@@author:クロメル@@
@@accept:2019-08-18@@
@@category:量子力学@@
@@id:connectionAndA@@
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ベクトルポテンシャルは接続であるとはどういうことか
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この記事では、電磁気学のベクトルポテンシャル $A_i(x)$ は、
なぜ接続(ゲージ場)と呼ばれるのか、それを説明します。
接続とは
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「接続」とは、物理でいう「ゲージ場」の数学での名称です。
接続は多様体上の平行移動に関係します。
そこでは、基底が空間の曲がりの為一定ではなく、変化します。
接続の定義を確認しましょう。
<tex>
\partial_i e_j = \Gamma^k_{ij} e_k \tag{##}
</tex>
なんと、接続 $ \Gamma^k_{ij} $ には添え字が三つもあるでは...
一方で、ベクトルポテンシャル $A_i$ に添え字は一つです。
よって、これらを比較するには少し工夫が必要です。
ベクトルポテンシャルの正体
======================================
ゲージ場としてベクトルポテンシャルは $U(1)$ ゲージ場と呼...
基底を $e^{i \theta}$ とすればよいのです。
試しに、下のように位相因子 $\theta(x)$ を定義します。
<tex>
\partial_i e^{i \theta(x)} = \dfrac{iq}{\hbar} A_i(x) e^{...
</tex>
ただし、 $q(>0)$ は粒子の電荷です。
また、 $i \theta $ の $i$ は虚数単位です。
すると、 $\theta$ を $A$ で表すことができます。
<tex>
\theta(x) = \dfrac{iq}{\hbar}\int^{x} A_j dx^j \equiv \Ga...
</tex>
上で接続 $\Gamma$ を定義しました。
つまり、この $U(1)$ ゲージ場の接続とは(局所位相変換の)...
波動関数は、 $x_0$ から $x$ に移動すると、
<tex>
\psi(x) = e^{i \theta(x)} \psi(x_0)
</tex>
で結ばれます。
波動関数の平行移動をしてみる
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波動関数 $\psi(x)$ の有限距離の平行移動を試みます。 $x_0 ...
平行移動の作用素を $M$ とすると、微小距離の平行移動 $1+ i...
<tex>
M
&= \lim_{dx^j \to 0} (1 + \dfrac{iq}{\hbar} A_j(x) dx^j)^...
&= \lim_{dx \to 0} (1 + i \Gamma(x) dx)^{x/dx} \\
&= \lim_{dx \to 0} \prod_{k=0}^{n} \left( 1 + i \Gamma \l...
</tex>
ここで $x_0$ に相当する点を $k=0$ 、 $x$ に相当する点を $...
すると、対数を取って、
<tex>
\ln M &= \sum_{k=0}^n \ln \left( 1 + i \Gamma \left( x_0 ...
&\simeq \sum_{k=0}^n i \Gamma \left( x_0 + (x-x_0)\dfrac{...
&\simeq i \int_{x_0}^x \Gamma(x) dx \\
&= \dfrac{iq}{\hbar} \int_{x_0}^{x} A_j(x) dx^j \tag{##}
</tex>
ここで、 $\ln(1+z) \simeq z $ と言う対数関数の解析接続と...
よって、
<tex>
M = \exp \left( \dfrac{iq}{\hbar} \int_{x_0}^{x} A_j(x) d...
</tex>
となります。つまり、平行移動すると、
<tex>
\psi(x) = M \psi(x_0) = \exp \left( \dfrac{iq}{\hbar} \in...
</tex>
ゲージ理論より
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ここで $U(1)$ ゲージ変換を思い出しましょう。それは
<tex>
\psi^\prime(x) &= \exp(i \theta) \psi(x) \tag{##} \\
A_i^\prime(x) &= A_i(x) + \dfrac{\hbar}{q} \dfrac{\partia...
</tex>
という局所位相変換で方程式が変わらないというものでした。
式 $(7)$ では点 $x_0$ では、左辺と右辺は同じになります。
また、 $x+dx$ で式 $(7)$ の平行移動を象徴的に表すと、 $\p...
式 $(7)$ と式 $(8)$ はつじつまが合います。 $\theta = \dfr...
また、式 $(9)$ は両端点を微分の変数として考えてあり、これ...
よって、ベクトルポテンシャル $A_i(x)$ は位置の移動と共に、
ゲージ $e^{i \theta}$ の変化を基底にした基底の曲がり具合...
この位相因子 $\exp \left( \dfrac{iq}{\hbar} \int_{x_0}^{x...
これは、下に参考文献として挙げた『トポロジカル絶縁体・超...
ただ、この記事では正電荷でSI単位系としましたが、この本で...
アハラノフ・ボーム効果
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また、ベクトルポテンシャルには $\mathrm{rot} A^\prime_i =...
満たす不定性 $A_i+A^\prime_i$ がありますが、
ストークスの定理より、閉曲線一周の線積分には影響を与えま...
つまり、一周積分の経路 $\Gamma_1 - \Gamma_2$ を縁とする開...
<tex>
\dfrac{q}{\hbar} \int_{\Gamma_1 - \Gamma_2} A_i(x) dx &= ...
&= \dfrac{q}{\hbar} \Phi \tag{##}
</tex>
よって、荷電粒子を通過させる二経路 $\Gamma_1 , \Gamma_2$ ...
位相差
<tex>
\dfrac{q}{\hbar} \int_{\Gamma_1} A_i(x) dx &= \dfrac{q}{\...
\Delta \phi &= \dfrac{q}{\hbar} \Phi
\tag{##}
</tex>
が生じます。つまり、干渉が起こるのです。
これをアハラノフ・ボーム効果と言います。
ここで、興味深いのは荷電粒子の出発点と合流地点の位相差( $...
共変微分
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平行移動ができたので、 $U(1)$ ゲージでの共変微分について...
点 $x_0$ での波動関数 $\psi(x_0)$ を平行移動し $x_0+dx$ ...
それには $1+\dfrac{iq}{\hbar}A_i$ を掛ければよいので、
<tex>
\psi_\parallel(x_0+dx) = (1+\dfrac{iq}{\hbar}A_j dx^j) \p...
</tex>
この式ではアインシュタインの縮約記法を使っています。添え...
すると、共変微分 $D_i$ は $dx^i$ のみを変化させたときの量...
<tex>
D_i \psi(x) &= \lim_{dx^i \to 0} \dfrac{\psi(x+dx)-\psi_\...
&= \lim_{dx^i \to 0} \dfrac{\psi(x+dx)-\psi(x)}{dx^i} - \...
&= \left( \partial_i - \dfrac{iq}{\hbar}A_i \right) \psi(...
</tex>
相対論ではスカラー関数の共変微分はただの偏微分のはずなの...
今回の共変微分は、スカラーの波動関数の $U(1)$ ゲージ理論...
もし何か間違えていたり、お読みになって分かったことがあっ...
今日はここまで、お疲れさまでした!
@@reference: 野村健太郎,トポロジカル絶縁体・超伝導体,丸善...
@@reference: ファインマン他著;砂川重信訳,ファインマン物理...
@@author:クロメル@@
@@accept:2019-08-18@@
@@category:量子力学@@
@@id:connectionAndA@@
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