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ベクトルの成分を表わす
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まず、任意のベクトル $\bm{A}$ を『長さが $1$ で、互いに直...
<tex>
\bm{A}=A^{1}\bm{i_{1}}+A^{2}\bm{i_{2}}+A^{3}\bm{i_{3}} \t...
</tex>
基底ベクトル $\bm{i_{1}},\bm{i_{2}},\bm{i_{3}}$ の添字を...
.. [*] 双対基底_ の記事で勉強したように、基底ベクトルに...
.. image:: Joh-VectorComp1.gif
図のように、各成分 $A^{1},A^{2},A^{3}$ は $\bm{A}$ を各軸...
<tex>
\bm{A}=(\bm{A}\cdot \bm{i_{1}})\bm{i_{1}}+(\bm{A}\cdot \b...
</tex>
基底ベクトル $\bm{i_{1}},\bm{i_{2}},\bm{i_{3}}$ の取り方...
.. figure:: Joh-Reciprocal.gif
(どの座標系からベクトルを見ても良い。見え方は変わるけど...
ベクトル $\bm{A}$ の各成分を、 $\bm{A}$ と基底ベクトル $\...
基底ベクトルの長さが 1 ではない場合
---------------------------------------------------------...
先ほどは $\bm{i_{1}},\bm{i_{2}},\bm{i_{3}}$ の条件として...
何のことはない、絶対値で割ることで、 $\bm{i'},\bm{i_{2}'}...
<tex>
\bm{i_{1}}=\frac{\bm{i_{1}'}}{|\bm{i_{1}'}|}, \
\bm{i_{2}}=\frac{\bm{i_{2}'}}{|\bm{i_{2}'}|}, \
\bm{i_{3}}=\frac{\bm{i_{3}'}}{|\bm{i_{3}'}|}
</tex>
あとはこの関係を式 $(2)$ に代入するだけです。
<tex>
\bm{A} &=(\bm{A}\cdot \bm{i_{1}})\bm{i_{1}}+(\bm{A}\cdot ...
& =(\bm{A}\cdot \bm{i_{1}'})\frac{\bm{i_{1}'}}{|\bm{i_{1}...
</tex>
この場合も、各成分を $\bm{A},\bm{i_{1}'},\bm{i_{2}'},\bm{...
基底が直交していない場合
---------------------------------------------------------...
ここまでの議論は、高校数学の範囲でも十分に理解できる内容...
.. image:: Joh-VectorBase1.gif
この場合は、基底 $\bm{e_{1}},\bm{e_{2}},\bm{e_{3}}$ と各...
この基底 $\bm{e_{1}},\bm{e_{2}},\bm{e_{3}}$ は、一次独立...
<tex>
\bm{A}=A^{1}\bm{e_{1}}+A^{2}\bm{e_{2}}+A^{3}\bm{e_{3}} \t...
</tex>
この場合も、さきほどのように成分 $A^{1},A^{2}, A^{3}$ を...
式 $(4)$ の両辺に、 $\bm{e^{1}}$ の内積を取ってみましょう。
<tex>
\bm{A}\cdot \bm{e^{1}} & =A^{1}(\bm{e_{1}}\cdot \bm{e^{1}...
&= A^{1} \ \ (\because \bm{e_{2}}\cdot \bm{e^{1}}=\bm{...
</tex>
同様にして、 $A_{2}=\bm{A}\cdot \bm{e^{2}}, \ A_{3}=\bm{A...
<tex>
\bm{A}=(\bm{A} \cdot \bm{e^{1}})\bm{e_{1}} + (\bm{A} \cdo...
</tex>
アフィン基底のベクトルの成分も、双対基底を使って簡単に表...
<tex>
\bm{A}=(\bm{A}\cdot \bm{i_{1}})\bm{i_{1}}+(\bm{A}\cdot \b...
</tex>
式 $(2)$ と式 $(5)$ が基本的には同じ構造をしていることが...
直交する基底では、双対基底は自分自身になりますので( 双対...
もう一度、ここまでの議論を読み返し、この結果の美しさを味...
.. [*] この記事までは、なぜ双対基底なんか考えるの?と思っ...
.. _双対基底: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
.. _もう一度ベクトル: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathIn...
.. _双対基底の図形的関係: http://www12.plala.or.jp/ksp/ve...
.. _計量テンソル: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranal...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-07-15@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: VectorRepresentation@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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ベクトルの成分を表わす
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まず、任意のベクトル $\bm{A}$ を『長さが $1$ で、互いに直...
<tex>
\bm{A}=A^{1}\bm{i_{1}}+A^{2}\bm{i_{2}}+A^{3}\bm{i_{3}} \t...
</tex>
基底ベクトル $\bm{i_{1}},\bm{i_{2}},\bm{i_{3}}$ の添字を...
.. [*] 双対基底_ の記事で勉強したように、基底ベクトルに...
.. image:: Joh-VectorComp1.gif
図のように、各成分 $A^{1},A^{2},A^{3}$ は $\bm{A}$ を各軸...
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\bm{A}=(\bm{A}\cdot \bm{i_{1}})\bm{i_{1}}+(\bm{A}\cdot \b...
</tex>
基底ベクトル $\bm{i_{1}},\bm{i_{2}},\bm{i_{3}}$ の取り方...
.. figure:: Joh-Reciprocal.gif
(どの座標系からベクトルを見ても良い。見え方は変わるけど...
ベクトル $\bm{A}$ の各成分を、 $\bm{A}$ と基底ベクトル $\...
基底ベクトルの長さが 1 ではない場合
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先ほどは $\bm{i_{1}},\bm{i_{2}},\bm{i_{3}}$ の条件として...
何のことはない、絶対値で割ることで、 $\bm{i'},\bm{i_{2}'}...
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\bm{i_{1}}=\frac{\bm{i_{1}'}}{|\bm{i_{1}'}|}, \
\bm{i_{2}}=\frac{\bm{i_{2}'}}{|\bm{i_{2}'}|}, \
\bm{i_{3}}=\frac{\bm{i_{3}'}}{|\bm{i_{3}'}|}
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あとはこの関係を式 $(2)$ に代入するだけです。
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\bm{A} &=(\bm{A}\cdot \bm{i_{1}})\bm{i_{1}}+(\bm{A}\cdot ...
& =(\bm{A}\cdot \bm{i_{1}'})\frac{\bm{i_{1}'}}{|\bm{i_{1}...
</tex>
この場合も、各成分を $\bm{A},\bm{i_{1}'},\bm{i_{2}'},\bm{...
基底が直交していない場合
---------------------------------------------------------...
ここまでの議論は、高校数学の範囲でも十分に理解できる内容...
.. image:: Joh-VectorBase1.gif
この場合は、基底 $\bm{e_{1}},\bm{e_{2}},\bm{e_{3}}$ と各...
この基底 $\bm{e_{1}},\bm{e_{2}},\bm{e_{3}}$ は、一次独立...
<tex>
\bm{A}=A^{1}\bm{e_{1}}+A^{2}\bm{e_{2}}+A^{3}\bm{e_{3}} \t...
</tex>
この場合も、さきほどのように成分 $A^{1},A^{2}, A^{3}$ を...
式 $(4)$ の両辺に、 $\bm{e^{1}}$ の内積を取ってみましょう。
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\bm{A}\cdot \bm{e^{1}} & =A^{1}(\bm{e_{1}}\cdot \bm{e^{1}...
&= A^{1} \ \ (\because \bm{e_{2}}\cdot \bm{e^{1}}=\bm{...
</tex>
同様にして、 $A_{2}=\bm{A}\cdot \bm{e^{2}}, \ A_{3}=\bm{A...
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\bm{A}=(\bm{A} \cdot \bm{e^{1}})\bm{e_{1}} + (\bm{A} \cdo...
</tex>
アフィン基底のベクトルの成分も、双対基底を使って簡単に表...
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\bm{A}=(\bm{A}\cdot \bm{i_{1}})\bm{i_{1}}+(\bm{A}\cdot \b...
</tex>
式 $(2)$ と式 $(5)$ が基本的には同じ構造をしていることが...
直交する基底では、双対基底は自分自身になりますので( 双対...
もう一度、ここまでの議論を読み返し、この結果の美しさを味...
.. [*] この記事までは、なぜ双対基底なんか考えるの?と思っ...
.. _双対基底: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
.. _もう一度ベクトル: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathIn...
.. _双対基底の図形的関係: http://www12.plala.or.jp/ksp/ve...
.. _計量テンソル: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranal...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-07-15@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: VectorRepresentation@@
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