記事ソース/ベクトルの基底の変換
をテンプレートにして作成
査読
rst2hooktail
進行表
執筆中
かぎマニュ
物理のかぎプロジェクト
トップ
最近の更新
ヘルプ
開始行:
#rst2hooktail_source
=========================================================...
ベクトルの基底の変換
=========================================================...
ベクトルは本来座標の変換とは、
独立に存在しています。
この記事では、おちいり易い間違いを
退けるためベクトルの変換について書いていきます。
成分の変換
===============
ベクトル $\bm{x}$ [*]_ の座標系 $A$ と座標系 $B$ との間...
ここで注意するべきことは、ベクトルは座標系の表示とは独立...
ベクトルに座標系を持ち込むと、以下のような変換則が表れる...
簡単のため、三次元のベクトルを書きますが、
もっと高次でも同様です。
.. [*] ベクトルは高校では、 $\overrightarrow{x}$ の様に...
大学では、 $\bm{x}$ の様にボールド体で書くのが一般的です...
.. [*] 成分にカギ括弧を付けたのは、これとは別の「基底」の...
それは、次のようになります。つまり、
<tex>
\bm{x} = \sum_{i=1}^{3} A_i \bm{e}_{iA} = \sum_{i=1}^{3} ...
</tex>
に対し、
<tex>
\begin{pmatrix}
A_1 \\
A_2 \\
A_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
p_{11} & p_{12} & p_{13} \\
p_{21} & p_{22} & p_{23} \\
p_{31} & p_{32} & p_{33}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
B_1 \\
B_2 \\
B_3
\end{pmatrix}
</tex>
となります。これを基底の取り換え $A \to B$ の行列といいま...
ベクトルは座標変換でも変わらない
====================================
さて、ベクトル $\bm{x}$ を二つの座標系で表わしてみましょ...
行列の転置を $^T$ で表わすと、
<tex>
\bm{x}
&=
\begin{pmatrix}
A_1 & A_2 & A_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\bm{e}_{1A} \\
\bm{e}_{2A} \\
\bm{e}_{3A}
\end{pmatrix} \\
&=
\Biggl(
\begin{pmatrix}
B_1 & B_2 & B_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
p_{11} & p_{12} & p_{13} \\
p_{21} & p_{22} & p_{23} \\
p_{31} & p_{32} & p_{33}
\end{pmatrix}^T
\Biggr)
\begin{pmatrix}
\bm{e}_{1A} \\
\bm{e}_{2A} \\
\bm{e}_{3A}
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
B_1 & B_2 & B_3
\end{pmatrix}
\Biggl(
\begin{pmatrix}
p_{11} & p_{21} & p_{31} \\
p_{12} & p_{22} & p_{32} \\
p_{13} & p_{23} & p_{33}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\bm{e}_{1A} \\
\bm{e}_{2A} \\
\bm{e}_{3A}
\end{pmatrix}
\Biggr) \\
&=
\begin{pmatrix}
B_1 & B_2 & B_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\bm{e}_{1B} \\
\bm{e}_{2B} \\
\bm{e}_{3B}
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
より、
<tex>
\begin{pmatrix}
B_1 & B_2 & B_3
\end{pmatrix}
\Biggl(
\begin{pmatrix}
p_{11} & p_{21} & p_{31} \\
p_{12} & p_{22} & p_{32} \\
p_{13} & p_{23} & p_{33}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\bm{e}_{1A} \\
\bm{e}_{2A} \\
\bm{e}_{3A}
\end{pmatrix}
\Biggr) \\
=
\begin{pmatrix}
B_1 & B_2 & B_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\bm{e}_{1B} \\
\bm{e}_{2B} \\
\bm{e}_{3B}
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
を比べて、
<tex>
\begin{pmatrix}
\bm{e}_{1B} \\
\bm{e}_{2B} \\
\bm{e}_{3B}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
p_{11} & p_{21} & p_{31} \\
p_{12} & p_{22} & p_{32} \\
p_{13} & p_{23} & p_{33}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\bm{e}_{1A} \\
\bm{e}_{2A} \\
\bm{e}_{3A}
\end{pmatrix}
</tex>
これが、「基底」の変換行列です。
添え字が逆になり、更に $A,B$ の位置が入れ替わっているのに...
それでは、今日はこの辺で。
@@reference: 齊藤正彦,線型代数入門,東京大学出版会,1966,p1...
@@author:クロメル@@
@@accept:2010-01-11@@
@@category:ベクトル解析@@
@@id:vectorTransform@@
終了行:
#rst2hooktail_source
=========================================================...
ベクトルの基底の変換
=========================================================...
ベクトルは本来座標の変換とは、
独立に存在しています。
この記事では、おちいり易い間違いを
退けるためベクトルの変換について書いていきます。
成分の変換
===============
ベクトル $\bm{x}$ [*]_ の座標系 $A$ と座標系 $B$ との間...
ここで注意するべきことは、ベクトルは座標系の表示とは独立...
ベクトルに座標系を持ち込むと、以下のような変換則が表れる...
簡単のため、三次元のベクトルを書きますが、
もっと高次でも同様です。
.. [*] ベクトルは高校では、 $\overrightarrow{x}$ の様に...
大学では、 $\bm{x}$ の様にボールド体で書くのが一般的です...
.. [*] 成分にカギ括弧を付けたのは、これとは別の「基底」の...
それは、次のようになります。つまり、
<tex>
\bm{x} = \sum_{i=1}^{3} A_i \bm{e}_{iA} = \sum_{i=1}^{3} ...
</tex>
に対し、
<tex>
\begin{pmatrix}
A_1 \\
A_2 \\
A_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
p_{11} & p_{12} & p_{13} \\
p_{21} & p_{22} & p_{23} \\
p_{31} & p_{32} & p_{33}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
B_1 \\
B_2 \\
B_3
\end{pmatrix}
</tex>
となります。これを基底の取り換え $A \to B$ の行列といいま...
ベクトルは座標変換でも変わらない
====================================
さて、ベクトル $\bm{x}$ を二つの座標系で表わしてみましょ...
行列の転置を $^T$ で表わすと、
<tex>
\bm{x}
&=
\begin{pmatrix}
A_1 & A_2 & A_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\bm{e}_{1A} \\
\bm{e}_{2A} \\
\bm{e}_{3A}
\end{pmatrix} \\
&=
\Biggl(
\begin{pmatrix}
B_1 & B_2 & B_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
p_{11} & p_{12} & p_{13} \\
p_{21} & p_{22} & p_{23} \\
p_{31} & p_{32} & p_{33}
\end{pmatrix}^T
\Biggr)
\begin{pmatrix}
\bm{e}_{1A} \\
\bm{e}_{2A} \\
\bm{e}_{3A}
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
B_1 & B_2 & B_3
\end{pmatrix}
\Biggl(
\begin{pmatrix}
p_{11} & p_{21} & p_{31} \\
p_{12} & p_{22} & p_{32} \\
p_{13} & p_{23} & p_{33}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\bm{e}_{1A} \\
\bm{e}_{2A} \\
\bm{e}_{3A}
\end{pmatrix}
\Biggr) \\
&=
\begin{pmatrix}
B_1 & B_2 & B_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\bm{e}_{1B} \\
\bm{e}_{2B} \\
\bm{e}_{3B}
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
より、
<tex>
\begin{pmatrix}
B_1 & B_2 & B_3
\end{pmatrix}
\Biggl(
\begin{pmatrix}
p_{11} & p_{21} & p_{31} \\
p_{12} & p_{22} & p_{32} \\
p_{13} & p_{23} & p_{33}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\bm{e}_{1A} \\
\bm{e}_{2A} \\
\bm{e}_{3A}
\end{pmatrix}
\Biggr) \\
=
\begin{pmatrix}
B_1 & B_2 & B_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\bm{e}_{1B} \\
\bm{e}_{2B} \\
\bm{e}_{3B}
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
を比べて、
<tex>
\begin{pmatrix}
\bm{e}_{1B} \\
\bm{e}_{2B} \\
\bm{e}_{3B}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
p_{11} & p_{21} & p_{31} \\
p_{12} & p_{22} & p_{32} \\
p_{13} & p_{23} & p_{33}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\bm{e}_{1A} \\
\bm{e}_{2A} \\
\bm{e}_{3A}
\end{pmatrix}
</tex>
これが、「基底」の変換行列です。
添え字が逆になり、更に $A,B$ の位置が入れ替わっているのに...
それでは、今日はこの辺で。
@@reference: 齊藤正彦,線型代数入門,東京大学出版会,1966,p1...
@@author:クロメル@@
@@accept:2010-01-11@@
@@category:ベクトル解析@@
@@id:vectorTransform@@
ページ名:
Modified by
物理のかぎプロジェクト
PukiWiki 1.4.6
Copyright © 2001-2005
PukiWiki Developers Team
. License is
GPL
.
Based on "PukiWiki" 1.3 by
yu-ji
Powered by PHP 5.3.29 HTML convert time to 0.002 sec.