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ヘルムホルツの定理
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ベクトル場には、スカラーポテンシャルとベクトルポテンシャ...
.. admonition:: theorem
【ヘルムホルツの定理】連続なベクトル場 $\bm{A}$ を考えま...
<tex>
\bm{A} = \nabla \phi + \nabla \times \bm{X} \tag{1}
</tex>
スカラーポテンシャルにマイナスをつけて $\bm{A} = - \nabl...
いきなりですが、 $\phi$ と $\bm{X}$ を次のようにおきます。
<tex>
\phi = -\frac{1}{4\pi} \int \limits _{V} \frac{\nabla \cd...
</tex>
<tex>
\bm{X} = \frac{1}{4\pi} \int \limits _{V} \frac{\nabla \t...
</tex>
これを式 $(1)$ に代入すれば定理が満たされることが示されま...
.. [*] ここで示したのは、少なくとも一つはスカラーポテンシ...
.. [*] 定理の中で、『(定数と定ベクトルを除いて)一意的に』...
.. [*] 定理の中に、『無限遠で収束云々・・・』という条件が...
証明
=========================================================...
まず、 `rotgrad=0,divrot=0`_ の関係式を使うと、命題は、次...
<tex>
\nabla \cdot \bm{A} = \triangle \phi \tag{4}
</tex>
<tex>
\nabla \times \bm{A} = \nabla \times (\nabla \times \bm{X...
</tex>
ここで、ベクトルポテンシャルには ${\rm rotgrad=0}$ の関係...
<tex>
\nabla \cdot \bm{X} = 0 \tag{6}
</tex>
このような条件を付けることで、式 $(5)$ は更に次のように変...
<tex>
\nabla \times \bm{A} &= \nabla \times (\nabla \times \bm{...
&= -\triangle \bm{X} \tag{7}
</tex>
ただし、一般に成り立つ関係式 $\nabla \times (\nabla \time...
.. admonition:: proof
【式 $(2)$ を満たすポテンシャルの存在】式 $(2)$ を満たす...
.. admonition:: proof
【式 $(5)$ を満たすポテンシャルの存在】スカラーポテンシ...
ヘルムホルツ
=========================================================...
ヘルムホルツ( $\text{Hermann Ludwig Ferdinand von Helmhol...
.. figure:: Joh-Helmholtz01.png
ヘルムホルツは音楽と絵画と哲学を愛した。
また、流体力学や音響学の研究も重要ですが、ヘルムホルツの...
.. _スカラーポテンシャル: http://www12.plala.or.jp/ksp/ve...
.. _`ベクトルの公式2`: http://www12.plala.or.jp/ksp/vect...
.. _`rotgrad=0,divrot=0`: http://www12.plala.or.jp/ksp/ve...
.. _グリーンの定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoran...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-10-11@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: HelmholtzTheorem@@
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ヘルムホルツの定理
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ベクトル場には、スカラーポテンシャルとベクトルポテンシャ...
.. admonition:: theorem
【ヘルムホルツの定理】連続なベクトル場 $\bm{A}$ を考えま...
<tex>
\bm{A} = \nabla \phi + \nabla \times \bm{X} \tag{1}
</tex>
スカラーポテンシャルにマイナスをつけて $\bm{A} = - \nabl...
いきなりですが、 $\phi$ と $\bm{X}$ を次のようにおきます。
<tex>
\phi = -\frac{1}{4\pi} \int \limits _{V} \frac{\nabla \cd...
</tex>
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\bm{X} = \frac{1}{4\pi} \int \limits _{V} \frac{\nabla \t...
</tex>
これを式 $(1)$ に代入すれば定理が満たされることが示されま...
.. [*] ここで示したのは、少なくとも一つはスカラーポテンシ...
.. [*] 定理の中で、『(定数と定ベクトルを除いて)一意的に』...
.. [*] 定理の中に、『無限遠で収束云々・・・』という条件が...
証明
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まず、 `rotgrad=0,divrot=0`_ の関係式を使うと、命題は、次...
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\nabla \cdot \bm{A} = \triangle \phi \tag{4}
</tex>
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\nabla \times \bm{A} = \nabla \times (\nabla \times \bm{X...
</tex>
ここで、ベクトルポテンシャルには ${\rm rotgrad=0}$ の関係...
<tex>
\nabla \cdot \bm{X} = 0 \tag{6}
</tex>
このような条件を付けることで、式 $(5)$ は更に次のように変...
<tex>
\nabla \times \bm{A} &= \nabla \times (\nabla \times \bm{...
&= -\triangle \bm{X} \tag{7}
</tex>
ただし、一般に成り立つ関係式 $\nabla \times (\nabla \time...
.. admonition:: proof
【式 $(2)$ を満たすポテンシャルの存在】式 $(2)$ を満たす...
.. admonition:: proof
【式 $(5)$ を満たすポテンシャルの存在】スカラーポテンシ...
ヘルムホルツ
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ヘルムホルツ( $\text{Hermann Ludwig Ferdinand von Helmhol...
.. figure:: Joh-Helmholtz01.png
ヘルムホルツは音楽と絵画と哲学を愛した。
また、流体力学や音響学の研究も重要ですが、ヘルムホルツの...
.. _スカラーポテンシャル: http://www12.plala.or.jp/ksp/ve...
.. _`ベクトルの公式2`: http://www12.plala.or.jp/ksp/vect...
.. _`rotgrad=0,divrot=0`: http://www12.plala.or.jp/ksp/ve...
.. _グリーンの定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoran...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-10-11@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: HelmholtzTheorem@@
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