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=========================================================...
フレネル回折からみたレンズの公式
=========================================================...
天体望遠鏡で大口径のレンズが望まれるのはなぜでしょうか....
レンズの公式の導き方と開口部の影響の計算の仕方を紹介しま...
特徴です.
フレネル回折の簡易モデル
=========================================================...
$z$ 軸方向に進む平面波が $xy$ 平面内に置かれた開口を通過...
<tex>
u'(x', y') = \frac{A}{i \lambda R} e^{i k R} \int\mspace{...
g(x, y) e^{\frac{i k}{2 R} \{(x' - x)^2 + (y' - y)^2\}} d...
</tex>
から出発します[1].ここで $u'(x', y')$ は点 $(x', y', R) ...
$\lambda = \frac{2 \pi}{k}$ は波長, $g(x, y)$ は(開口部...
.. [*] $z$ 軸に垂直な平面波の波動は $A e^{i (\omega t - k...
時間変化を表す $e^{i \omega t}$ は空間内で共通なの...
だけを考えます.
$h(x, y) = e^{i \pi (x^2 + y^2) / \lambda R}$ とおくと,...
<tex>
(g * h)(x', y') = \int\mspace{-11mu}\int g(x, y) h(x' - x...
</tex>
を使って $u'(x', y')$ を
<tex>
u'(x', y') = \frac{A}{i \lambda R} e^{i k R}(g * h)(x', y')
</tex>
と表すことができます.また
$h(x' - x, y' - y) = h(x', y') h(x, y) e^{- i 2 \pi (x' x...
<tex>
u'(x', y') = \frac{A}{i \lambda R} e^{ikR} h(x', y') \int...
g(x, y) h(x, y) e^{- i 2 \pi (x' x + y' y) / \lambda R} d...
</tex>
が成立します.すなわち $u'(x', y')$ は $g(x, y) h(x, y)$ ...
倍に拡大した関数に $\frac{A}{i \lambda R} e^{i k R} h(x',...
このことは $g(x, y)$ が文字の形に切り抜かれた開口でも,さ...
おいたとして $g(x, y)$ を複素数値の関数 $u(x, y)$ で置換...
フレネル近似が成立するためには $u(x, y)$ の 0 でない部分...
必要です.
人が知覚したり,媒体に記録するのは波面 $u'(x', y')$ その...
です.上記の式に含まれる $e^{ikR}$ は $x$, $y$ に依存しな...
として,以下では
<tex>
u'(x, y) = \frac{1}{i \lambda R} (u * h)(x, y)
</tex>
を考えましょう(後述の光学素子も同様にモデル化します).
2次元フーリエ変換の公式
=========================================================...
点 $(x, y)$ での値が $u(x, y)$ である関数 $u$ を,点 $(x'...
<tex>
u'(x', y') = \int\mspace{-11mu}\int u(x, y) e^{- i 2 \pi ...
</tex>
である関数 $u'$ に変換する写像 $F$ を(2次元の)フーリエ...
$u'(x', y') = (F u)(x', y')$, $u'(x, y) = (F u)(x, y)$ で...
作用素といいます.例えば微分作用素はある関数をその導関数...
$u$ を点 $(x, y)$ での値が $v(x, y) u(x, y)$ である関数や...
$u(x - a, x - b)$ である関数に変換する写像も作用素です....
$M_a$, $S_{a,b}$ で表します.すなわち,
<tex>
(\{ v \} u)(x, y) = v(x, y) u(x, y)
</tex>
<tex>
(M_a u)(x, y) = u(x / a, y / a)
</tex>
<tex>
(S_{a,b} u)(x, y) = u(x - a, y - b)
</tex>
です.ここで, $v$ は任意の関数, $a$, $b$ は任意の定数で...
<tex>
(a u + b v)(x, y) = a u(x, y) + b v(x, y)
</tex>
と考えます.また,以下でよく使う次の関数もここで定義して...
<tex>
\theta _a (x, y) = e^{i \pi a (x^2 + y^2)}
</tex>
<tex>
\phi _{a,b} (x, y) = e^{i2 \pi (a x + b y)}
</tex>
よく知られているように,フーリエ変換について次の公式が成...
1. $F(v * u) = (F{v})(F u)$ したがって $v * u = F^{-1} \{...
2. $F M_a = a^2 M_{1 / a} F$
3. $F S_{a,b} = \{ \phi _{-a, -b} \} F$, $S_{a,b} F = F \...
4. $F^2 = M_{-1}$ したがって $F^4 u = u$, $F^{-1} u = F M...
5. $F \phi _{a,b} = S_{a,b} \delta$, $F \theta _{- a} = \...
ここで $\delta$ は
<tex>
\int\mspace{-11mu}\int v(x, y) \delta(x, y) dx dy = v(0, ...
v(x, y) = 0 \hspace{1zw} ( (x, y) \neq (0, 0) )
</tex>
という性質をもつ2次元のデルタ関数です.これらの記号を用...
作用素 $D_{\lambda d}$ を
<tex>
D_{\lambda d} = F^{-1} \{ \theta _{- \lambda d} \} F
</tex>
で定義でき,さきに積分形式で示したように
<tex>
D_{\lambda d} = \frac{1}{i \lambda d} \{ \theta _{1 / \la...
M_{\lambda d} F \{ \theta_{1 / \lambda d} \}
</tex>
が成立します. $D_{\lambda b} D_{\lambda a} = D_{\lambda ...
<tex>
F^{-1} \{ \theta _{- \lambda b} \} F F^{-1} \{ \theta _{-...
F^{-1} \{ \theta _{- \lambda b} \theta _{- \lambda a} \} ...
F^{-1} \{ \theta _{- \lambda (a + b)} \} F
</tex>
で容易に確認できます.
レンズの公式
=========================================================...
$z$ 軸方向の位相変化を無視すると,開口が十分に広く,焦点...
機能は作用素 $\{ \theta _{- 1 / \lambda f} \}$ で表され,
<tex>
D_{ \lambda b} \{ \theta _{- 1 / \lambda f} \} D_{ \lambd...
\left \{ \frac{1}{i \lambda b} \theta _{1 / \lambda b} \r...
M_b F \left \{ \frac{1}{i \lambda a} \theta _{1 / \lambda...
\theta _{1 / \lambda a} \right \} M_a F \{ \theta _{1 / \...
</tex>
より, $\theta _{1 / \lambda b} \theta _{- 1 / \lambda f}...
すなわち
<tex>
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}
</tex>
であれば
<tex>
D_{\lambda b} \{ \theta _{- 1 / \lambda f} \} D_{\lambda ...
\left \{- \frac{a}{b} \theta _{1 / \lambda b} \right \} M...
</tex>
<tex>
|( D_{\lambda b} \{ \theta _{- 1 / \lambda f} \} D_{\lamb...
\left| \frac{a}{b} u \left(- \frac{a}{b} x, - \frac{a}{b}...
</tex>
が成立します.これがレンズの公式です.
レンズの開口関数 $g$ を無視できないときは $u' = D_{\lambd...
$g$ の影響を解析できます.
<tex>
u' = \left \{ \frac{1}{i \lambda a} \theta _{1 / \lambda ...
\left \{ - \frac{1}{i \lambda a} g \right \} M_{- \lambda...
\{ \theta _{1 / \lambda a} \} F^{-1} \{ M_{- 1 / \lambda ...
</tex>
ですから, $u'$ は
$u' = \{ \theta _{1 / \lambda a} \} (F M_{1 / \lambda a} ...
と表され,開口が狭くなると $F g$ がデルタ関数で近似できな...
$\{ \theta _{- 1 / \lambda a} \} u$ がぼけてきます.これ...
一般に $u'$ の強度分布は $u$ のコヒーレンシー(可干渉性)...
用いて $u' = T u$ と表される光学系に対して $K(x', y', x, ...
と定義しますと, $u$ の各点の位相が完全に同期している場合は
<tex>
| u'(x', y')|^2 = \left | \int\mspace{-11mu}\int K(x', y'...
</tex>
$u$ の各点の位相が完全にランダムの場合は
<tex>
| u'(x', y')|^2 = \int\mspace{-11mu}\int | K(x', y', x, y...
</tex>
で求められます.なお, $K(x', y', x, y) = K'(x' - x, y' -...
$F K'$ を光学伝達関数といいます.
あとがき
=========================================================...
フーリエ光学に限らず,情報を変換する物理系や機器の機能を...
モデル化すると分かりやすくなることが少なくありません.こ...
趣旨なので公式の証明は割愛しました.
@@reference: ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%AC%E3%...
@@reference: ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%...
@@reference: J. W. Goodman, Introduction to Fourier Optic...
@@author: someone@@
@@accept: @@
@@category: 波と振動@@
@@id: @@
終了行:
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フレネル回折からみたレンズの公式
=========================================================...
天体望遠鏡で大口径のレンズが望まれるのはなぜでしょうか....
レンズの公式の導き方と開口部の影響の計算の仕方を紹介しま...
特徴です.
フレネル回折の簡易モデル
=========================================================...
$z$ 軸方向に進む平面波が $xy$ 平面内に置かれた開口を通過...
<tex>
u'(x', y') = \frac{A}{i \lambda R} e^{i k R} \int\mspace{...
g(x, y) e^{\frac{i k}{2 R} \{(x' - x)^2 + (y' - y)^2\}} d...
</tex>
から出発します[1].ここで $u'(x', y')$ は点 $(x', y', R) ...
$\lambda = \frac{2 \pi}{k}$ は波長, $g(x, y)$ は(開口部...
.. [*] $z$ 軸に垂直な平面波の波動は $A e^{i (\omega t - k...
時間変化を表す $e^{i \omega t}$ は空間内で共通なの...
だけを考えます.
$h(x, y) = e^{i \pi (x^2 + y^2) / \lambda R}$ とおくと,...
<tex>
(g * h)(x', y') = \int\mspace{-11mu}\int g(x, y) h(x' - x...
</tex>
を使って $u'(x', y')$ を
<tex>
u'(x', y') = \frac{A}{i \lambda R} e^{i k R}(g * h)(x', y')
</tex>
と表すことができます.また
$h(x' - x, y' - y) = h(x', y') h(x, y) e^{- i 2 \pi (x' x...
<tex>
u'(x', y') = \frac{A}{i \lambda R} e^{ikR} h(x', y') \int...
g(x, y) h(x, y) e^{- i 2 \pi (x' x + y' y) / \lambda R} d...
</tex>
が成立します.すなわち $u'(x', y')$ は $g(x, y) h(x, y)$ ...
倍に拡大した関数に $\frac{A}{i \lambda R} e^{i k R} h(x',...
このことは $g(x, y)$ が文字の形に切り抜かれた開口でも,さ...
おいたとして $g(x, y)$ を複素数値の関数 $u(x, y)$ で置換...
フレネル近似が成立するためには $u(x, y)$ の 0 でない部分...
必要です.
人が知覚したり,媒体に記録するのは波面 $u'(x', y')$ その...
です.上記の式に含まれる $e^{ikR}$ は $x$, $y$ に依存しな...
として,以下では
<tex>
u'(x, y) = \frac{1}{i \lambda R} (u * h)(x, y)
</tex>
を考えましょう(後述の光学素子も同様にモデル化します).
2次元フーリエ変換の公式
=========================================================...
点 $(x, y)$ での値が $u(x, y)$ である関数 $u$ を,点 $(x'...
<tex>
u'(x', y') = \int\mspace{-11mu}\int u(x, y) e^{- i 2 \pi ...
</tex>
である関数 $u'$ に変換する写像 $F$ を(2次元の)フーリエ...
$u'(x', y') = (F u)(x', y')$, $u'(x, y) = (F u)(x, y)$ で...
作用素といいます.例えば微分作用素はある関数をその導関数...
$u$ を点 $(x, y)$ での値が $v(x, y) u(x, y)$ である関数や...
$u(x - a, x - b)$ である関数に変換する写像も作用素です....
$M_a$, $S_{a,b}$ で表します.すなわち,
<tex>
(\{ v \} u)(x, y) = v(x, y) u(x, y)
</tex>
<tex>
(M_a u)(x, y) = u(x / a, y / a)
</tex>
<tex>
(S_{a,b} u)(x, y) = u(x - a, y - b)
</tex>
です.ここで, $v$ は任意の関数, $a$, $b$ は任意の定数で...
<tex>
(a u + b v)(x, y) = a u(x, y) + b v(x, y)
</tex>
と考えます.また,以下でよく使う次の関数もここで定義して...
<tex>
\theta _a (x, y) = e^{i \pi a (x^2 + y^2)}
</tex>
<tex>
\phi _{a,b} (x, y) = e^{i2 \pi (a x + b y)}
</tex>
よく知られているように,フーリエ変換について次の公式が成...
1. $F(v * u) = (F{v})(F u)$ したがって $v * u = F^{-1} \{...
2. $F M_a = a^2 M_{1 / a} F$
3. $F S_{a,b} = \{ \phi _{-a, -b} \} F$, $S_{a,b} F = F \...
4. $F^2 = M_{-1}$ したがって $F^4 u = u$, $F^{-1} u = F M...
5. $F \phi _{a,b} = S_{a,b} \delta$, $F \theta _{- a} = \...
ここで $\delta$ は
<tex>
\int\mspace{-11mu}\int v(x, y) \delta(x, y) dx dy = v(0, ...
v(x, y) = 0 \hspace{1zw} ( (x, y) \neq (0, 0) )
</tex>
という性質をもつ2次元のデルタ関数です.これらの記号を用...
作用素 $D_{\lambda d}$ を
<tex>
D_{\lambda d} = F^{-1} \{ \theta _{- \lambda d} \} F
</tex>
で定義でき,さきに積分形式で示したように
<tex>
D_{\lambda d} = \frac{1}{i \lambda d} \{ \theta _{1 / \la...
M_{\lambda d} F \{ \theta_{1 / \lambda d} \}
</tex>
が成立します. $D_{\lambda b} D_{\lambda a} = D_{\lambda ...
<tex>
F^{-1} \{ \theta _{- \lambda b} \} F F^{-1} \{ \theta _{-...
F^{-1} \{ \theta _{- \lambda b} \theta _{- \lambda a} \} ...
F^{-1} \{ \theta _{- \lambda (a + b)} \} F
</tex>
で容易に確認できます.
レンズの公式
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$z$ 軸方向の位相変化を無視すると,開口が十分に広く,焦点...
機能は作用素 $\{ \theta _{- 1 / \lambda f} \}$ で表され,
<tex>
D_{ \lambda b} \{ \theta _{- 1 / \lambda f} \} D_{ \lambd...
\left \{ \frac{1}{i \lambda b} \theta _{1 / \lambda b} \r...
M_b F \left \{ \frac{1}{i \lambda a} \theta _{1 / \lambda...
\theta _{1 / \lambda a} \right \} M_a F \{ \theta _{1 / \...
</tex>
より, $\theta _{1 / \lambda b} \theta _{- 1 / \lambda f}...
すなわち
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\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}
</tex>
であれば
<tex>
D_{\lambda b} \{ \theta _{- 1 / \lambda f} \} D_{\lambda ...
\left \{- \frac{a}{b} \theta _{1 / \lambda b} \right \} M...
</tex>
<tex>
|( D_{\lambda b} \{ \theta _{- 1 / \lambda f} \} D_{\lamb...
\left| \frac{a}{b} u \left(- \frac{a}{b} x, - \frac{a}{b}...
</tex>
が成立します.これがレンズの公式です.
レンズの開口関数 $g$ を無視できないときは $u' = D_{\lambd...
$g$ の影響を解析できます.
<tex>
u' = \left \{ \frac{1}{i \lambda a} \theta _{1 / \lambda ...
\left \{ - \frac{1}{i \lambda a} g \right \} M_{- \lambda...
\{ \theta _{1 / \lambda a} \} F^{-1} \{ M_{- 1 / \lambda ...
</tex>
ですから, $u'$ は
$u' = \{ \theta _{1 / \lambda a} \} (F M_{1 / \lambda a} ...
と表され,開口が狭くなると $F g$ がデルタ関数で近似できな...
$\{ \theta _{- 1 / \lambda a} \} u$ がぼけてきます.これ...
一般に $u'$ の強度分布は $u$ のコヒーレンシー(可干渉性)...
用いて $u' = T u$ と表される光学系に対して $K(x', y', x, ...
と定義しますと, $u$ の各点の位相が完全に同期している場合は
<tex>
| u'(x', y')|^2 = \left | \int\mspace{-11mu}\int K(x', y'...
</tex>
$u$ の各点の位相が完全にランダムの場合は
<tex>
| u'(x', y')|^2 = \int\mspace{-11mu}\int | K(x', y', x, y...
</tex>
で求められます.なお, $K(x', y', x, y) = K'(x' - x, y' -...
$F K'$ を光学伝達関数といいます.
あとがき
=========================================================...
フーリエ光学に限らず,情報を変換する物理系や機器の機能を...
モデル化すると分かりやすくなることが少なくありません.こ...
趣旨なので公式の証明は割愛しました.
@@reference: ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%AC%E3%...
@@reference: ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%...
@@reference: J. W. Goodman, Introduction to Fourier Optic...
@@author: someone@@
@@accept: @@
@@category: 波と振動@@
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