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=========================================================...
フェルミオンの化学ポテンシャル
=========================================================...
今回はフェルミオン(特に電子)の化学ポテンシャルがどんな...
統計力学的、物性論的に考えてみたいと思います。
この話は土井正男『[物理の考え方2]統計力学』朝倉書店、200...
を参考に書きました。
グランドカノニカル分布
=================================
グランドカノニカル分布とは、系を大きな環境(environment)と...
エネルギーと粒子の交換を許す時の考え方です。
系の総粒子数を $N_t$ 、総エネルギーを $E_t$ とし、
着目系には粒子数 $N$ 、エネルギー $E$ があるとします。
着目系の状態密度は $W(E,N)$ とし、
環境の状態密度は $W^\prime(E_t-E,N_t-N)$ とします。
(なお、この本では状態数 $\Omega$ と状態密度 $W$ は、
共にエントロピーを表すのに、 $S = k_B \ln W = k_B \ln \Om...
等式が成り立つことに言及しています。 下では $W$ を用いて...
ただし、 $\Omega$ が $E,N$ の非常に急激な増加関数なので、...
すると、着目系が $E,N$ となる時の確率 $P(E,N)$ は、
<tex>
P(E,N) &= C_1 W(E,N) W^\prime(E_t-E,N_t-N) \tag{##}
</tex>
と表せます。 ここと、以降でてくる $C_i$ は規格化定数です...
<tex>
S^\prime(E_t-E,N_t-N) = k_B \ln W^\prime(E_t-E,N_t-N) \ta...
</tex>
を使うと、式(1)は、
<tex>
P(E,N) &= C_1 W(E,N) e^{S^\prime(E_t-E,N_t-N)/k_B} \tag{##}
</tex>
となります。 $E_t>>E,N_t>>N$ より、テイラー展開を使って、
<tex>
S^\prime(E_t-E,N_t-N)/k_B = S^\prime(E_t,N_t)/k_B - \dfra...
</tex>
ここで、この話の要である次の公式を使います。環境系の温度...
<tex>
\dfrac{\partial S^\prime}{\partial E_t} &= \dfrac{1}{T} \...
\dfrac{\partial S^\prime}{\partial N_t} &= -\dfrac{\mu}{T...
</tex>
です。これは統計力学的には定義です。よって、
<tex>
S^\prime(E_t-E,N_t-N)/k_B = S^\prime(E_t,N_t)/k_B - \dfra...
</tex>
となります。
よって、逆温度 $\beta = \dfrac{1}{k_B T}$ を用いて、式(1)...
<tex>
P(E,N) &= C_2 W(E,N) e^{-\beta (E - N \mu)} \tag{##}
</tex>
これがグランドカノニカル分布の考え方です。
つまり、 $W(E,N)$ は着目系の $E,N$ を持つ時の状態密度(状...
それ( $E,N$ で指定される状態の集合)に含まれる一状態の実現...
一状態の実現確率 $p$ は、
<tex>
p \propto e^{-\beta(E - \mu N)}
</tex>
と言う、比例関係が成立します。
視点の転換
=========================
では、これが系の量子力学的一準位が着目系だったらどうでし...
その準位のエネルギーを $\varepsilon$ と考えます。
環境系はその系自身で、着目する準位と粒子とエネルギーの交...
(この点に関しては、岩波基礎物理シリーズ7『統計力学』長...
その規格化定数を $C_3$ とすると、粒子が無い時、粒子がある...
「確率」は、それぞれ
<tex>
P(0,0) &= C_3 e^{-\beta(0-0)} = C_3 \tag{##} \\
P(\varepsilon,1) &= C_3 e^{-\beta(\varepsilon - \mu)} \ta...
</tex>
ですから、
着目準位に入る「粒子数の期待値」(確率ではない)は、
<tex>
\langle n \rangle &= \dfrac{0 \cdot C_3 + 1 \cdot C_3e^{-...
&= \dfrac{1}{e^{\beta(\varepsilon - \mu)}+1} \\
&\equiv f(\varepsilon) \tag{##}
</tex>
となります。 $f(\varepsilon)$ をフェルミ分布関数と言いま...
そのエネルギーでの状態密度を量子統計力学らしく $D(\vareps...
またその系の最低準位を $E_{min}$ とすると、、
総粒子数 $N_t$ 、総エネルギー $E_t$ は、それぞれ、
<tex>
N_t &= \int_{E_{min}}^\infty \dfrac{D(\varepsilon)}{e^{\b...
E_t &= \int_{E_{min}}^\infty \dfrac{\varepsilon D(\vareps...
</tex>
となります。
粒子数の保存
=============================
ここで、あるエネルギー $x$ を基準にそれ以上にある粒子数 $...
<tex>
N_- &= \int_{E_{min}}^x D(\varepsilon)(1-f(\varepsilon)) ...
N_+ &= \int_{x}^\infty D(\varepsilon) f(\varepsilon) d \v...
</tex>
ここで、 $N_+=N_-$ となる $x$ があります。よくよく考える...
つまり、全体の粒子数が変わらない限り、フェルミエネルギー...
すると、
<tex>
N_- &= N_+ \tag{##} \\
\int_{E_{min}}^{E_F} D(\varepsilon)(1-f(\varepsilon)) d \...
\int_{E_{min}}^{E_F} D(\varepsilon) d \varepsilon &= \int...
</tex>
当然、これは総粒子数 $N_t$ ですね。
<tex>
N_t &= \int_{E_{min}}^{E_F} D(\varepsilon) d \varepsilon ...
&= \int_{E_{min}}^\infty \dfrac{D(\varepsilon)}{e^{(\vare...
</tex>
総エネルギー $E_t$ についても同様に、
<tex>
E_t &= \int_{E_{min}}^{E_F} \varepsilon D(\varepsilon) d ...
&= \int_{E_{min}}^\infty \dfrac{\varepsilon D(\varepsilon...
</tex>
が成立します。変数は、 $N_t,E_t,\mu,T$ の四つであり、二式...
粒子数変化と化学ポテンシャル、温度の関係
=======================================================
定性的な考察をしておきましょう。
式(18)について、温度 $T$ を一定にして粒子数 $N_t$ を増大...
<tex>
f(\varepsilon) = \dfrac{1}{e^{(\varepsilon - \mu)/k_B T}+...
</tex>
のみです。化学ポテンシャルの増大は全ての $\varepsilon$ で...
余談ですが、金属のフェルミ準位、言い換えて、フェルミ温度 ...
そこから言える事は、まずフェルミ温度以上の温度とは、フェ...
<tex>
\dfrac{\partial S}{\partial N} = - \dfrac{\mu}{T} \tag{##}
</tex>
という化学ポテンシャルの関係式より、粒子の追加で、粒子数 ...
増大するのは $\varepsilon = \mu$ 付近なので、化学ポテンシ...
筆者の勘違い
=================================
僕はいつの間にか勘違いをして、
<tex>
\dfrac{1}{e^{\beta(E-\mu N)}+1} \tag{##}
</tex>
という関数がなんらか意味を持つと思っていましたが、
よくよく考えると全くの勘違いの様です。
こんな関数は意味を持ちません。むしろ $ E - \mu N$ が意味...
次の意味です。
熱・粒子浴内にある開放系を考えます。ここで着目系を一準位...
熱浴に対しては小さいが、一粒子に比べたらマクロと見なせる...
を持つとして、粒子の区別がつけず、独立事象として扱えば、...
<tex>
P &= \prod_i C_i e^{-\beta(\varepsilon_i - \mu)n_i} \\
&= C e^{-\beta(E - \mu N)} \tag{##}
</tex>
と言う「確率」として出てきます。 $C_i,C$ は $\beta$ や $\...
<tex>
C &= \prod_i \sum_{n_i = 0}^1 e^{-\beta(\varepsilon_i - \...
&= \prod_i \left( 1+e^{-\beta(\varepsilon_i - \mu)} \righ...
</tex>
です。洒落た本だと、トレースを使って
<tex>
P &= e^{-\beta(E - \mu N)}/\rm{Tr}(e^{-\beta(E - \mu N)})...
</tex>
として出てくることがあります。気持ちとしては、
(逆)温度 $\beta$ 、化学ポテンシャル $\mu$ の環境に置かれ...
エネルギー $E$ 、粒子数 $N$ を持つ時の実現「確率」(粒子...
その他の注意
=======================
自由電子ガスの化学ポテンシャルのゾンマーフェルト展開では"...
それでは、今日はこの辺で。お疲れ様でした。
@@author:クロメル@@
@@accept:2018-03-05@@
@@category:統計力学@@
@@id:chemicalPotential@@
終了行:
#rst2hooktail_source
=========================================================...
フェルミオンの化学ポテンシャル
=========================================================...
今回はフェルミオン(特に電子)の化学ポテンシャルがどんな...
統計力学的、物性論的に考えてみたいと思います。
この話は土井正男『[物理の考え方2]統計力学』朝倉書店、200...
を参考に書きました。
グランドカノニカル分布
=================================
グランドカノニカル分布とは、系を大きな環境(environment)と...
エネルギーと粒子の交換を許す時の考え方です。
系の総粒子数を $N_t$ 、総エネルギーを $E_t$ とし、
着目系には粒子数 $N$ 、エネルギー $E$ があるとします。
着目系の状態密度は $W(E,N)$ とし、
環境の状態密度は $W^\prime(E_t-E,N_t-N)$ とします。
(なお、この本では状態数 $\Omega$ と状態密度 $W$ は、
共にエントロピーを表すのに、 $S = k_B \ln W = k_B \ln \Om...
等式が成り立つことに言及しています。 下では $W$ を用いて...
ただし、 $\Omega$ が $E,N$ の非常に急激な増加関数なので、...
すると、着目系が $E,N$ となる時の確率 $P(E,N)$ は、
<tex>
P(E,N) &= C_1 W(E,N) W^\prime(E_t-E,N_t-N) \tag{##}
</tex>
と表せます。 ここと、以降でてくる $C_i$ は規格化定数です...
<tex>
S^\prime(E_t-E,N_t-N) = k_B \ln W^\prime(E_t-E,N_t-N) \ta...
</tex>
を使うと、式(1)は、
<tex>
P(E,N) &= C_1 W(E,N) e^{S^\prime(E_t-E,N_t-N)/k_B} \tag{##}
</tex>
となります。 $E_t>>E,N_t>>N$ より、テイラー展開を使って、
<tex>
S^\prime(E_t-E,N_t-N)/k_B = S^\prime(E_t,N_t)/k_B - \dfra...
</tex>
ここで、この話の要である次の公式を使います。環境系の温度...
<tex>
\dfrac{\partial S^\prime}{\partial E_t} &= \dfrac{1}{T} \...
\dfrac{\partial S^\prime}{\partial N_t} &= -\dfrac{\mu}{T...
</tex>
です。これは統計力学的には定義です。よって、
<tex>
S^\prime(E_t-E,N_t-N)/k_B = S^\prime(E_t,N_t)/k_B - \dfra...
</tex>
となります。
よって、逆温度 $\beta = \dfrac{1}{k_B T}$ を用いて、式(1)...
<tex>
P(E,N) &= C_2 W(E,N) e^{-\beta (E - N \mu)} \tag{##}
</tex>
これがグランドカノニカル分布の考え方です。
つまり、 $W(E,N)$ は着目系の $E,N$ を持つ時の状態密度(状...
それ( $E,N$ で指定される状態の集合)に含まれる一状態の実現...
一状態の実現確率 $p$ は、
<tex>
p \propto e^{-\beta(E - \mu N)}
</tex>
と言う、比例関係が成立します。
視点の転換
=========================
では、これが系の量子力学的一準位が着目系だったらどうでし...
その準位のエネルギーを $\varepsilon$ と考えます。
環境系はその系自身で、着目する準位と粒子とエネルギーの交...
(この点に関しては、岩波基礎物理シリーズ7『統計力学』長...
その規格化定数を $C_3$ とすると、粒子が無い時、粒子がある...
「確率」は、それぞれ
<tex>
P(0,0) &= C_3 e^{-\beta(0-0)} = C_3 \tag{##} \\
P(\varepsilon,1) &= C_3 e^{-\beta(\varepsilon - \mu)} \ta...
</tex>
ですから、
着目準位に入る「粒子数の期待値」(確率ではない)は、
<tex>
\langle n \rangle &= \dfrac{0 \cdot C_3 + 1 \cdot C_3e^{-...
&= \dfrac{1}{e^{\beta(\varepsilon - \mu)}+1} \\
&\equiv f(\varepsilon) \tag{##}
</tex>
となります。 $f(\varepsilon)$ をフェルミ分布関数と言いま...
そのエネルギーでの状態密度を量子統計力学らしく $D(\vareps...
またその系の最低準位を $E_{min}$ とすると、、
総粒子数 $N_t$ 、総エネルギー $E_t$ は、それぞれ、
<tex>
N_t &= \int_{E_{min}}^\infty \dfrac{D(\varepsilon)}{e^{\b...
E_t &= \int_{E_{min}}^\infty \dfrac{\varepsilon D(\vareps...
</tex>
となります。
粒子数の保存
=============================
ここで、あるエネルギー $x$ を基準にそれ以上にある粒子数 $...
<tex>
N_- &= \int_{E_{min}}^x D(\varepsilon)(1-f(\varepsilon)) ...
N_+ &= \int_{x}^\infty D(\varepsilon) f(\varepsilon) d \v...
</tex>
ここで、 $N_+=N_-$ となる $x$ があります。よくよく考える...
つまり、全体の粒子数が変わらない限り、フェルミエネルギー...
すると、
<tex>
N_- &= N_+ \tag{##} \\
\int_{E_{min}}^{E_F} D(\varepsilon)(1-f(\varepsilon)) d \...
\int_{E_{min}}^{E_F} D(\varepsilon) d \varepsilon &= \int...
</tex>
当然、これは総粒子数 $N_t$ ですね。
<tex>
N_t &= \int_{E_{min}}^{E_F} D(\varepsilon) d \varepsilon ...
&= \int_{E_{min}}^\infty \dfrac{D(\varepsilon)}{e^{(\vare...
</tex>
総エネルギー $E_t$ についても同様に、
<tex>
E_t &= \int_{E_{min}}^{E_F} \varepsilon D(\varepsilon) d ...
&= \int_{E_{min}}^\infty \dfrac{\varepsilon D(\varepsilon...
</tex>
が成立します。変数は、 $N_t,E_t,\mu,T$ の四つであり、二式...
粒子数変化と化学ポテンシャル、温度の関係
=======================================================
定性的な考察をしておきましょう。
式(18)について、温度 $T$ を一定にして粒子数 $N_t$ を増大...
<tex>
f(\varepsilon) = \dfrac{1}{e^{(\varepsilon - \mu)/k_B T}+...
</tex>
のみです。化学ポテンシャルの増大は全ての $\varepsilon$ で...
余談ですが、金属のフェルミ準位、言い換えて、フェルミ温度 ...
そこから言える事は、まずフェルミ温度以上の温度とは、フェ...
<tex>
\dfrac{\partial S}{\partial N} = - \dfrac{\mu}{T} \tag{##}
</tex>
という化学ポテンシャルの関係式より、粒子の追加で、粒子数 ...
増大するのは $\varepsilon = \mu$ 付近なので、化学ポテンシ...
筆者の勘違い
=================================
僕はいつの間にか勘違いをして、
<tex>
\dfrac{1}{e^{\beta(E-\mu N)}+1} \tag{##}
</tex>
という関数がなんらか意味を持つと思っていましたが、
よくよく考えると全くの勘違いの様です。
こんな関数は意味を持ちません。むしろ $ E - \mu N$ が意味...
次の意味です。
熱・粒子浴内にある開放系を考えます。ここで着目系を一準位...
熱浴に対しては小さいが、一粒子に比べたらマクロと見なせる...
を持つとして、粒子の区別がつけず、独立事象として扱えば、...
<tex>
P &= \prod_i C_i e^{-\beta(\varepsilon_i - \mu)n_i} \\
&= C e^{-\beta(E - \mu N)} \tag{##}
</tex>
と言う「確率」として出てきます。 $C_i,C$ は $\beta$ や $\...
<tex>
C &= \prod_i \sum_{n_i = 0}^1 e^{-\beta(\varepsilon_i - \...
&= \prod_i \left( 1+e^{-\beta(\varepsilon_i - \mu)} \righ...
</tex>
です。洒落た本だと、トレースを使って
<tex>
P &= e^{-\beta(E - \mu N)}/\rm{Tr}(e^{-\beta(E - \mu N)})...
</tex>
として出てくることがあります。気持ちとしては、
(逆)温度 $\beta$ 、化学ポテンシャル $\mu$ の環境に置かれ...
エネルギー $E$ 、粒子数 $N$ を持つ時の実現「確率」(粒子...
その他の注意
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自由電子ガスの化学ポテンシャルのゾンマーフェルト展開では"...
それでは、今日はこの辺で。お疲れ様でした。
@@author:クロメル@@
@@accept:2018-03-05@@
@@category:統計力学@@
@@id:chemicalPotential@@
ページ名:
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