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#rst2hooktail_source
===================
フーリエ級数1
===================
周期関数を三角関数の足し合わせで表すものを,フーリエ級数
(級数とは数列の和.単に級数といった場合,無限級数を表す...
三角関数とは $\cos$ 関数や $\sin$ 関数のことです.
これらは周期 $2\pi$ の周期関数で,下図のような形をしてい...
|fig1| sin関数
|fig2| cos関数
これは高校の数学で習いますね.
フーリエ級数でできること
---------------------------
この一見単純な関数を足し合わせる(重ね合わせる)ことで,...
というのがフーリエ級数です.本当でしょうか.
足し合わせてみる
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
フーリエ級数をちょっと試してみましょう.つくりたい周期関...
|fig3|
というものです.周期は $2\pi$ です.これは式で表すと
<tex>
f(x) = \begin{cases}-1 & (-\pi<x<0)\\ 1 & (0<x<\pi) \end{...
</tex>
となります.この式と周期を元にどういうふうに三角関数を足...
(すなわちフーリエ級数)がわかるのですが,その計算はまた...
<tex>
f(x) &= \frac{4}{\pi}\left(\sin x + \frac{1}{3}\sin 3x + ...
& = \frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin\{(2n-...
</tex>
であると分かったものとします.これをグラフにしていきまし...
|fig4| $n=1$
|fig5| $n=2$
|fig6| $n=3$
ここで $n$ とは,足し合わせる三角関数の数です.
うーん,近づいてはいますがまだまだ足さないといけないよう...
gnuplotで直接グラフを書くのはしんどいので,つぎのCプログ...
::
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define N 10 /* この値を変更 */
double term(int n, double x){
return sin((2*n-1)*x)/(2*n-1);
}
int main(void){
int i;
double x, y=0;
FILE *fp;
fp = fopen("fourier.dat", "w");
for (x=-M_PI; x<M_PI; x+=0.001) {
for (i=1; i<=N; i++) {
y += term(i,x);
}
fprintf(fp, "%lf %lf\n", x, 4/M_PI*y);
y=0;
}
fclose(fp);
return 0;
}
いま問題にしている関数のフーリエ級数を数値計算し,できた...
$n$ の値(プログラム中では定数 N )を変えながら,いくつか...
|fig7| $n=10$
|fig8| $n=20$
|fig9| $n=50$
|fig10| $n=100$
だいぶそれらしくなってきました.もっと足します.
|fig11| $n=200$
|fig12| $n=500$
|fig13| $n=1000$
$x = -\pi, 0, \pi$ の部分でうまく収束しません.これはギブ...
最後に,十万番目の項まで足したものを.
|fig14| $n=100000$
ほぼ完璧に見えますが,実際にはやはり $x = -\pi, 0, \pi$ ...
一般に有限個のフーリエ級数の和では完璧に周期関数を再現す...
しかしたくさん足し合わせれば,完璧に近くなります.
(ちなみにこの計算には Pentium III 750MHz で2分くらいかか...
というわけで,周期関数は三角関数の足し合わせで再現できそ...
.. |fig1| image:: fig01.png
.. |fig2| image:: fig02.png
.. |fig3| image:: fig03.png
.. |fig4| image:: fig04.png
.. |fig5| image:: fig05.png
.. |fig6| image:: fig06.png
.. |fig7| image:: fig07.png
.. |fig8| image:: fig08.png
.. |fig9| image:: fig09.png
.. |fig10| image:: fig10.png
.. |fig11| image:: fig11.png
.. |fig12| image:: fig12.png
.. |fig13| image:: fig13.png
.. |fig14| image:: fig14.png
@@author:崎間@@
@@accept:2003-11-25@@
@@category:物理数学@@
@@id:fourier1@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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フーリエ級数1
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周期関数を三角関数の足し合わせで表すものを,フーリエ級数
(級数とは数列の和.単に級数といった場合,無限級数を表す...
三角関数とは $\cos$ 関数や $\sin$ 関数のことです.
これらは周期 $2\pi$ の周期関数で,下図のような形をしてい...
|fig1| sin関数
|fig2| cos関数
これは高校の数学で習いますね.
フーリエ級数でできること
---------------------------
この一見単純な関数を足し合わせる(重ね合わせる)ことで,...
というのがフーリエ級数です.本当でしょうか.
足し合わせてみる
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
フーリエ級数をちょっと試してみましょう.つくりたい周期関...
|fig3|
というものです.周期は $2\pi$ です.これは式で表すと
<tex>
f(x) = \begin{cases}-1 & (-\pi<x<0)\\ 1 & (0<x<\pi) \end{...
</tex>
となります.この式と周期を元にどういうふうに三角関数を足...
(すなわちフーリエ級数)がわかるのですが,その計算はまた...
<tex>
f(x) &= \frac{4}{\pi}\left(\sin x + \frac{1}{3}\sin 3x + ...
& = \frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin\{(2n-...
</tex>
であると分かったものとします.これをグラフにしていきまし...
|fig4| $n=1$
|fig5| $n=2$
|fig6| $n=3$
ここで $n$ とは,足し合わせる三角関数の数です.
うーん,近づいてはいますがまだまだ足さないといけないよう...
gnuplotで直接グラフを書くのはしんどいので,つぎのCプログ...
::
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define N 10 /* この値を変更 */
double term(int n, double x){
return sin((2*n-1)*x)/(2*n-1);
}
int main(void){
int i;
double x, y=0;
FILE *fp;
fp = fopen("fourier.dat", "w");
for (x=-M_PI; x<M_PI; x+=0.001) {
for (i=1; i<=N; i++) {
y += term(i,x);
}
fprintf(fp, "%lf %lf\n", x, 4/M_PI*y);
y=0;
}
fclose(fp);
return 0;
}
いま問題にしている関数のフーリエ級数を数値計算し,できた...
$n$ の値(プログラム中では定数 N )を変えながら,いくつか...
|fig7| $n=10$
|fig8| $n=20$
|fig9| $n=50$
|fig10| $n=100$
だいぶそれらしくなってきました.もっと足します.
|fig11| $n=200$
|fig12| $n=500$
|fig13| $n=1000$
$x = -\pi, 0, \pi$ の部分でうまく収束しません.これはギブ...
最後に,十万番目の項まで足したものを.
|fig14| $n=100000$
ほぼ完璧に見えますが,実際にはやはり $x = -\pi, 0, \pi$ ...
一般に有限個のフーリエ級数の和では完璧に周期関数を再現す...
しかしたくさん足し合わせれば,完璧に近くなります.
(ちなみにこの計算には Pentium III 750MHz で2分くらいかか...
というわけで,周期関数は三角関数の足し合わせで再現できそ...
.. |fig1| image:: fig01.png
.. |fig2| image:: fig02.png
.. |fig3| image:: fig03.png
.. |fig4| image:: fig04.png
.. |fig5| image:: fig05.png
.. |fig6| image:: fig06.png
.. |fig7| image:: fig07.png
.. |fig8| image:: fig08.png
.. |fig9| image:: fig09.png
.. |fig10| image:: fig10.png
.. |fig11| image:: fig11.png
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@@author:崎間@@
@@accept:2003-11-25@@
@@category:物理数学@@
@@id:fourier1@@
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物理のかぎプロジェクト
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