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ビオ・サバールの法則とその応用
=========================================================...
円電流の作る磁場をビオ・サバールの法則を用いて直接積分し...
導入
========================
電流は流れるとき、必ず磁場を伴って流れています。
それを表す法則は、ふたつありまして、
一方は「アンペールの法則」、もう一方は、「ビオ・サバール...
ここでは、ビオ・サバールの法則を使って、簡単な例に適用し...
ビオ・サバールの法則
========================
原点に微小な電流要素 $Id\bm{s}$ を考えます。ただし $I$ は...
ベクトル $\bm{n}$ を用いて、 $d\bm{s}= ds \bm{n}$ と表さ...
<tex>
d \bm{B} = \frac{\mu_0I}{4 \pi}\ \frac{d \bm{s} \times ...
= \frac{\mu_0I}{4 \pi}\ \frac{d \bm{s} \times \hat{ \bm...
</tex>
となります。ただし $\hat{\bm{r}}$ は位置ベクトル方向を向...
円電流が作る磁場
========================
いまxy平面内に半径 $a$ の円電流を考えます。この円電流が...
$\bm{r_0}=(a \cos \theta , a \sin \theta , 0)$ にある微小...
に(最後は円筒座標を使いました)作る磁場は、式 (#ref(biot...
<tex>
d \bm{B} = \frac{\mu_0I}{4 \pi} \ \frac{d \bm{s} \times ...
</tex>
今、
<tex>
d \bm{s} \times (\bm{r}-\bm{r_0})=
\begin{vmatrix}
\bm{i}&\bm{j}&\bm{k} \\
- ds \sin \theta & ds \cos \theta & 0 \\
x - a \cos \theta & y - a \sin \theta & z
\end{vmatrix}
= \begin{pmatrix}
z \cos \theta \\
z \sin \theta \\
a-y \sin \theta -x \cos \theta
\end{pmatrix} ds
= \begin{pmatrix}
z \cos \theta \\
z \sin \theta \\
a-r \cos (\theta-\phi)
\end{pmatrix} ds
</tex>
で、
<tex>
|\bm{r}-\bm{r_0}|^2 = |\bm{r}|^2+|\bm{r_0}|^2-2\bm{r} \cd...
</tex>
です。これを用いて、まずz方向の磁場 $B_z$ を求めます。微...
<tex>
B_z =\int d B_z = \frac{\mu_0I}{4 \pi} \int^{2\pi}_0 \fra...
</tex>
同様にx方向、y方向も書くと、
<tex>
B_x =\int d B_x = \frac{\mu_0I}{4 \pi} \int^{2\pi}_0 \fra...
</tex>
<tex>
B_y =\int d B_y = \frac{\mu_0I}{4 \pi} \int^{2\pi}_0 \fra...
</tex>
です。おそらくこの積分は解けません。
円電流が作る磁場(原点では)
==============================
解けないとは言いましたが、二つの特別な場合を計算してみま...
まず $r=0$ の時は簡単です。まずz方向について見てみます。
<tex>
B_z = \frac{\mu_0I}{4 \pi} \int^{2\pi}_0 \ \frac{a-r \c...
= \frac{\mu_0I}{4\pi} \int ^{2\pi}_0 \ \frac{a^2}{(a^2+z...
=\frac{\mu_0I}{2} \ \frac{a^2}{(a^2+z^2)^\frac{3}{2}}
</tex>
となり、またx方向、y方向は対称性から0になります。
さらに特別な場合、コイルの円の中心 $(z=0)$ では $ \bm{B}=...
円電流が作る磁場(十分に遠方では)
===================================
十分に遠方 $ |\bm{r}|>>|\bm{r_0}| $ では、分母を近似する...
<tex>
\frac{1}{|\bm{r}-\bm{r_0}|^3}
=\frac{1}{(r^2 +z^2 +a^2 -2ra \cos (\theta -\phi)\ )^{\fr...
=(r^2+z^2)^{-\frac{3}{2}} \ (1-\frac{2ar}{r^2+z^2} \cos (...
</tex>
ここで $ \frac{a^2}{r^2+z^2} $ は二次の微小量なので無視し...
<tex>
\frac{1}{|\bm{r}-\bm{r_0}|^3}
=(r^2+z^2)^{-\frac{3}{2}}(1-\frac{2ar}{r^2+z^2} \cos (\th...
=(r^2+z^2)^{-\frac{3}{2}}(1+\frac{3}{2} \ \frac{2ar}{r^2+...
</tex>
となります。これを用いてz方向成分を求めると、
<tex>
B_z &= \frac{\mu_0I}{4 \pi(r^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} \int^{...
&= \frac{\mu_0Ia}{4 \pi(r^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} \int^{2\p...
&= \frac{\mu_0Ia}{4 \pi(r^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} \int^{2\p...
&= \frac{\mu_0Ia}{4 \pi(r^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} [ ar(\fra...
&= \frac{\mu_0Ia}{4 \pi(r^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} \{ 2\pi a...
&= \frac{\mu_0Ia}{2(r^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} ( ar \frac{z^...
&= \frac{\mu_0Ia^2}{2(r^2+z^2)^{\frac{5}{2}}} (z^2-\frac{...
</tex>
ふう疲れた、とにかくこうなるわけですよ。
まだ、x方向とy方向が残っています。でも安心してください。x...
<tex>
B_x &= \frac{\mu_0I}{4 \pi(r^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} \int^{...
&= \frac{\mu_0Ia}{4 \pi(r^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} \int^{2\p...
&= \frac{\mu_0Ia}{4 \pi(r^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} \int^{2\p...
&= \frac{\mu_0Ia}{4 \pi(r^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} \int^{2\p...
&= \frac{\mu_0Ia}{4 \pi(r^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} [ z \frac...
&= \frac{3\mu_0Ia^2xz}{4 (r^2+z^2)^{\frac{5}{2}}}
</tex>
y方向についてはこれのxをyで、yはxで
置き換えればいいので、
<tex>
B_y &= \frac{\mu_0I}{4 \pi(r^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} \int^{...
&= \frac{3\mu_0Ia^2yz}{4 (r^2+z^2)^{\frac{5}{2}}}
</tex>
まとめると、
<tex>
\bm{B}=\frac{\mu_0Ia^2}{(r^2+z^2)^{\frac{5}{2}}}\begin{pm...
\frac{3}{4}xz \\
\frac{3}{4}yz \\
\frac{3}{4}z^2-\frac{1}{4}(x^2+y^2+z^2)
\end{pmatrix}
</tex>
であり、成分としてまとめると、
<tex>
B_n=\frac{3\mu_0Ia^2}{4(r^2+z^2)^{\frac{5}{2}}} (x_n x_3 ...
</tex>
$x_1,x_2,x_3$ は、それぞれ $x,y,z$ をあらわし、 $ i=1,2,3...
$ \delta _{ij} = \begin{cases} 1 (when \ i=j) \\ 0 (othe...
@@author:クロメル@@
@@accept:2007-02-16@@
@@category:電磁気学@@
@@id:bioSavar@@
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ビオ・サバールの法則とその応用
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円電流の作る磁場をビオ・サバールの法則を用いて直接積分し...
導入
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電流は流れるとき、必ず磁場を伴って流れています。
それを表す法則は、ふたつありまして、
一方は「アンペールの法則」、もう一方は、「ビオ・サバール...
ここでは、ビオ・サバールの法則を使って、簡単な例に適用し...
ビオ・サバールの法則
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原点に微小な電流要素 $Id\bm{s}$ を考えます。ただし $I$ は...
ベクトル $\bm{n}$ を用いて、 $d\bm{s}= ds \bm{n}$ と表さ...
<tex>
d \bm{B} = \frac{\mu_0I}{4 \pi}\ \frac{d \bm{s} \times ...
= \frac{\mu_0I}{4 \pi}\ \frac{d \bm{s} \times \hat{ \bm...
</tex>
となります。ただし $\hat{\bm{r}}$ は位置ベクトル方向を向...
円電流が作る磁場
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いまxy平面内に半径 $a$ の円電流を考えます。この円電流が...
$\bm{r_0}=(a \cos \theta , a \sin \theta , 0)$ にある微小...
に(最後は円筒座標を使いました)作る磁場は、式 (#ref(biot...
<tex>
d \bm{B} = \frac{\mu_0I}{4 \pi} \ \frac{d \bm{s} \times ...
</tex>
今、
<tex>
d \bm{s} \times (\bm{r}-\bm{r_0})=
\begin{vmatrix}
\bm{i}&\bm{j}&\bm{k} \\
- ds \sin \theta & ds \cos \theta & 0 \\
x - a \cos \theta & y - a \sin \theta & z
\end{vmatrix}
= \begin{pmatrix}
z \cos \theta \\
z \sin \theta \\
a-y \sin \theta -x \cos \theta
\end{pmatrix} ds
= \begin{pmatrix}
z \cos \theta \\
z \sin \theta \\
a-r \cos (\theta-\phi)
\end{pmatrix} ds
</tex>
で、
<tex>
|\bm{r}-\bm{r_0}|^2 = |\bm{r}|^2+|\bm{r_0}|^2-2\bm{r} \cd...
</tex>
です。これを用いて、まずz方向の磁場 $B_z$ を求めます。微...
<tex>
B_z =\int d B_z = \frac{\mu_0I}{4 \pi} \int^{2\pi}_0 \fra...
</tex>
同様にx方向、y方向も書くと、
<tex>
B_x =\int d B_x = \frac{\mu_0I}{4 \pi} \int^{2\pi}_0 \fra...
</tex>
<tex>
B_y =\int d B_y = \frac{\mu_0I}{4 \pi} \int^{2\pi}_0 \fra...
</tex>
です。おそらくこの積分は解けません。
円電流が作る磁場(原点では)
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解けないとは言いましたが、二つの特別な場合を計算してみま...
まず $r=0$ の時は簡単です。まずz方向について見てみます。
<tex>
B_z = \frac{\mu_0I}{4 \pi} \int^{2\pi}_0 \ \frac{a-r \c...
= \frac{\mu_0I}{4\pi} \int ^{2\pi}_0 \ \frac{a^2}{(a^2+z...
=\frac{\mu_0I}{2} \ \frac{a^2}{(a^2+z^2)^\frac{3}{2}}
</tex>
となり、またx方向、y方向は対称性から0になります。
さらに特別な場合、コイルの円の中心 $(z=0)$ では $ \bm{B}=...
円電流が作る磁場(十分に遠方では)
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十分に遠方 $ |\bm{r}|>>|\bm{r_0}| $ では、分母を近似する...
<tex>
\frac{1}{|\bm{r}-\bm{r_0}|^3}
=\frac{1}{(r^2 +z^2 +a^2 -2ra \cos (\theta -\phi)\ )^{\fr...
=(r^2+z^2)^{-\frac{3}{2}} \ (1-\frac{2ar}{r^2+z^2} \cos (...
</tex>
ここで $ \frac{a^2}{r^2+z^2} $ は二次の微小量なので無視し...
<tex>
\frac{1}{|\bm{r}-\bm{r_0}|^3}
=(r^2+z^2)^{-\frac{3}{2}}(1-\frac{2ar}{r^2+z^2} \cos (\th...
=(r^2+z^2)^{-\frac{3}{2}}(1+\frac{3}{2} \ \frac{2ar}{r^2+...
</tex>
となります。これを用いてz方向成分を求めると、
<tex>
B_z &= \frac{\mu_0I}{4 \pi(r^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} \int^{...
&= \frac{\mu_0Ia}{4 \pi(r^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} \int^{2\p...
&= \frac{\mu_0Ia}{4 \pi(r^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} \int^{2\p...
&= \frac{\mu_0Ia}{4 \pi(r^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} [ ar(\fra...
&= \frac{\mu_0Ia}{4 \pi(r^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} \{ 2\pi a...
&= \frac{\mu_0Ia}{2(r^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} ( ar \frac{z^...
&= \frac{\mu_0Ia^2}{2(r^2+z^2)^{\frac{5}{2}}} (z^2-\frac{...
</tex>
ふう疲れた、とにかくこうなるわけですよ。
まだ、x方向とy方向が残っています。でも安心してください。x...
<tex>
B_x &= \frac{\mu_0I}{4 \pi(r^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} \int^{...
&= \frac{\mu_0Ia}{4 \pi(r^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} \int^{2\p...
&= \frac{\mu_0Ia}{4 \pi(r^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} \int^{2\p...
&= \frac{\mu_0Ia}{4 \pi(r^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} \int^{2\p...
&= \frac{\mu_0Ia}{4 \pi(r^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} [ z \frac...
&= \frac{3\mu_0Ia^2xz}{4 (r^2+z^2)^{\frac{5}{2}}}
</tex>
y方向についてはこれのxをyで、yはxで
置き換えればいいので、
<tex>
B_y &= \frac{\mu_0I}{4 \pi(r^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} \int^{...
&= \frac{3\mu_0Ia^2yz}{4 (r^2+z^2)^{\frac{5}{2}}}
</tex>
まとめると、
<tex>
\bm{B}=\frac{\mu_0Ia^2}{(r^2+z^2)^{\frac{5}{2}}}\begin{pm...
\frac{3}{4}xz \\
\frac{3}{4}yz \\
\frac{3}{4}z^2-\frac{1}{4}(x^2+y^2+z^2)
\end{pmatrix}
</tex>
であり、成分としてまとめると、
<tex>
B_n=\frac{3\mu_0Ia^2}{4(r^2+z^2)^{\frac{5}{2}}} (x_n x_3 ...
</tex>
$x_1,x_2,x_3$ は、それぞれ $x,y,z$ をあらわし、 $ i=1,2,3...
$ \delta _{ij} = \begin{cases} 1 (when \ i=j) \\ 0 (othe...
@@author:クロメル@@
@@accept:2007-02-16@@
@@category:電磁気学@@
@@id:bioSavar@@
ページ名:
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