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#rst2hooktail_source
=========================================================...
ヒルベルト変換とフーリエ変換
=========================================================...
(書体に関するバグがありまして、 $\hat{f}(\omega)$ と $\rm...
ヒルベルト変換 $H$ とは、主値積分を $P$ とした時、その関...
<tex>
H[f(t)] = \dfrac{1}{\pi} P \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac...
</tex>
というものです。これは符号関数
<tex>
\ \rm{sgn}(\omega) =
\begin{cases}
1 \ \ \ (\omega > 0) \\
0 \ \ \ (\omega = 0) \\
-1 \ \ \ (\omega < 0)
\end{cases}
\tag{##}
</tex>
と関数 $\hat{f}(\omega)$ (f(t)のフーリエ変換)の積 $-i \ ...
この記事では、
<tex>
\mathcal{F}^{-1}[-i \ \rm{sgn}(\omega) \hat{f}(\omega)] ...
\mathcal{F}\left[ H[f(t)] \right] &= -i \ \rm{sgn}(\omeg...
</tex>
を示します。
結果がヒルベルト変換になる逆フーリエ変換
========================================================
実際、逆フーリエ変換を施してみましょう。以下では $t-t^\pr...
<tex>
\mathcal{F}^{-1}[-i \ \rm{sgn}(\omega) \hat{f}(\omega)]
&= \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d \omega}{2 \pi} \left( -...
&= \dfrac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^\infty d \omega \ \...
&= \dfrac{1}{2 \pi i} P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime ...
&= \dfrac{1}{2 \pi i} P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime ...
&= \dfrac{1}{2 \pi i} P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime ...
&= \dfrac{1}{2 \pi i} P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime ...
&= \dfrac{1}{\pi} P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime \dfr...
&= H[f(t)]
\tag{##}
</tex>
と、この様にヒルベルト変換が出てきました。
ヒルベルト変換のフーリエ変換
============================================
式 $(3)$ をフーリエ変換してみます。(主値積分とは積分記号...
<tex>
\mathcal{F}\left[ H[f(t)] \right]
&= \int_{-\infty}^\infty dt e^{-i \omega t} \dfrac{1}{\pi...
&= \dfrac{1}{\pi} \int_{-\infty}^\infty d t^\prime e^{-i ...
\tag{##}
</tex>
.. image :: chromel-HilbertTransform-01.png
式 $(4)$ の最終行の丸かっこ内の $t$ 積分を実行します。被...
<tex>
&\left( \int_{C_R}dt + \int_{\infty}^{t+\varepsilon}dt + ...
\\
\\
&P \int_{-\infty}^\infty dt \dfrac{e^{-i \omega (t-t^\pri...
&= \left( \int_{-\infty}^{t-\varepsilon}dt + \int_{t+\var...
&= \int_{C_\varepsilon} dt \psi(t) \\
&= - \dfrac{1}{2} 2 \pi i Res_{t=t^\prime} \psi(t) \\
&= - \pi i \lim_{t \to t^\prime} (t-t^\prime) \dfrac{e^{-...
&= - \pi i
\tag{##}
</tex>
これと同様に $\omega<0$ の時の積分を行うと、 $\pi i$ が得...
よって、
<tex>
P \int_{-\infty}^\infty dt \dfrac{e^{-i \omega (t-t^\prim...
&= -\pi i \ \rm{sgn}(\omega)
\tag{##}
</tex>
と分かります。( $\omega = 0$ の時はどうしたものか?)
よって、式 $(4)$ の計算を続行すると、
<tex>
\mathcal{F}\left[ H[f(t)] \right]
&= \dfrac{1}{\pi} \int_{-\infty}^\infty d t^\prime e^{-i ...
&= \dfrac{1}{\pi} \int_{-\infty}^\infty d t^\prime e^{-i ...
&= -i \ \rm{sgn}(\omega) P \int_{-\infty}^\infty d t^\pri...
&= -i \ \rm{sgn}(\omega) \hat{f}(\omega)
\tag{##}
</tex>
となり、無事ヒルベルト変換のフーリエ変換が求まりました。
今日はここまで、お疲れさまでした!
@@reference: 渡部隆一、宮崎浩、遠藤静男 共著,改訂工科の...
@@author:クロメル@@
@@accept:2020-03-11@@
@@category:物理数学@@
@@id:HilbertTransform@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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ヒルベルト変換とフーリエ変換
=========================================================...
(書体に関するバグがありまして、 $\hat{f}(\omega)$ と $\rm...
ヒルベルト変換 $H$ とは、主値積分を $P$ とした時、その関...
<tex>
H[f(t)] = \dfrac{1}{\pi} P \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac...
</tex>
というものです。これは符号関数
<tex>
\ \rm{sgn}(\omega) =
\begin{cases}
1 \ \ \ (\omega > 0) \\
0 \ \ \ (\omega = 0) \\
-1 \ \ \ (\omega < 0)
\end{cases}
\tag{##}
</tex>
と関数 $\hat{f}(\omega)$ (f(t)のフーリエ変換)の積 $-i \ ...
この記事では、
<tex>
\mathcal{F}^{-1}[-i \ \rm{sgn}(\omega) \hat{f}(\omega)] ...
\mathcal{F}\left[ H[f(t)] \right] &= -i \ \rm{sgn}(\omeg...
</tex>
を示します。
結果がヒルベルト変換になる逆フーリエ変換
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実際、逆フーリエ変換を施してみましょう。以下では $t-t^\pr...
<tex>
\mathcal{F}^{-1}[-i \ \rm{sgn}(\omega) \hat{f}(\omega)]
&= \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d \omega}{2 \pi} \left( -...
&= \dfrac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^\infty d \omega \ \...
&= \dfrac{1}{2 \pi i} P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime ...
&= \dfrac{1}{2 \pi i} P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime ...
&= \dfrac{1}{2 \pi i} P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime ...
&= \dfrac{1}{2 \pi i} P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime ...
&= \dfrac{1}{\pi} P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime \dfr...
&= H[f(t)]
\tag{##}
</tex>
と、この様にヒルベルト変換が出てきました。
ヒルベルト変換のフーリエ変換
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式 $(3)$ をフーリエ変換してみます。(主値積分とは積分記号...
<tex>
\mathcal{F}\left[ H[f(t)] \right]
&= \int_{-\infty}^\infty dt e^{-i \omega t} \dfrac{1}{\pi...
&= \dfrac{1}{\pi} \int_{-\infty}^\infty d t^\prime e^{-i ...
\tag{##}
</tex>
.. image :: chromel-HilbertTransform-01.png
式 $(4)$ の最終行の丸かっこ内の $t$ 積分を実行します。被...
<tex>
&\left( \int_{C_R}dt + \int_{\infty}^{t+\varepsilon}dt + ...
\\
\\
&P \int_{-\infty}^\infty dt \dfrac{e^{-i \omega (t-t^\pri...
&= \left( \int_{-\infty}^{t-\varepsilon}dt + \int_{t+\var...
&= \int_{C_\varepsilon} dt \psi(t) \\
&= - \dfrac{1}{2} 2 \pi i Res_{t=t^\prime} \psi(t) \\
&= - \pi i \lim_{t \to t^\prime} (t-t^\prime) \dfrac{e^{-...
&= - \pi i
\tag{##}
</tex>
これと同様に $\omega<0$ の時の積分を行うと、 $\pi i$ が得...
よって、
<tex>
P \int_{-\infty}^\infty dt \dfrac{e^{-i \omega (t-t^\prim...
&= -\pi i \ \rm{sgn}(\omega)
\tag{##}
</tex>
と分かります。( $\omega = 0$ の時はどうしたものか?)
よって、式 $(4)$ の計算を続行すると、
<tex>
\mathcal{F}\left[ H[f(t)] \right]
&= \dfrac{1}{\pi} \int_{-\infty}^\infty d t^\prime e^{-i ...
&= \dfrac{1}{\pi} \int_{-\infty}^\infty d t^\prime e^{-i ...
&= -i \ \rm{sgn}(\omega) P \int_{-\infty}^\infty d t^\pri...
&= -i \ \rm{sgn}(\omega) \hat{f}(\omega)
\tag{##}
</tex>
となり、無事ヒルベルト変換のフーリエ変換が求まりました。
今日はここまで、お疲れさまでした!
@@reference: 渡部隆一、宮崎浩、遠藤静男 共著,改訂工科の...
@@author:クロメル@@
@@accept:2020-03-11@@
@@category:物理数学@@
@@id:HilbertTransform@@
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