記事ソース/ハミルトニアン・ベクトル場
をテンプレートにして作成
査読
rst2hooktail
進行表
執筆中
かぎマニュ
物理のかぎプロジェクト
トップ
最近の更新
ヘルプ
開始行:
#rst2hooktail_source
=========================================================...
ハミルトニアン・ベクトル場
=========================================================...
この記事では、正準方程式の座標系に依らない表現の拡張であ...
関数 $G$ を生成関数とするハミルトニアン・ベクトル場 $v_G$...
相空間
========================
まず、軽く解析力学の枠組みについて話します。
ラグランジュ形式は配位空間 $(q, \dot{q})$ 上での物理です。
ハミルトニアン形式は相空間 $(q,p)$ 上での物理です。
ラグランジアンが正則な時、この対応は全単射(等価)になり...
これから行う議論は、相空間上の幾何学を扱っていると言う事...
頭の片隅に置いておいてください。
正準方程式
===================
正準方程式とは次のハミルトニアンによる運動方程式と等価な...
ここで $dq^i,dp_i$ はそれぞれ、 $i=1,2,\cdots n$ の数だけ...
<tex>
\begin{pmatrix}
\dfrac{dq^1}{dt} \\
\dfrac{dq^2}{dt} \\
\vdots \\
\dfrac{dp_1}{dt} \\
\dfrac{dp_2}{dt} \\
\vdots
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial H}{\partial p_1} \\
\dfrac{\partial H}{\partial p_2} \\
\vdots \\
-\dfrac{\partial H}{\partial q^1} \\
-\dfrac{\partial H}{\partial q^2} \\
\vdots
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
ここで、次を正準2形式 $\Omega$ と言います。
<tex>
\Omega \equiv dp_i \wedge dq^i \tag{##}
</tex>
これはアインシュタインの縮約規則で和をとっています。
微分形式による正準方程式の表現の準備
=========================================
これを
<tex>
z = (q^1,q^2, \cdots, q^n, p_1,p_2, \cdots, p_n)^T = (z^1...
</tex>
として、列ベクトル $z$ を導入します。
すると、正準2形式(式 $(2)$ )は次の様に表現できます。
<tex>
\Omega = dp_i \wedge dq^i = \dfrac{1}{2} \Omega_{\mu \nu}...
</tex>
ここで、2階共変テンソル $\hat{\Omega}$ をn次単位行列 $I_n...
<tex>
\hat{\Omega}
= (\Omega_{\mu \nu})
= \begin{pmatrix}
O_n & -I_n \\
I_n & O_n
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
この逆の2階反変テンソル(逆行列に相当)は、
<tex>
\hat{\Omega}^\prime
= (\Omega^{\mu \nu})
= \begin{pmatrix}
O_n & I_n \\
-I_n & O_n
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
となります。
ここで、正準2形式と二つのベクトルの内積を、
<tex>
<\Omega| \dfrac{\partial}{\partial x^\mu},\dfrac{\partial...
= \dfrac{\partial z^\rho}{\partial x^\mu} \Omega_{\rho \s...
</tex>
とします。これで準備が終わりました。
正準方程式を微分形式で表す
====================================
式 $(1)$ は今までの道具立てで、
<tex>
\dfrac{dz^\mu}{dt} = \Omega^{\mu \nu} \dfrac{\partial H }...
</tex>
両辺に $\Omega_{\rho \mu}$ を左からかけて、
<tex>
\Omega_{\rho \mu} \dfrac{dz^\mu}{dt} = \dfrac{\partial H...
</tex>
この式を見て思うことは、左辺が反変ベクトル場、
<tex>
\dot{c} \equiv \dot{z}^\mu \dfrac{\partial}{\partial z^\m...
</tex>
の成分である(取りあえず $\Omega_{\rho \mu}$ は無視、これ...
<tex>
dH = \dfrac{\partial H }{\partial z^\mu} dz^\mu = \dfrac...
</tex>
の成分になっています。これらを座標系に依存しない形で表現...
それを媒介するのが、正準2形式なのです。 $\bullet$ で二形...
<tex>
<\Omega| \dot{c} ,\bullet >
&= - \dot{q}^i dp_i + \dot{p}_i dq^i \\
&=
\begin{pmatrix}
d q^1 & dq^2 & \cdots & dp_{2n}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
O_n & I_n \\
-I_n & O_n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\dot{q}^1 \\
\dot{q}^2 \\
\vdots \\
\dot{p}_{2n}
\end{pmatrix} \\
&= - \Omega_{\nu \mu} \dot{z}^\mu dz^\nu
\tag{##}
</tex>
(三行目の添え字が $\nu \mu$ なのにご注意ください。)
すると、一形式になります。一方、正準方程式である式 $(9)$ ...
正準方程式は、
<tex>
<\Omega| \dot{c}, \bullet> = -dH \tag{##}
</tex>
さらに $\Omega$ が反対称テンソルであることからベクトル場...
<tex>
<\Omega| \bullet, \dot{c}> = dH \tag{##}
</tex>
これが正準形式の座標系に依らない表現です。
なお、 $\dot{c}$ とは、
<tex>
\dot{c} = \dot{q}^i \dfrac{\partial}{\partial q^i} + \dot...
</tex>
の事です。つまり、ハミルトニアンに共役な量、時間 $t$ によ...
G(z)を生成関数とするハミルトニアン・ベクトル場
=========================================================...
この論理は、ハミルトニアンだけに適用範囲が限られるわけで...
ここで、 $z$ の滑らかな関数 $G(z)$ とし、 $\Omega$ を作用...
得られるようなベクトル場 $v_G$ を考えます。
<tex>
dG &= <\Omega| \bullet, v_G> = \Omega_{\nu \mu} v_G^\mu d...
\dfrac{\partial G}{\partial z^\nu} &= \Omega_{\nu \mu} v_...
\Omega^{\mu \rho}\dfrac{\partial G}{\partial z^\rho} &= ...
\tag{##}
</tex>
こうして得られるベクトル場 $v_G$
<tex>
v_G &= v_G^\mu \dfrac{\partial}{\partial z^\mu} \\
&= \Omega^{\mu \nu} \dfrac{\partial G}{\partial z^\nu} \d...
&= \dfrac{\partial G}{\partial p_i} \dfrac{\partial}{\par...
\tag{##}
</tex>
をG(z)を生成関数とするハミルトニアン・ベクトル場と言いま...
関数 $G=H$ の時は、式 $(17)$ は物理量に作用して微小時間発...
つまり、ハミルトニアン・ベクトル場とは、正準方程式の拡張...
今日はここまで、お疲れさまでした。
@@reference: 山本義隆 中村孔一,解析力学I,朝倉書店,1998,p...
@@reference: 山本義隆 中村孔一,解析力学II,朝倉書店,1998,...
@@author:クロメル@@
@@accept:2020-04-09@@
@@category:解析力学@@
@@id:hamiltonianVectorField@@
終了行:
#rst2hooktail_source
=========================================================...
ハミルトニアン・ベクトル場
=========================================================...
この記事では、正準方程式の座標系に依らない表現の拡張であ...
関数 $G$ を生成関数とするハミルトニアン・ベクトル場 $v_G$...
相空間
========================
まず、軽く解析力学の枠組みについて話します。
ラグランジュ形式は配位空間 $(q, \dot{q})$ 上での物理です。
ハミルトニアン形式は相空間 $(q,p)$ 上での物理です。
ラグランジアンが正則な時、この対応は全単射(等価)になり...
これから行う議論は、相空間上の幾何学を扱っていると言う事...
頭の片隅に置いておいてください。
正準方程式
===================
正準方程式とは次のハミルトニアンによる運動方程式と等価な...
ここで $dq^i,dp_i$ はそれぞれ、 $i=1,2,\cdots n$ の数だけ...
<tex>
\begin{pmatrix}
\dfrac{dq^1}{dt} \\
\dfrac{dq^2}{dt} \\
\vdots \\
\dfrac{dp_1}{dt} \\
\dfrac{dp_2}{dt} \\
\vdots
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial H}{\partial p_1} \\
\dfrac{\partial H}{\partial p_2} \\
\vdots \\
-\dfrac{\partial H}{\partial q^1} \\
-\dfrac{\partial H}{\partial q^2} \\
\vdots
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
ここで、次を正準2形式 $\Omega$ と言います。
<tex>
\Omega \equiv dp_i \wedge dq^i \tag{##}
</tex>
これはアインシュタインの縮約規則で和をとっています。
微分形式による正準方程式の表現の準備
=========================================
これを
<tex>
z = (q^1,q^2, \cdots, q^n, p_1,p_2, \cdots, p_n)^T = (z^1...
</tex>
として、列ベクトル $z$ を導入します。
すると、正準2形式(式 $(2)$ )は次の様に表現できます。
<tex>
\Omega = dp_i \wedge dq^i = \dfrac{1}{2} \Omega_{\mu \nu}...
</tex>
ここで、2階共変テンソル $\hat{\Omega}$ をn次単位行列 $I_n...
<tex>
\hat{\Omega}
= (\Omega_{\mu \nu})
= \begin{pmatrix}
O_n & -I_n \\
I_n & O_n
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
この逆の2階反変テンソル(逆行列に相当)は、
<tex>
\hat{\Omega}^\prime
= (\Omega^{\mu \nu})
= \begin{pmatrix}
O_n & I_n \\
-I_n & O_n
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
となります。
ここで、正準2形式と二つのベクトルの内積を、
<tex>
<\Omega| \dfrac{\partial}{\partial x^\mu},\dfrac{\partial...
= \dfrac{\partial z^\rho}{\partial x^\mu} \Omega_{\rho \s...
</tex>
とします。これで準備が終わりました。
正準方程式を微分形式で表す
====================================
式 $(1)$ は今までの道具立てで、
<tex>
\dfrac{dz^\mu}{dt} = \Omega^{\mu \nu} \dfrac{\partial H }...
</tex>
両辺に $\Omega_{\rho \mu}$ を左からかけて、
<tex>
\Omega_{\rho \mu} \dfrac{dz^\mu}{dt} = \dfrac{\partial H...
</tex>
この式を見て思うことは、左辺が反変ベクトル場、
<tex>
\dot{c} \equiv \dot{z}^\mu \dfrac{\partial}{\partial z^\m...
</tex>
の成分である(取りあえず $\Omega_{\rho \mu}$ は無視、これ...
<tex>
dH = \dfrac{\partial H }{\partial z^\mu} dz^\mu = \dfrac...
</tex>
の成分になっています。これらを座標系に依存しない形で表現...
それを媒介するのが、正準2形式なのです。 $\bullet$ で二形...
<tex>
<\Omega| \dot{c} ,\bullet >
&= - \dot{q}^i dp_i + \dot{p}_i dq^i \\
&=
\begin{pmatrix}
d q^1 & dq^2 & \cdots & dp_{2n}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
O_n & I_n \\
-I_n & O_n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\dot{q}^1 \\
\dot{q}^2 \\
\vdots \\
\dot{p}_{2n}
\end{pmatrix} \\
&= - \Omega_{\nu \mu} \dot{z}^\mu dz^\nu
\tag{##}
</tex>
(三行目の添え字が $\nu \mu$ なのにご注意ください。)
すると、一形式になります。一方、正準方程式である式 $(9)$ ...
正準方程式は、
<tex>
<\Omega| \dot{c}, \bullet> = -dH \tag{##}
</tex>
さらに $\Omega$ が反対称テンソルであることからベクトル場...
<tex>
<\Omega| \bullet, \dot{c}> = dH \tag{##}
</tex>
これが正準形式の座標系に依らない表現です。
なお、 $\dot{c}$ とは、
<tex>
\dot{c} = \dot{q}^i \dfrac{\partial}{\partial q^i} + \dot...
</tex>
の事です。つまり、ハミルトニアンに共役な量、時間 $t$ によ...
G(z)を生成関数とするハミルトニアン・ベクトル場
=========================================================...
この論理は、ハミルトニアンだけに適用範囲が限られるわけで...
ここで、 $z$ の滑らかな関数 $G(z)$ とし、 $\Omega$ を作用...
得られるようなベクトル場 $v_G$ を考えます。
<tex>
dG &= <\Omega| \bullet, v_G> = \Omega_{\nu \mu} v_G^\mu d...
\dfrac{\partial G}{\partial z^\nu} &= \Omega_{\nu \mu} v_...
\Omega^{\mu \rho}\dfrac{\partial G}{\partial z^\rho} &= ...
\tag{##}
</tex>
こうして得られるベクトル場 $v_G$
<tex>
v_G &= v_G^\mu \dfrac{\partial}{\partial z^\mu} \\
&= \Omega^{\mu \nu} \dfrac{\partial G}{\partial z^\nu} \d...
&= \dfrac{\partial G}{\partial p_i} \dfrac{\partial}{\par...
\tag{##}
</tex>
をG(z)を生成関数とするハミルトニアン・ベクトル場と言いま...
関数 $G=H$ の時は、式 $(17)$ は物理量に作用して微小時間発...
つまり、ハミルトニアン・ベクトル場とは、正準方程式の拡張...
今日はここまで、お疲れさまでした。
@@reference: 山本義隆 中村孔一,解析力学I,朝倉書店,1998,p...
@@reference: 山本義隆 中村孔一,解析力学II,朝倉書店,1998,...
@@author:クロメル@@
@@accept:2020-04-09@@
@@category:解析力学@@
@@id:hamiltonianVectorField@@
ページ名:
Modified by
物理のかぎプロジェクト
PukiWiki 1.4.6
Copyright © 2001-2005
PukiWiki Developers Team
. License is
GPL
.
Based on "PukiWiki" 1.3 by
yu-ji
Powered by PHP 5.3.29 HTML convert time to 0.002 sec.