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#rst2hooktail_source
==================================================
テンソル不変量
==================================================
今までにも何度も強調してきたことですが、テンソルの成分は...
例えばスカラー(零階のテンソル)は常に座標不変量でした。...
二階のテンソル
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
二階のテンソルの不変量は、固有値の固有方程式を考えれば分...
<tex>
\lambda^{3} - (T_{11}+T_{22}+T_{33})\lambda^{2}
+\left(
\left|
\begin{array}{cc}
T_{22} & T_{32} \\
T_{23} & T_{33} \\
\end{array}
\right|
+
\left|
\begin{array}{cc}
T_{11} & T_{21} \\
T_{12} & T_{22} \\
\end{array}
\right|
+
\left|
\begin{array}{cc}
T_{11} & T_{31} \\
T_{13} & T_{33} \\
\end{array}
\right|
\right)
\lambda
-
\left|
\begin{array}{ccc}
T_{11} & T_{12} & T_{13} \\
T_{21} & T_{22} & T_{23} \\
T_{31} & T_{32} & T_{33} \\
\end{array}
\right|
=0 \tag{1}
</tex>
固有値 $\lambda$ はスカラーなので座標変換に対して不変です...
<tex>
I_{1}=T_{11}+T_{22}+T_{33} \tag{2}
</tex>
<tex>
I_{2}=
\left|
\begin{array}{cc}
T_{22} & T_{32} \\
T_{23} & T_{33} \\
\end{array}
\right|
+
\left|
\begin{array}{cc}
T_{11} & T_{21} \\
T_{12} & T_{22} \\
\end{array}
\right|
+
\left|
\begin{array}{cc}
T_{11} & T_{31} \\
T_{13} & T_{33} \\
\end{array}
\right| \tag{3}
</tex>
<tex>
I_{3}=
\left|
\begin{array}{ccc}
T_{11} & T_{12} & T_{13} \\
T_{21} & T_{22} & T_{23} \\
T_{31} & T_{32} & T_{33} \\
\end{array}
\right| \tag{4}
</tex>
これら $I_{1},I_{2},I_{3}$ が二階のテンソル $T_{ij}$ の座...
n次元の場合
----------------------------------------------
さきほどの例は $3$ 次元の二階のテンソルについて固有方程式...
<tex>
H_{1} = \lambda_{1}+\lambda_{2} +...+\lambda_{n}
</tex>
<tex>
H_{2} = \lambda_{1}\lambda_{2} +...+\lambda_{n-1}\lambda_...
</tex>
<tex>
....................................
</tex>
<tex>
H_{n} = \lambda_{1}\lambda_{2}...\lambda_{n}
</tex>
これらは、固有値を組み合わせた基本対称式だと考えることも...
.. [*] 三階以上のテンソルにも、不変量はあるのでしょうが、...
練習問題
---------------------------------------------------
二階のテンソル $T_{ij}$ で、次の量が座標系不変であること...
1. $(T_{11}+T_{22}+T_{33})^{2}$
2. $T_{ij}T_{ij}$
偏差テンソル
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
二階のテンソルで、 $I_{1}=T_{11}+T_{22}+T_{33}=0$ となる...
<tex>
T_{ij} &= T_{ij} -\frac{1}{3}T_{kk}\delta_{ij}+\frac{1}{3...
&= ( T_{ij} -\frac{1}{3}T_{kk}\delta_{ij})+\frac{1}{3}T_{...
&= D_{ij} +\frac{1}{3}T_{kk}\delta_{ij} \tag{5}
</tex>
このような変形は常に可能で、 $\frac{1}{3}T_{kk}\delta_{ij...
<tex>
D_{11}+D_{22}+D_{33}= T_{ii}-\frac{1}{3}T_{ii}\cdot 3 = 0
</tex>
式 $(5)$ のような式分解は、流体力学に出て来ると思います。...
.. _等方テンソル: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranal...
.. _こちら: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/SymExpre...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-08-25@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: TensorInvariance@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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テンソル不変量
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今までにも何度も強調してきたことですが、テンソルの成分は...
例えばスカラー(零階のテンソル)は常に座標不変量でした。...
二階のテンソル
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
二階のテンソルの不変量は、固有値の固有方程式を考えれば分...
<tex>
\lambda^{3} - (T_{11}+T_{22}+T_{33})\lambda^{2}
+\left(
\left|
\begin{array}{cc}
T_{22} & T_{32} \\
T_{23} & T_{33} \\
\end{array}
\right|
+
\left|
\begin{array}{cc}
T_{11} & T_{21} \\
T_{12} & T_{22} \\
\end{array}
\right|
+
\left|
\begin{array}{cc}
T_{11} & T_{31} \\
T_{13} & T_{33} \\
\end{array}
\right|
\right)
\lambda
-
\left|
\begin{array}{ccc}
T_{11} & T_{12} & T_{13} \\
T_{21} & T_{22} & T_{23} \\
T_{31} & T_{32} & T_{33} \\
\end{array}
\right|
=0 \tag{1}
</tex>
固有値 $\lambda$ はスカラーなので座標変換に対して不変です...
<tex>
I_{1}=T_{11}+T_{22}+T_{33} \tag{2}
</tex>
<tex>
I_{2}=
\left|
\begin{array}{cc}
T_{22} & T_{32} \\
T_{23} & T_{33} \\
\end{array}
\right|
+
\left|
\begin{array}{cc}
T_{11} & T_{21} \\
T_{12} & T_{22} \\
\end{array}
\right|
+
\left|
\begin{array}{cc}
T_{11} & T_{31} \\
T_{13} & T_{33} \\
\end{array}
\right| \tag{3}
</tex>
<tex>
I_{3}=
\left|
\begin{array}{ccc}
T_{11} & T_{12} & T_{13} \\
T_{21} & T_{22} & T_{23} \\
T_{31} & T_{32} & T_{33} \\
\end{array}
\right| \tag{4}
</tex>
これら $I_{1},I_{2},I_{3}$ が二階のテンソル $T_{ij}$ の座...
n次元の場合
----------------------------------------------
さきほどの例は $3$ 次元の二階のテンソルについて固有方程式...
<tex>
H_{1} = \lambda_{1}+\lambda_{2} +...+\lambda_{n}
</tex>
<tex>
H_{2} = \lambda_{1}\lambda_{2} +...+\lambda_{n-1}\lambda_...
</tex>
<tex>
....................................
</tex>
<tex>
H_{n} = \lambda_{1}\lambda_{2}...\lambda_{n}
</tex>
これらは、固有値を組み合わせた基本対称式だと考えることも...
.. [*] 三階以上のテンソルにも、不変量はあるのでしょうが、...
練習問題
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二階のテンソル $T_{ij}$ で、次の量が座標系不変であること...
1. $(T_{11}+T_{22}+T_{33})^{2}$
2. $T_{ij}T_{ij}$
偏差テンソル
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
二階のテンソルで、 $I_{1}=T_{11}+T_{22}+T_{33}=0$ となる...
<tex>
T_{ij} &= T_{ij} -\frac{1}{3}T_{kk}\delta_{ij}+\frac{1}{3...
&= ( T_{ij} -\frac{1}{3}T_{kk}\delta_{ij})+\frac{1}{3}T_{...
&= D_{ij} +\frac{1}{3}T_{kk}\delta_{ij} \tag{5}
</tex>
このような変形は常に可能で、 $\frac{1}{3}T_{kk}\delta_{ij...
<tex>
D_{11}+D_{22}+D_{33}= T_{ii}-\frac{1}{3}T_{ii}\cdot 3 = 0
</tex>
式 $(5)$ のような式分解は、流体力学に出て来ると思います。...
.. _等方テンソル: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranal...
.. _こちら: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/SymExpre...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-08-25@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: TensorInvariance@@
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