記事ソース/テンソルの主軸1
をテンプレートにして作成
査読
rst2hooktail
進行表
執筆中
かぎマニュ
物理のかぎプロジェクト
トップ
最近の更新
ヘルプ
開始行:
#rst2hooktail_source
=======================================
テンソルの主軸1
=======================================
この記事の内容は、応用上、物理や工学で重要だと思います。...
固有値問題
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
一般に、二階のテンソル $T_{ij}$ をベクトル $A_{i}$ に作用...
<tex>
T_{ij}A_{i} = B_{j} \tag{1}
</tex>
.. [*] 一般のアフィン座標を取っても同様の議論は展開できる...
ここで $T_{ij}$ を関数だと見て、 $\bm{B}=T(\bm{A})$ のよ...
色々な $A_{i}$ を試してみると、中にはスカラー $\lambda$ ...
<tex>
T_{ij}A_{i} = \lambda A_{j} \tag{2}
</tex>
式 $(2)$ を行列表記するとと、次のようになります。
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
T_{11} & T_{12} & T_{13} \\
T_{21} & T_{22} & T_{23} \\
T_{31} & T_{32} & T_{33} \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
A_{1} \\
A_{2} \\
A_{3} \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
\lambda & 0 & 0 \\
0 & \lambda & 0 \\
0 & 0 & \lambda \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
A_{1} \\
A_{2} \\
A_{3} \\
\end{array}
\right) \tag{3}
</tex>
式 $(1)(2)$ の意味をもう少し図形的に考えてみましょう。座...
線形代数を勉強した読者の方なら分かると思いますが、二階の...
固有値・固有ベクトル・主方向を求めてみる
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
実際に固有値・固有ベクトル・主方向を求めてみましょう。式 ...
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
T_{11}-\lambda & T_{12} & T_{13} \\
T_{21} & T_{22}-\lambda & T_{23} \\
T_{31} & T_{32} & T_{33}-\lambda \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
A_{1} \\
A_{2} \\
A_{3} \\
\end{array}
\right)
= 0 \tag{4}
</tex>
いま $\bm{A} \ne \bm{0}$ を仮定していますので、式 $(4)$ ...
<tex>
\left|
\begin{array}{ccc}
T_{11}-\lambda & T_{12} & T_{13} \\
T_{21} & T_{22}-\lambda & T_{23} \\
T_{31} & T_{32} & T_{33}-\lambda \\
\end{array}
\right|
&= -\lambda^{3} + (T_{11}+T_{22}+T_{33})\lambda^{2} \\
& \ \ \ +(T_{12}T_{21}+T_{23}T_{32}+T_{31}T_{13}-T_{11}T_...
& \ \ \ + T_{11}T_{22}T_{33}+T_{12}T_{23}T_{31} + T_{13}...
& \ \ \ -T_{11}T_{23}T_{32}-T_{22}T_{13}T_{31}-T_{33}T_{1...
&= 0 \tag{5}
</tex>
式 $(5)$ はテンソル $T_{ij}$ の *固有方程式* もしくは *特...
固有方程式が重解を持たない場合の固有ベクトル
---------------------------------------------------------...
固有方程式は三次方程式ですので、重解を持たない場合、三つ...
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
T_{11}-\lambda_{k} & T_{12} & T_{13} \\
T_{21} & T_{22}-\lambda_{k} & T_{23} \\
T_{31} & T_{32} & T_{33}-\lambda_{k} \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
A_{1}^{(k)} \\
A_{2}^{(k)} \\
A_{3}^{(k)} \\
\end{array}
\right)
= 0 \tag{6}
</tex>
式 $(6)$ より、クラメルの公式を使って $\bm{A^{(k)}}$ の係...
<tex>
\frac{A_{1}^{(1)}}{ \left|
\begin{array}{cc}
T_{22} -\lambda_{1} & T_{33} \\
T_{32} & T_{33} - \lambda_{1} \\
\end{array}
\right| }
=
\frac{A_{2}^{(1)}}{ \left|
\begin{array}{cc}
T_{23} & T_{21} \\
T_{33} - \lambda_{1} & T_{31} \\
\end{array}
\right| }
=
\frac{A_{3}^{(1)}}{ \left|
\begin{array}{cc}
T_{21} & T_{22}-\lambda_{1} \\
T_{31} & T_{32} \\
\end{array}
\right| } \tag{7}
</tex>
<tex>
\frac{A_{1}^{(2)}}{ \left|
\begin{array}{cc}
T_{13} & T_{12} \\
T_{33} - \lambda_{2} & T_{32} \\
\end{array}
\right| }
=
\frac{A_{2}^{(2)}}{ \left|
\begin{array}{cc}
T_{11}-\lambda_{2} & T_{13} \\
T_{31} & T_{33}-\lambda_{2} \\
\end{array}
\right| }
=
\frac{A_{3}^{(2)}}{ \left|
\begin{array}{cc}
T_{12} & T_{11}-\lambda_{2} \\
T_{32} & T_{31} \\
\end{array}
\right| } \tag{8}
</tex>
<tex>
\frac{A_{1}^{(3)}}{ \left|
\begin{array}{cc}
T_{12} & T_{13} \\
T_{22}-\lambda_{3} & T_{23} \\
\end{array}
\right| }
=
\frac{A_{2}^{(3)}}{ \left|
\begin{array}{cc}
T_{13} & T_{11}-\lambda_{3} \\
T_{23} & T_{21} \\
\end{array}
\right| }
=
\frac{A_{3}^{(3)}}{ \left|
\begin{array}{cc}
T_{11}-\lambda_{3} & T_{12} \\
T_{21} & T_{22}-\lambda_{3} \\
\end{array}
\right| } \tag{9}
</tex>
これらは固有値 $\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}$ に対...
<tex>
\vspace{3mm}
\left(
\begin{array}{c}
{\left|
\begin{array}{cc}
T_{22} -\lambda_{1} & T_{33} \\
T_{32} & T_{33} - \lambda_{1} \\
\end{array}
\right| } \\
\vspace{3mm} \\
{ \left|
\begin{array}{cc}
T_{23} & T_{21} \\
T_{33} - \lambda_{1} & T_{31} \\
\end{array}
\right| } \\
\vspace{3mm} \\
{ \left|
\begin{array}{cc}
T_{21} & T_{22}-\lambda_{1} \\
T_{31} & T_{32} \\
\end{array}
\right| }
\end{array}
\right) , \ \ \ \ \
\left(
\begin{array}{c}
{ \left|
\begin{array}{cc}
T_{13} & T_{12} \\
T_{33} - \lambda_{2} & T_{32} \\
\end{array}
\right| } \\
\vspace{3mm} \\
{ \left|
\begin{array}{cc}
T_{11}-\lambda_{2} & T_{13} \\
T_{31} & T_{33}-\lambda_{2} \\
\end{array}
\right| } \\
\vspace{3mm} \\
{ \left|
\begin{array}{cc}
T_{12} & T_{11}-\lambda_{2} \\
T_{32} & T_{31} \\
\end{array}
\right| }
\end{array}
\right) , \ \ \ \ \
\left(
\begin{array}{c}
{ \left|
\begin{array}{cc}
T_{12} & T_{13} \\
T_{22}-\lambda_{3} & T_{23} \\
\end{array}
\right| } \\
\vspace{3mm} \\
{ \left|
\begin{array}{cc}
T_{13} & T_{11}-\lambda_{3} \\
T_{23} & T_{21} \\
\end{array}
\right| } \\
\vspace{3mm} \\
{ \left|
\begin{array}{cc}
T_{11}-\lambda_{3} & T_{12} \\
T_{21} & T_{22}-\lambda_{3} \\
\end{array}
\right| }
\end{array}
\right)
</tex>
一般のアフィン座標系の場合
---------------------------------------------------------...
一般のアフィン座標系の場合、テンソルと固有値、固有ベクト...
<tex>
T_{ij}A^{i} = \lambda A_{j} \tag{10}
</tex>
右辺の $A_{j}$ を $A_{j}=g_{ji}A^{i}$ と置いて反変成分に...
<tex>
(T_{ij} -\lambda g_{ji})A^{j} = 0 \tag{11}
</tex>
ここから $\lambda$ を決めるために ${\rm det}|T_{ij} -\lam...
<tex>
g^{li}(T_{ij} -\lambda g_{ji})A^{i} = (T_{.j}^{l} -\lambd...
</tex>
ここから得られる固有方程式は、形式的に式 $(5)$ と同じです...
<tex>
\left|
\begin{array}{ccc}
T_{.1}^{1}-\lambda & T_{.2}^{1} & T_{.3}^{1} \\
T_{.1}^{2} & T_{.2}^{2}-\lambda & T_{.3}^{2} \\
T_{.1}^{3} & T_{.2}^{3} & T_{.3}^{3}-\lambda \\
\end{array}
\right| =0 \tag{12}
</tex>
( テンソルの主軸2_ に続きます。)
.. _テンソルの主軸2: http://www12.plala.or.jp/ksp/vector...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-08-25@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: TensorPrincipalAxis1@@
終了行:
#rst2hooktail_source
=======================================
テンソルの主軸1
=======================================
この記事の内容は、応用上、物理や工学で重要だと思います。...
固有値問題
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
一般に、二階のテンソル $T_{ij}$ をベクトル $A_{i}$ に作用...
<tex>
T_{ij}A_{i} = B_{j} \tag{1}
</tex>
.. [*] 一般のアフィン座標を取っても同様の議論は展開できる...
ここで $T_{ij}$ を関数だと見て、 $\bm{B}=T(\bm{A})$ のよ...
色々な $A_{i}$ を試してみると、中にはスカラー $\lambda$ ...
<tex>
T_{ij}A_{i} = \lambda A_{j} \tag{2}
</tex>
式 $(2)$ を行列表記するとと、次のようになります。
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
T_{11} & T_{12} & T_{13} \\
T_{21} & T_{22} & T_{23} \\
T_{31} & T_{32} & T_{33} \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
A_{1} \\
A_{2} \\
A_{3} \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
\lambda & 0 & 0 \\
0 & \lambda & 0 \\
0 & 0 & \lambda \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
A_{1} \\
A_{2} \\
A_{3} \\
\end{array}
\right) \tag{3}
</tex>
式 $(1)(2)$ の意味をもう少し図形的に考えてみましょう。座...
線形代数を勉強した読者の方なら分かると思いますが、二階の...
固有値・固有ベクトル・主方向を求めてみる
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
実際に固有値・固有ベクトル・主方向を求めてみましょう。式 ...
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
T_{11}-\lambda & T_{12} & T_{13} \\
T_{21} & T_{22}-\lambda & T_{23} \\
T_{31} & T_{32} & T_{33}-\lambda \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
A_{1} \\
A_{2} \\
A_{3} \\
\end{array}
\right)
= 0 \tag{4}
</tex>
いま $\bm{A} \ne \bm{0}$ を仮定していますので、式 $(4)$ ...
<tex>
\left|
\begin{array}{ccc}
T_{11}-\lambda & T_{12} & T_{13} \\
T_{21} & T_{22}-\lambda & T_{23} \\
T_{31} & T_{32} & T_{33}-\lambda \\
\end{array}
\right|
&= -\lambda^{3} + (T_{11}+T_{22}+T_{33})\lambda^{2} \\
& \ \ \ +(T_{12}T_{21}+T_{23}T_{32}+T_{31}T_{13}-T_{11}T_...
& \ \ \ + T_{11}T_{22}T_{33}+T_{12}T_{23}T_{31} + T_{13}...
& \ \ \ -T_{11}T_{23}T_{32}-T_{22}T_{13}T_{31}-T_{33}T_{1...
&= 0 \tag{5}
</tex>
式 $(5)$ はテンソル $T_{ij}$ の *固有方程式* もしくは *特...
固有方程式が重解を持たない場合の固有ベクトル
---------------------------------------------------------...
固有方程式は三次方程式ですので、重解を持たない場合、三つ...
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
T_{11}-\lambda_{k} & T_{12} & T_{13} \\
T_{21} & T_{22}-\lambda_{k} & T_{23} \\
T_{31} & T_{32} & T_{33}-\lambda_{k} \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
A_{1}^{(k)} \\
A_{2}^{(k)} \\
A_{3}^{(k)} \\
\end{array}
\right)
= 0 \tag{6}
</tex>
式 $(6)$ より、クラメルの公式を使って $\bm{A^{(k)}}$ の係...
<tex>
\frac{A_{1}^{(1)}}{ \left|
\begin{array}{cc}
T_{22} -\lambda_{1} & T_{33} \\
T_{32} & T_{33} - \lambda_{1} \\
\end{array}
\right| }
=
\frac{A_{2}^{(1)}}{ \left|
\begin{array}{cc}
T_{23} & T_{21} \\
T_{33} - \lambda_{1} & T_{31} \\
\end{array}
\right| }
=
\frac{A_{3}^{(1)}}{ \left|
\begin{array}{cc}
T_{21} & T_{22}-\lambda_{1} \\
T_{31} & T_{32} \\
\end{array}
\right| } \tag{7}
</tex>
<tex>
\frac{A_{1}^{(2)}}{ \left|
\begin{array}{cc}
T_{13} & T_{12} \\
T_{33} - \lambda_{2} & T_{32} \\
\end{array}
\right| }
=
\frac{A_{2}^{(2)}}{ \left|
\begin{array}{cc}
T_{11}-\lambda_{2} & T_{13} \\
T_{31} & T_{33}-\lambda_{2} \\
\end{array}
\right| }
=
\frac{A_{3}^{(2)}}{ \left|
\begin{array}{cc}
T_{12} & T_{11}-\lambda_{2} \\
T_{32} & T_{31} \\
\end{array}
\right| } \tag{8}
</tex>
<tex>
\frac{A_{1}^{(3)}}{ \left|
\begin{array}{cc}
T_{12} & T_{13} \\
T_{22}-\lambda_{3} & T_{23} \\
\end{array}
\right| }
=
\frac{A_{2}^{(3)}}{ \left|
\begin{array}{cc}
T_{13} & T_{11}-\lambda_{3} \\
T_{23} & T_{21} \\
\end{array}
\right| }
=
\frac{A_{3}^{(3)}}{ \left|
\begin{array}{cc}
T_{11}-\lambda_{3} & T_{12} \\
T_{21} & T_{22}-\lambda_{3} \\
\end{array}
\right| } \tag{9}
</tex>
これらは固有値 $\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}$ に対...
<tex>
\vspace{3mm}
\left(
\begin{array}{c}
{\left|
\begin{array}{cc}
T_{22} -\lambda_{1} & T_{33} \\
T_{32} & T_{33} - \lambda_{1} \\
\end{array}
\right| } \\
\vspace{3mm} \\
{ \left|
\begin{array}{cc}
T_{23} & T_{21} \\
T_{33} - \lambda_{1} & T_{31} \\
\end{array}
\right| } \\
\vspace{3mm} \\
{ \left|
\begin{array}{cc}
T_{21} & T_{22}-\lambda_{1} \\
T_{31} & T_{32} \\
\end{array}
\right| }
\end{array}
\right) , \ \ \ \ \
\left(
\begin{array}{c}
{ \left|
\begin{array}{cc}
T_{13} & T_{12} \\
T_{33} - \lambda_{2} & T_{32} \\
\end{array}
\right| } \\
\vspace{3mm} \\
{ \left|
\begin{array}{cc}
T_{11}-\lambda_{2} & T_{13} \\
T_{31} & T_{33}-\lambda_{2} \\
\end{array}
\right| } \\
\vspace{3mm} \\
{ \left|
\begin{array}{cc}
T_{12} & T_{11}-\lambda_{2} \\
T_{32} & T_{31} \\
\end{array}
\right| }
\end{array}
\right) , \ \ \ \ \
\left(
\begin{array}{c}
{ \left|
\begin{array}{cc}
T_{12} & T_{13} \\
T_{22}-\lambda_{3} & T_{23} \\
\end{array}
\right| } \\
\vspace{3mm} \\
{ \left|
\begin{array}{cc}
T_{13} & T_{11}-\lambda_{3} \\
T_{23} & T_{21} \\
\end{array}
\right| } \\
\vspace{3mm} \\
{ \left|
\begin{array}{cc}
T_{11}-\lambda_{3} & T_{12} \\
T_{21} & T_{22}-\lambda_{3} \\
\end{array}
\right| }
\end{array}
\right)
</tex>
一般のアフィン座標系の場合
---------------------------------------------------------...
一般のアフィン座標系の場合、テンソルと固有値、固有ベクト...
<tex>
T_{ij}A^{i} = \lambda A_{j} \tag{10}
</tex>
右辺の $A_{j}$ を $A_{j}=g_{ji}A^{i}$ と置いて反変成分に...
<tex>
(T_{ij} -\lambda g_{ji})A^{j} = 0 \tag{11}
</tex>
ここから $\lambda$ を決めるために ${\rm det}|T_{ij} -\lam...
<tex>
g^{li}(T_{ij} -\lambda g_{ji})A^{i} = (T_{.j}^{l} -\lambd...
</tex>
ここから得られる固有方程式は、形式的に式 $(5)$ と同じです...
<tex>
\left|
\begin{array}{ccc}
T_{.1}^{1}-\lambda & T_{.2}^{1} & T_{.3}^{1} \\
T_{.1}^{2} & T_{.2}^{2}-\lambda & T_{.3}^{2} \\
T_{.1}^{3} & T_{.2}^{3} & T_{.3}^{3}-\lambda \\
\end{array}
\right| =0 \tag{12}
</tex>
( テンソルの主軸2_ に続きます。)
.. _テンソルの主軸2: http://www12.plala.or.jp/ksp/vector...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-08-25@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: TensorPrincipalAxis1@@
ページ名:
Modified by
物理のかぎプロジェクト
PukiWiki 1.4.6
Copyright © 2001-2005
PukiWiki Developers Team
. License is
GPL
.
Based on "PukiWiki" 1.3 by
yu-ji
Powered by PHP 5.3.29 HTML convert time to 0.003 sec.