記事ソース/スペクトル分解(点スペクトルと連続スペクトル)
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=========================================================...
スペクトル分解(点スペクトルと連続スペクトル)
=========================================================...
スペクトル分解という概念について、話します。
最初に注意しておきますが、かなりおおざっぱな話をします。
今後、分かったら詳細に更新していくつもりです。
点スペクトル
======================
エルミート演算子( $\hat{T}^\dagger = \hat{T}$ を満たす)...
その固有状態は直交するのでした。
<tex>
\hat{T} | \lambda \rangle = \lambda | \lambda \rangle
\tag{##}
</tex>
を考えます。ここで、点スペクトルとは、普通の固有値です。
具体例として、パウリ行列 $\sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & ...
<tex>
\sigma_z | \lambda \rangle = \lambda | \lambda \rangle
\tag{##}
</tex>
固有ベクトルは、
<tex>
| \uparrow \rangle =
\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix} \\
| \downarrow \rangle =
\begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix} \\
\tag{##}
</tex>
ですね。ここでスペクトル分解はこの場合、
恒等演算子 $I$ と $\sigma_z$ とすると、これらは固有ベクト...
<tex>
I &= | \uparrow \rangle \langle \uparrow | + | \downarrow...
\sigma_z
&= \lambda_\uparrow | \uparrow \rangle \langle \uparrow |...
&= | \uparrow \rangle \langle \uparrow | - | \downarrow \...
\tag{##}
</tex>
となります。この様に、全ての固有値 $\lambda$ に対応するプ...
連続スペクトル
===================
この概念はちょっと分かりにくかったです。具体例としては、...
<tex>
\hat{x} | x \rangle = x | x \rangle
\tag{##}
</tex>
これは、どの $x$ に対してもそれに対応した固有ベクトル $\l...
この場合、スペクトル分解は、測度 $d \lambda$ がちょっとこ...
<tex>
I &= \int d \lambda | x_\lambda \rangle \langle x_\lambda...
\hat{x} &= \int d \lambda x_\lambda | x_\lambda \rangle \...
\tag{##}
</tex>
となります。一個目は見慣れてらっしゃいますかね?
二個目ちょっと調べておきましょう。 $| x^\prime \rangle$ ...
<tex>
\hat{x}| x^\prime \rangle
&= \int d \lambda x_\lambda | x_\lambda \rangle \langle x...
&= \int d \lambda x_\lambda | x_\lambda \rangle \delta( x...
&= x^\prime | x^\prime \rangle
\tag{##}
</tex>
確かに $| x^\prime \rangle$ に作用させると、 $x^\prime$ ...
有限深さの井戸型ポテンシャル
================================
ここで、両方が混在する話として、有限深さの井戸型ポテンシ...
ポテンシャルを次の様にしておきます。
<tex>
V(x) =
\begin{cases}
0 \ \ \ \ (|x| \leq L ) \\
V_0 \ \ \ \ (|x| \geq L )
\end{cases}
\tag{##}
</tex>
これはご存知の様に、ハミルトニアンの固有値 $E=V_0$ を境に、
その下では束縛状態をなる離散スペクトル(点スペクトル)、...
この場合のスペクトル分解は、
<tex>
I &= \sum_i | \psi_i \rangle \langle \psi_i | + \int d \l...
\hat{H} &= \sum_i E_i | \psi_i \rangle \langle \psi_i | +...
\tag{##}
</tex>
となります。これは、例えば波動関数 $| \psi \rangle$ のエ...
<tex>
\langle \psi |I| \psi \rangle &= \sum_i | \langle \psi_i ...
\langle \psi |\hat{H}| \psi \rangle &= \sum_i E_i | \lang...
\tag{##}
</tex>
となります。 $\langle E \rangle$ は状態 $| \psi \rangle$ ...
最後にグリーン関数
========================
今回の調査で気になったことを最後に書いておきます。
時間依存しないシュレーディンガー方程式は、
<tex>
\hat{H} | E_i \rangle = E_i | E_i \rangle \tag{##}
</tex>
となりますね。この場合グリーン関数は、
<tex>
G = \sum_i \dfrac{| E_i \rangle \langle E_i |}{\hat{H}-E_...
\tag{##}
</tex>
になるんですね。これの確認は、
<tex>
\langle x |(\hat{H}-E) G | x^\prime \rangle
&= \langle x | I | x^\prime \rangle \\
&= \langle x | x^\prime \rangle \\
&= \delta(x-x^\prime)
\tag{##}
</tex>
となり、 $G(x,x^\prime) = \langle x | G | x^\prime \rangl...
確かに演算子 $\hat{H}-E$ を演算させるとデルタ関数になると...
これはグリーン関数です。
結局、今回分かったことは、
エルミート演算子はその固有関数のプロジェクション $| \lamb...
そのプロジェクション自体は幾分抽象的なもので、具体的な考...
今日はここまで。お疲れさまでした!
@@author:クロメル@@
@@accept:2020-06-15@@
@@category:量子力学@@
@@id:spectrum@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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スペクトル分解(点スペクトルと連続スペクトル)
=========================================================...
スペクトル分解という概念について、話します。
最初に注意しておきますが、かなりおおざっぱな話をします。
今後、分かったら詳細に更新していくつもりです。
点スペクトル
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エルミート演算子( $\hat{T}^\dagger = \hat{T}$ を満たす)...
その固有状態は直交するのでした。
<tex>
\hat{T} | \lambda \rangle = \lambda | \lambda \rangle
\tag{##}
</tex>
を考えます。ここで、点スペクトルとは、普通の固有値です。
具体例として、パウリ行列 $\sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & ...
<tex>
\sigma_z | \lambda \rangle = \lambda | \lambda \rangle
\tag{##}
</tex>
固有ベクトルは、
<tex>
| \uparrow \rangle =
\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix} \\
| \downarrow \rangle =
\begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix} \\
\tag{##}
</tex>
ですね。ここでスペクトル分解はこの場合、
恒等演算子 $I$ と $\sigma_z$ とすると、これらは固有ベクト...
<tex>
I &= | \uparrow \rangle \langle \uparrow | + | \downarrow...
\sigma_z
&= \lambda_\uparrow | \uparrow \rangle \langle \uparrow |...
&= | \uparrow \rangle \langle \uparrow | - | \downarrow \...
\tag{##}
</tex>
となります。この様に、全ての固有値 $\lambda$ に対応するプ...
連続スペクトル
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この概念はちょっと分かりにくかったです。具体例としては、...
<tex>
\hat{x} | x \rangle = x | x \rangle
\tag{##}
</tex>
これは、どの $x$ に対してもそれに対応した固有ベクトル $\l...
この場合、スペクトル分解は、測度 $d \lambda$ がちょっとこ...
<tex>
I &= \int d \lambda | x_\lambda \rangle \langle x_\lambda...
\hat{x} &= \int d \lambda x_\lambda | x_\lambda \rangle \...
\tag{##}
</tex>
となります。一個目は見慣れてらっしゃいますかね?
二個目ちょっと調べておきましょう。 $| x^\prime \rangle$ ...
<tex>
\hat{x}| x^\prime \rangle
&= \int d \lambda x_\lambda | x_\lambda \rangle \langle x...
&= \int d \lambda x_\lambda | x_\lambda \rangle \delta( x...
&= x^\prime | x^\prime \rangle
\tag{##}
</tex>
確かに $| x^\prime \rangle$ に作用させると、 $x^\prime$ ...
有限深さの井戸型ポテンシャル
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ここで、両方が混在する話として、有限深さの井戸型ポテンシ...
ポテンシャルを次の様にしておきます。
<tex>
V(x) =
\begin{cases}
0 \ \ \ \ (|x| \leq L ) \\
V_0 \ \ \ \ (|x| \geq L )
\end{cases}
\tag{##}
</tex>
これはご存知の様に、ハミルトニアンの固有値 $E=V_0$ を境に、
その下では束縛状態をなる離散スペクトル(点スペクトル)、...
この場合のスペクトル分解は、
<tex>
I &= \sum_i | \psi_i \rangle \langle \psi_i | + \int d \l...
\hat{H} &= \sum_i E_i | \psi_i \rangle \langle \psi_i | +...
\tag{##}
</tex>
となります。これは、例えば波動関数 $| \psi \rangle$ のエ...
<tex>
\langle \psi |I| \psi \rangle &= \sum_i | \langle \psi_i ...
\langle \psi |\hat{H}| \psi \rangle &= \sum_i E_i | \lang...
\tag{##}
</tex>
となります。 $\langle E \rangle$ は状態 $| \psi \rangle$ ...
最後にグリーン関数
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今回の調査で気になったことを最後に書いておきます。
時間依存しないシュレーディンガー方程式は、
<tex>
\hat{H} | E_i \rangle = E_i | E_i \rangle \tag{##}
</tex>
となりますね。この場合グリーン関数は、
<tex>
G = \sum_i \dfrac{| E_i \rangle \langle E_i |}{\hat{H}-E_...
\tag{##}
</tex>
になるんですね。これの確認は、
<tex>
\langle x |(\hat{H}-E) G | x^\prime \rangle
&= \langle x | I | x^\prime \rangle \\
&= \langle x | x^\prime \rangle \\
&= \delta(x-x^\prime)
\tag{##}
</tex>
となり、 $G(x,x^\prime) = \langle x | G | x^\prime \rangl...
確かに演算子 $\hat{H}-E$ を演算させるとデルタ関数になると...
これはグリーン関数です。
結局、今回分かったことは、
エルミート演算子はその固有関数のプロジェクション $| \lamb...
そのプロジェクション自体は幾分抽象的なもので、具体的な考...
今日はここまで。お疲れさまでした!
@@author:クロメル@@
@@accept:2020-06-15@@
@@category:量子力学@@
@@id:spectrum@@
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