物理のかぎプロジェクト

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#rst2hooktail_source =========================================================... スピン軌道相互作用 =========================================================... 今回は要点を押さえていないと、理解が難しいと思われる スピン軌道相互作用について解説します。 LS多重項 ====================== まずは、LS多重項について考えましょう。原子核の周りには軌... 例えば、 $p$ 軌道は $l = 1, s = 1/2$ を持ちます。 $p^2$ ... （ $p$ 軌道に二つ電子が詰まった状態）について考えます。 すると、軌道に関しては $l_z = 1, 0, -1$ の三通り、それぞ... の二通りありますから、結局、軌道は $6$ 種類あります。 $p^... 15通りあることになります。電子の入る二つの軌道を $1,2$ と... ので、 $(l_z^1 s_z^1, l_z^2s_z^2)=(A,B)$ と $(B,A)$ は同... それぞれ「合成軌道角運動量」と「合成スピン角運動量」の $z... <tex> 1. &(l_z^1 s_z^1, l_z^2s_z^2) = (1\uparrow,1\downarrow) \... 2. &(l_z^1 s_z^1, l_z^2s_z^2) = (1\uparrow,0\uparrow) \to... 3. &(l_z^1 s_z^1, l_z^2s_z^2) = (1\uparrow,0\downarrow) \... 4. &(l_z^1 s_z^1, l_z^2s_z^2) = (1\uparrow,-1\uparrow) \t... 5. &(l_z^1 s_z^1, l_z^2s_z^2) = (1\uparrow,-1\downarrow) ... 6. &(l_z^1 s_z^1, l_z^2s_z^2) = (1\downarrow,0\uparrow) \... 7. &(l_z^1 s_z^1, l_z^2s_z^2) = (1\downarrow,0\downarrow)... 8. &(l_z^1 s_z^1, l_z^2s_z^2) = (1\downarrow,-1\uparrow) ... 9. &(l_z^1 s_z^1, l_z^2s_z^2) = (1\downarrow,-1\downarrow... 10. &(l_z^1 s_z^1, l_z^2s_z^2) = (0\uparrow,0\downarrow) ... 11. &(l_z^1 s_z^1, l_z^2s_z^2) = (0\uparrow,-1\uparrow) \... 12. &(l_z^1 s_z^1, l_z^2s_z^2) = (0\uparrow,-1\downarrow)... 13. &(l_z^1 s_z^1, l_z^2s_z^2) = (0\downarrow,-1\uparrow)... 14. &(l_z^1 s_z^1, l_z^2s_z^2) = (0\downarrow,-1\downarro... 15. &(l_z^1 s_z^1, l_z^2s_z^2) = (-1\uparrow,-1\downarrow... </tex> これらの線形結合で、 $^1D$ の５個、 $^3P$ の９個、 $^1S$ ... この記法では、 $(L,S)$ をラベルするのに $L=0,1,2,3,\cdots... スピンは左肩に $S=0,1/2,1,3/2,2,\cdots$ に対して、 $2S+1 ... 書いて、 $^{2S+1}L$ と書いたのです。 つまり、 $^1D$ は $L = 2 \ \ (L_z = 2,1,0,-1,-2)$ で $S ... ５状態、 $^3P$ は $L = 1 \ \ (L_z = 1,0,-1)$ で $S = 1 \... ９状態、 $^1S$ は $L = 0 \ \ (L_z = 0)$ で $S = 0 \ \ (S... １状態を表します。 注意することは、 $^1D,^3P,^1S$ に含まれる１５状態は、 直接式 $(1)$ と対応しておらず、同じ $(L_z,S_z)$ を持つ状... になっているということです。この辺の事情は詳しくは拙記事 ... この $^1D,^3P,^1S$ の状態の内最もエネルギーの小さいものは... それにこたえるのが、次小節「フントの規則」です。 フントの規則 ====================== さて、LS多重項の最低エネルギーを見つける経験則がフントの... (第一優先) まず、全スピン $S$ を最大にする (第二優先) 次に全軌道角運動量 $L$ を最大にする となります。この場合、スピンが最大のものが第一優先ですか... これが最低エネルギーのLS多重項となります。 スピン軌道相互作用 ============================= ここで衝撃的な事実を発表します。1つの軌道に1電子を入れる... 安心してください。これは矛盾しません。フントの規則を１粒... ということはです。フントの規則で決めたLS多重項はさらに軌... <tex> \mathcal{H}_{LS} = \sum_{i} \xi \bm{l}_i \cdot \bm{s}_i =... </tex> 何気なく $\lambda$ と書きましたが、これは $\bm{L}$ と $\b... つまり、 $^1D$ の５状態内の比較なら $\lambda$ は意味を持... 今、二つのベクトルの内どちらかの向きに $z$ 軸を取ることに... <tex> \mathcal{H}_{LS} = \xi \sum_{i} l_z^i s_z^i = \lambda L_... </tex> と考えやすくなります。 d軌道についてのスピン軌道相互作用 ======================================= さて、具体例で考えましょう。 $d$ 軌道に $1 \sim 10$ 個の... その際の電子の詰め方は、フントの規則に従います。LS多重項... 参考までに、詰めていく途中で下のような状態を経ることを図... .. image :: chromel-spinOrbitInteraction-01.png 図１：軌道に電子をフントの規則に従って詰めていく 実際、詰めていきましょう。まず、１つ目の電子 は、 $l_z = 2 \ or \ -2 (L_z = 2 \ or \ -2)$ のそれぞれに... があり得るわけですが、 $xy$ 平面対称なので、ここでは専ら ... 式 $(3):\mathcal{H}_{LS} = \xi \sum_{i} l_z^i s_z^i = \l... <tex> (n=1) \ \xi \cdot 2 \cdot -1/2 = \lambda \cdot 2 \cdot -1... </tex> よって、１つの電子( $n=1$ )の時、 <tex> \xi = \lambda \tag{##} </tex> 同様に $n=2,3,4,5$ までは、 式 $(3)$ の中辺は、 <tex> \xi \sum_{i} l_z^i s_z^i = \xi \left( \sum_{i} l_z^i \ri... </tex> 一方、式 $(3)$ の右辺は、 <tex> \lambda L_z S_z = - \dfrac{\lambda n}{2}L_z \tag{##} </tex> これらが等しいので、 <tex> \lambda = \dfrac{\xi}{n} \tag{##} </tex> が言えます。実際の計算は、図１の順番で <tex> (n=2) \ \xi \cdot 3 \cdot -1/2 = \lambda \cdot 3 \cdot -2... (n=3) \ \xi \cdot 3 \cdot -1/2 = \lambda \cdot 3 \cdot -3... (n=4) \ \xi \cdot 2 \cdot -1/2 = \lambda \cdot 2 \cdot -4... (n=5) \ \xi \cdot 0 \cdot -1/2 = \lambda \cdot 3 \cdot -5... </tex> そして、更に $n=6,7,8,9,10$ だと、 <tex> S_z = -5/2 + (n-5) \cdot 1/2 = \dfrac{n-10}{2} \tag{##} </tex> となりますから、 式 $(3)$ の中辺は、 <tex> \xi \sum_{i} l_z^i s_z^i &= \xi \left( \left( 2+1+0-1-2 ... &= \xi \left( \sum_{i \geq 6} l_z^i \right) \cdot 1/2 \\ &= \dfrac{\xi}{2} L_z \tag{##} </tex> 一方、式 $(3)$ の右辺は、 <tex> \lambda L_z S_z = \lambda \dfrac{n-10}{2} L_z \tag{##} </tex> これらが等しいので、 <tex> \lambda = -\dfrac{\xi}{10-n} \tag{##} </tex> が言えます。 実際書いてみると、 <tex> (n=6) \ \xi \cdot 2 \cdot -1/2 = \lambda \cdot 2 \cdot -4... (n=7) \ \xi \cdot 3 \cdot -1/2 = \lambda \cdot 3 \cdot -3... (n=8) \ \xi \cdot 3 \cdot -1/2 = \lambda \cdot 3 \cdot -2... (n=9) \ \xi \cdot 2 \cdot -1/2 = \lambda \cdot 2 \cdot -1... (n=10) \ \xi \cdot 0 \cdot -1/2 = \lambda \cdot 0 \cdot 0... </tex> となります。 まとめると、 <tex> \lambda: \xi \to \xi/2 \to \xi/3 \to \xi/4 \to 0 \to -\xi... </tex> と変化します。 J多重項と最低エネルギー ============================ 面白いのはここからです。 $n=1,2,3,4$ の時、 $\lambda > 0$... 軌道角運動量とスピンは反平行（真逆の向き）で最低エネルギ... よって $n=1$ は、 $L=2,S=1/2$ だから、 $^2D$ までは確定で... さらにもっとも反平行に近い角運動量の位置は、 $L_z = 2, S_... <tex> \mathcal{H}_{LS} = \xi \cdot 2 \cdot -1/2 = -\xi \tag{##} </tex> となります。この時、ベクトルの足し算 <tex> \bm{J} = \bm{L}+\bm{S} \tag{##} </tex> で全角運動量 $\bm{J}$ を導入します。ここで、その大きさ $J... <tex> J = |L-S|, |L-S|+1, \cdots L+S \tag{##} </tex> を取ります。フントの規則に従った最低エネルギー状態、LS多... 今、つまり $n=1$ の時は、 $^2D_{5/2}$ , $^2D_{3/2}$ があ... 一番反平行なのは、 $J=2-1/2=3/2$ だから、 $^2D_{3/2}$ で... 次に $n=2$ の時です。 $L=3,S=1$ で $^3F$ が確定。(ここで... さっき同様に取れる $J$ は $J=3-1,3,3+1$ より、 $^3F_2,^3F... 一番反平行なのは、 $^3F_2$ です。 この時、 <tex> \mathcal{H}_{LS} = (\xi/2) \cdot 3 \cdot -2/2 = -\dfrac{3... </tex> となります。同様に式 $(15)$ の方式でJ多重項と $\mathcal{H... <tex> J multiplet: ^2D_{3/2} \to ^3F_{2} \to ^4F_{3/2} \to ^5... </tex> で、 <tex> \mathcal{H}_{LS} : -\xi \to -\dfrac{3}{2} \xi \to -\dfrac... </tex> となります。文字通りスピン軌道相互作用とは、全スピンと全... 今日はこの辺で、お疲れさまでした！ .. _LS多重項: http://hooktail.sub.jp/quantum/LSMultiplet/ @@reference: 佐藤憲昭 三宅和正,磁性と超伝導の物理,名古屋... @@author:クロメル@@ @@accept:2019-12-19@@ @@category:量子力学@@ @@id:spinOrbitInteraction@@

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#rst2hooktail_source =========================================================... スピン軌道相互作用 =========================================================... 今回は要点を押さえていないと、理解が難しいと思われる スピン軌道相互作用について解説します。 LS多重項 ====================== まずは、LS多重項について考えましょう。原子核の周りには軌... 例えば、 $p$ 軌道は $l = 1, s = 1/2$ を持ちます。 $p^2$ ... （ $p$ 軌道に二つ電子が詰まった状態）について考えます。 すると、軌道に関しては $l_z = 1, 0, -1$ の三通り、それぞ... の二通りありますから、結局、軌道は $6$ 種類あります。 $p^... 15通りあることになります。電子の入る二つの軌道を $1,2$ と... ので、 $(l_z^1 s_z^1, l_z^2s_z^2)=(A,B)$ と $(B,A)$ は同... それぞれ「合成軌道角運動量」と「合成スピン角運動量」の $z... <tex> 1. &(l_z^1 s_z^1, l_z^2s_z^2) = (1\uparrow,1\downarrow) \... 2. &(l_z^1 s_z^1, l_z^2s_z^2) = (1\uparrow,0\uparrow) \to... 3. &(l_z^1 s_z^1, l_z^2s_z^2) = (1\uparrow,0\downarrow) \... 4. &(l_z^1 s_z^1, l_z^2s_z^2) = (1\uparrow,-1\uparrow) \t... 5. &(l_z^1 s_z^1, l_z^2s_z^2) = (1\uparrow,-1\downarrow) ... 6. &(l_z^1 s_z^1, l_z^2s_z^2) = (1\downarrow,0\uparrow) \... 7. &(l_z^1 s_z^1, l_z^2s_z^2) = (1\downarrow,0\downarrow)... 8. &(l_z^1 s_z^1, l_z^2s_z^2) = (1\downarrow,-1\uparrow) ... 9. &(l_z^1 s_z^1, l_z^2s_z^2) = (1\downarrow,-1\downarrow... 10. &(l_z^1 s_z^1, l_z^2s_z^2) = (0\uparrow,0\downarrow) ... 11. &(l_z^1 s_z^1, l_z^2s_z^2) = (0\uparrow,-1\uparrow) \... 12. &(l_z^1 s_z^1, l_z^2s_z^2) = (0\uparrow,-1\downarrow)... 13. &(l_z^1 s_z^1, l_z^2s_z^2) = (0\downarrow,-1\uparrow)... 14. &(l_z^1 s_z^1, l_z^2s_z^2) = (0\downarrow,-1\downarro... 15. &(l_z^1 s_z^1, l_z^2s_z^2) = (-1\uparrow,-1\downarrow... </tex> これらの線形結合で、 $^1D$ の５個、 $^3P$ の９個、 $^1S$ ... この記法では、 $(L,S)$ をラベルするのに $L=0,1,2,3,\cdots... スピンは左肩に $S=0,1/2,1,3/2,2,\cdots$ に対して、 $2S+1 ... 書いて、 $^{2S+1}L$ と書いたのです。 つまり、 $^1D$ は $L = 2 \ \ (L_z = 2,1,0,-1,-2)$ で $S ... ５状態、 $^3P$ は $L = 1 \ \ (L_z = 1,0,-1)$ で $S = 1 \... ９状態、 $^1S$ は $L = 0 \ \ (L_z = 0)$ で $S = 0 \ \ (S... １状態を表します。 注意することは、 $^1D,^3P,^1S$ に含まれる１５状態は、 直接式 $(1)$ と対応しておらず、同じ $(L_z,S_z)$ を持つ状... になっているということです。この辺の事情は詳しくは拙記事 ... この $^1D,^3P,^1S$ の状態の内最もエネルギーの小さいものは... それにこたえるのが、次小節「フントの規則」です。 フントの規則 ====================== さて、LS多重項の最低エネルギーを見つける経験則がフントの... (第一優先) まず、全スピン $S$ を最大にする (第二優先) 次に全軌道角運動量 $L$ を最大にする となります。この場合、スピンが最大のものが第一優先ですか... これが最低エネルギーのLS多重項となります。 スピン軌道相互作用 ============================= ここで衝撃的な事実を発表します。1つの軌道に1電子を入れる... 安心してください。これは矛盾しません。フントの規則を１粒... ということはです。フントの規則で決めたLS多重項はさらに軌... <tex> \mathcal{H}_{LS} = \sum_{i} \xi \bm{l}_i \cdot \bm{s}_i =... </tex> 何気なく $\lambda$ と書きましたが、これは $\bm{L}$ と $\b... つまり、 $^1D$ の５状態内の比較なら $\lambda$ は意味を持... 今、二つのベクトルの内どちらかの向きに $z$ 軸を取ることに... <tex> \mathcal{H}_{LS} = \xi \sum_{i} l_z^i s_z^i = \lambda L_... </tex> と考えやすくなります。 d軌道についてのスピン軌道相互作用 ======================================= さて、具体例で考えましょう。 $d$ 軌道に $1 \sim 10$ 個の... その際の電子の詰め方は、フントの規則に従います。LS多重項... 参考までに、詰めていく途中で下のような状態を経ることを図... .. image :: chromel-spinOrbitInteraction-01.png 図１：軌道に電子をフントの規則に従って詰めていく 実際、詰めていきましょう。まず、１つ目の電子 は、 $l_z = 2 \ or \ -2 (L_z = 2 \ or \ -2)$ のそれぞれに... があり得るわけですが、 $xy$ 平面対称なので、ここでは専ら ... 式 $(3):\mathcal{H}_{LS} = \xi \sum_{i} l_z^i s_z^i = \l... <tex> (n=1) \ \xi \cdot 2 \cdot -1/2 = \lambda \cdot 2 \cdot -1... </tex> よって、１つの電子( $n=1$ )の時、 <tex> \xi = \lambda \tag{##} </tex> 同様に $n=2,3,4,5$ までは、 式 $(3)$ の中辺は、 <tex> \xi \sum_{i} l_z^i s_z^i = \xi \left( \sum_{i} l_z^i \ri... </tex> 一方、式 $(3)$ の右辺は、 <tex> \lambda L_z S_z = - \dfrac{\lambda n}{2}L_z \tag{##} </tex> これらが等しいので、 <tex> \lambda = \dfrac{\xi}{n} \tag{##} </tex> が言えます。実際の計算は、図１の順番で <tex> (n=2) \ \xi \cdot 3 \cdot -1/2 = \lambda \cdot 3 \cdot -2... (n=3) \ \xi \cdot 3 \cdot -1/2 = \lambda \cdot 3 \cdot -3... (n=4) \ \xi \cdot 2 \cdot -1/2 = \lambda \cdot 2 \cdot -4... (n=5) \ \xi \cdot 0 \cdot -1/2 = \lambda \cdot 3 \cdot -5... </tex> そして、更に $n=6,7,8,9,10$ だと、 <tex> S_z = -5/2 + (n-5) \cdot 1/2 = \dfrac{n-10}{2} \tag{##} </tex> となりますから、 式 $(3)$ の中辺は、 <tex> \xi \sum_{i} l_z^i s_z^i &= \xi \left( \left( 2+1+0-1-2 ... &= \xi \left( \sum_{i \geq 6} l_z^i \right) \cdot 1/2 \\ &= \dfrac{\xi}{2} L_z \tag{##} </tex> 一方、式 $(3)$ の右辺は、 <tex> \lambda L_z S_z = \lambda \dfrac{n-10}{2} L_z \tag{##} </tex> これらが等しいので、 <tex> \lambda = -\dfrac{\xi}{10-n} \tag{##} </tex> が言えます。 実際書いてみると、 <tex> (n=6) \ \xi \cdot 2 \cdot -1/2 = \lambda \cdot 2 \cdot -4... (n=7) \ \xi \cdot 3 \cdot -1/2 = \lambda \cdot 3 \cdot -3... (n=8) \ \xi \cdot 3 \cdot -1/2 = \lambda \cdot 3 \cdot -2... (n=9) \ \xi \cdot 2 \cdot -1/2 = \lambda \cdot 2 \cdot -1... (n=10) \ \xi \cdot 0 \cdot -1/2 = \lambda \cdot 0 \cdot 0... </tex> となります。 まとめると、 <tex> \lambda: \xi \to \xi/2 \to \xi/3 \to \xi/4 \to 0 \to -\xi... </tex> と変化します。 J多重項と最低エネルギー ============================ 面白いのはここからです。 $n=1,2,3,4$ の時、 $\lambda > 0$... 軌道角運動量とスピンは反平行（真逆の向き）で最低エネルギ... よって $n=1$ は、 $L=2,S=1/2$ だから、 $^2D$ までは確定で... さらにもっとも反平行に近い角運動量の位置は、 $L_z = 2, S_... <tex> \mathcal{H}_{LS} = \xi \cdot 2 \cdot -1/2 = -\xi \tag{##} </tex> となります。この時、ベクトルの足し算 <tex> \bm{J} = \bm{L}+\bm{S} \tag{##} </tex> で全角運動量 $\bm{J}$ を導入します。ここで、その大きさ $J... <tex> J = |L-S|, |L-S|+1, \cdots L+S \tag{##} </tex> を取ります。フントの規則に従った最低エネルギー状態、LS多... 今、つまり $n=1$ の時は、 $^2D_{5/2}$ , $^2D_{3/2}$ があ... 一番反平行なのは、 $J=2-1/2=3/2$ だから、 $^2D_{3/2}$ で... 次に $n=2$ の時です。 $L=3,S=1$ で $^3F$ が確定。(ここで... さっき同様に取れる $J$ は $J=3-1,3,3+1$ より、 $^3F_2,^3F... 一番反平行なのは、 $^3F_2$ です。 この時、 <tex> \mathcal{H}_{LS} = (\xi/2) \cdot 3 \cdot -2/2 = -\dfrac{3... </tex> となります。同様に式 $(15)$ の方式でJ多重項と $\mathcal{H... <tex> J multiplet: ^2D_{3/2} \to ^3F_{2} \to ^4F_{3/2} \to ^5... </tex> で、 <tex> \mathcal{H}_{LS} : -\xi \to -\dfrac{3}{2} \xi \to -\dfrac... </tex> となります。文字通りスピン軌道相互作用とは、全スピンと全... 今日はこの辺で、お疲れさまでした！ .. _LS多重項: http://hooktail.sub.jp/quantum/LSMultiplet/ @@reference: 佐藤憲昭 三宅和正,磁性と超伝導の物理,名古屋... @@author:クロメル@@ @@accept:2019-12-19@@ @@category:量子力学@@ @@id:spinOrbitInteraction@@

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