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=========================================================...
スピンの回転の数理
=========================================================...
この記事は、スピノールの回転がなぜ
<tex>
\exp \left( - \dfrac{i \alpha}{2} (\bm{n} \cdot \bm{\sigm...
\tag{##}
</tex>
で実現できるかを示します。 $\bm{n}=(n_x,n_y,n_z)$ であり...
無限小回転と有限回転
=============================
何らかのパラメータ $\phi$ を持った関数 $f(\phi)$ の微小回...
<tex>
f(\phi + d \phi) = \left( 1+d \phi \dfrac{\partial}{\part...
\tag{##}
</tex>
で表現できます。
パラメータ増分 $\phi_0$ の有限回転にするには、これを $\ph...
<tex>
f(\phi + \phi_0)
&= \lim_{d \phi \to 0} \left( 1+d \phi \dfrac{\partial}{\...
&= \exp \left( \phi_0 \dfrac{\partial}{\partial \phi} \ri...
\tag{##}
</tex>
これは後で使います。
任意方向のスピノール
============================
パウリ行列を
<tex>
\bm{\sigma} &= (\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z) \\
\sigma_x &=
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} \\
\sigma_y &=
\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix} \\
\sigma_z &=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
とします。ここで、 $(\theta , \phi)$ 方向を向いたスピノー...
それは、
<tex>
| \chi \rangle =
\begin{pmatrix}
\cos \dfrac{\theta}{2} e^{-i\frac{\phi}{2}} \\
\sin \dfrac{\theta}{2} e^{i\frac{\phi}{2}}
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
となります。これは、スピノールの向く方向を表す単位ベクト...
<tex>
(\bm{n} \cdot \bm{\sigma}) | \chi \rangle = \lambda | \ch...
\tag{##}
</tex>
の固有スピノールです。
接スピノールを集める(z軸周り)
================================
ここで、 $| \chi \rangle$ の偏微分を考えます。 $\dfrac{\p...
やってみましょう。
<tex>
\dfrac{\partial | \chi \rangle }{\partial \phi}
&= -\dfrac{i}{2}
\begin{pmatrix}
\cos \dfrac{\theta}{2} e^{-i\frac{\phi}{2}} \\
-\sin \dfrac{\theta}{2} e^{i\frac{\phi}{2}}
\end{pmatrix} \\
&= -\dfrac{i}{2}
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos \dfrac{\theta}{2} e^{-i\frac{\phi}{2}} \\
\sin \dfrac{\theta}{2} e^{i\frac{\phi}{2}}
\end{pmatrix} \\
&= -\dfrac{i}{2} \sigma_z | \chi \rangle
\tag{##}
</tex>
よって、 $z$ 軸周りの角度 $\alpha_z$ 回転は、
<tex>
| \chi(\theta, \phi + \alpha_z) \rangle
&= \lim_{d \phi \to 0} \left( 1 + d \phi \dfrac{\partial}...
&= \exp \left( \alpha_z \dfrac{\partial}{\partial \phi} \...
&= \exp \left( - \dfrac{i}{2} \alpha_z \sigma_z \right) |...
\tag{##}
</tex>
ですから、
<tex>
Z(\alpha_z)
&\equiv \exp \left( - \dfrac{i}{2} \alpha_z \sigma_z \rig...
&=
\begin{pmatrix}
e^{- i \alpha_z /2} & 0 \\
0 & e^{ i \alpha_z /2}
\end{pmatrix}
</tex>
接スピノールを集める(y軸周り)
================================
次に、 $\dfrac{\partial | \chi \rangle }{\partial \theta}...
ここで、パラメータを設定しておきます。詳しくは図を見てく...
.. image :: chromel-spinRotation2-01.png
ここで $x$ 系は空間の基本的な枠組みでそこでスピノールの向...
一方、 $x^\prime$ 系はスピノールの $\phi$ 方向を $x^\prim...
つまり、いつスピノールを見ても、 $x^\prime z^\prime$ 平面...
何を意図しているか言ってしまうと、 $x$ 系は演算 $\sigma_i...
ここで、 複雑な回転を単純な回転で表す方法_ を知っていると...
一応、こちらで必要な分だけ説明しようと思います。
今、 $\sigma_z$ は $z$ 軸周りの回転 $\phi$ での微分を表す...
同様に、 $\sigma_y$ は $y$ 軸周りの回転方向の接スピノール...
しかし、今回は $\dfrac{\partial}{\partial \theta}$ は $y^...
なぜならば、 $\theta$ はスピノールの向きを表していて、そ...
ここで、以下の操作を考えます。
<tex>
Z(\phi) \left( - \dfrac{i}{2} \sigma_y \right) Z(- \phi) ...
\tag{##}
</tex>
この操作は $\dfrac{\partial | \chi \rangle }{\partial \th...
1.まず、 $| \chi \rangle$ があります。
2.これを $z$ 軸周りに $-\phi$ だけ回転させて、$xz$ 平面...
3.ここで $\dfrac{\partial}{\partial \theta_0} = - \dfra...
4.最後に $z$ 軸周りに $\phi$ だけ回転させて、 $\dfrac{\...
つまり、この一連の操作は、 $y^\prime$ 周りの回転 $\theta$...
<tex>
\dfrac{\partial | \chi \rangle }{\partial \theta}
&= Z(\phi) \left( - \dfrac{i}{2} \sigma_y \right) Z(- \ph...
&=
\begin{pmatrix}
e^{-i \phi /2} & 0 \\
0 & e^{i \phi /2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & -1/2 \\
1/2 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
e^{i \phi /2} & 0 \\
0 & e^{-i \phi /2}
\end{pmatrix} | \chi(\theta,\phi) \rangle \\
&= \dfrac{1}{2}
\begin{pmatrix}
0 & -e^{-i \phi} \\
e^{i \phi} & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos \dfrac{\theta}{2} e^{-i\frac{\phi}{2}} \\
\sin \dfrac{\theta}{2} e^{i\frac{\phi}{2}}
\end{pmatrix} \\
&=
\dfrac{1}{2}
\begin{pmatrix}
- \sin \dfrac{\theta}{2} e^{-i\frac{\phi}{2}} \\
\cos \dfrac{\theta}{2} e^{i\frac{\phi}{2}}
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
の関係があります。これで、 $\theta$ 方向の接スピノールも...
確認をしておくと、実際、スピノールを微分した結果と比べる...
<tex>
\dfrac{\partial | \chi \rangle }{\partial \theta}
&=
\begin{pmatrix}
\partial_\theta \cos \dfrac{\theta}{2} e^{-i\frac{\phi}{2...
\partial_\theta \sin \dfrac{\theta}{2} e^{i\frac{\phi}{2}}
\end{pmatrix} \\
&=
\dfrac{1}{2}
\begin{pmatrix}
- \sin \dfrac{\theta}{2} e^{-i\frac{\phi}{2}} \\
\cos \dfrac{\theta}{2} e^{i\frac{\phi}{2}}
\end{pmatrix}
</tex>
と一致します。
接スピノールを集める(x軸周り)
================================
最後に $\psi$ の接スピノールです。これは、最初分かりませ...
でも、こう考えればよいです。
さっき、 $y^\prime$ 軸周りの回転を表すのに $-\phi$ 回転さ...
今度は、 $\dfrac{\pi}{2}-\phi$ 回転させて、 $\theta_0$ 軸...
最後に $-\dfrac{\pi}{2}+\phi$ 回転させたものが、 $\dfrac{...
.. image :: chromel-spinRotation2-02.png
よって、今度は、
<tex>
\dfrac{\partial | \chi \rangle }{\partial \psi}
&= Z(-\dfrac{\pi}{2}+\phi) \left( - \dfrac{i}{2} \sigma_y...
&=
\begin{pmatrix}
e^{-i(-\pi/4 + \phi /2)} & 0 \\
0 & e^{i(-\pi/4 + \phi /2)}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & -1/2 \\
1/2 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
e^{-i(\pi/4 - \phi /2)} & 0 \\
0 & e^{i(\pi/4 - \phi /2)}
\end{pmatrix}| \chi(\theta,\phi) \rangle \\
&=
\begin{pmatrix}
e^{-i \phi /2} & 0 \\
0 & e^{i \phi /2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & -i/2 \\
-i/2 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
e^{i\phi /2} & 0 \\
0 & e^{-i\phi /2}
\end{pmatrix} \\
&=
Z(\phi)\left(- \dfrac{i}{2} \sigma_x \right)Z(-\phi) | \c...
\tag{##}
</tex>
が間接的にではありますが、示せました。
最初の $z$ 軸周りの接スピノールも形式を揃えて、リストにす...
<tex>
\dfrac{\partial}{\partial \psi} &= Z(\phi)\left(- \dfrac{...
\dfrac{\partial}{\partial \theta} &= Z(\phi)\left(- \dfra...
\dfrac{\partial}{\partial \phi} &= Z(\phi)\left(- \dfrac{...
\tag{##}
</tex>
となる訳です。(左辺は一応行列だと思います。スカラーとし...
本題
==================
ここで、微小回転 $R(\bm{n},d\alpha)$ を、回転軸の方向を持...
<tex>
R(\bm{n},d\alpha) &= d \alpha \left( n_x \dfrac{\partial}...
&= d \alpha Z(-\phi) \left( n_x \dfrac{\partial}{\partial...
&= -\dfrac{i}{2} d \alpha (n_x \sigma_x +n_y \sigma_y +n_...
&= -\dfrac{i}{2} (\bm{n} \cdot \bm{\sigma}) d \alpha \\
&\equiv R d \alpha
\tag{##}
</tex>
となります。注意として微小回転ならば、有限回転と違って足...
後は、 $\bm{n}$ 軸周りの微小回転が表現できたので、
<tex>
R(\bm{n},\alpha)
&= \lim_{d \alpha \to 0}(1+R d \alpha )^{\alpha/d \alpha}...
&= \exp \left( - \dfrac{i \alpha}{2} (\bm{n} \cdot \bm{\s...
\tag{##}
</tex>
これがスピノールを回転軸 $\bm{n}$ として、その方向を右ね...
それでは今日はここまで。お疲れ様でした。
.. _以前の記事: http://hooktail.sub.jp/quantum/spinRotati...
.. _複雑な回転を単純な回転で表す方法: http://hooktail.sub...
.. _スピノールの記事: http://eman-physics.net/quantum/spi...
@@author:クロメル@@
@@accept:2020-06-14@@
@@category:量子力学@@
@@id:spinRotation2@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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スピンの回転の数理
=========================================================...
この記事は、スピノールの回転がなぜ
<tex>
\exp \left( - \dfrac{i \alpha}{2} (\bm{n} \cdot \bm{\sigm...
\tag{##}
</tex>
で実現できるかを示します。 $\bm{n}=(n_x,n_y,n_z)$ であり...
無限小回転と有限回転
=============================
何らかのパラメータ $\phi$ を持った関数 $f(\phi)$ の微小回...
<tex>
f(\phi + d \phi) = \left( 1+d \phi \dfrac{\partial}{\part...
\tag{##}
</tex>
で表現できます。
パラメータ増分 $\phi_0$ の有限回転にするには、これを $\ph...
<tex>
f(\phi + \phi_0)
&= \lim_{d \phi \to 0} \left( 1+d \phi \dfrac{\partial}{\...
&= \exp \left( \phi_0 \dfrac{\partial}{\partial \phi} \ri...
\tag{##}
</tex>
これは後で使います。
任意方向のスピノール
============================
パウリ行列を
<tex>
\bm{\sigma} &= (\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z) \\
\sigma_x &=
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} \\
\sigma_y &=
\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix} \\
\sigma_z &=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
とします。ここで、 $(\theta , \phi)$ 方向を向いたスピノー...
それは、
<tex>
| \chi \rangle =
\begin{pmatrix}
\cos \dfrac{\theta}{2} e^{-i\frac{\phi}{2}} \\
\sin \dfrac{\theta}{2} e^{i\frac{\phi}{2}}
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
となります。これは、スピノールの向く方向を表す単位ベクト...
<tex>
(\bm{n} \cdot \bm{\sigma}) | \chi \rangle = \lambda | \ch...
\tag{##}
</tex>
の固有スピノールです。
接スピノールを集める(z軸周り)
================================
ここで、 $| \chi \rangle$ の偏微分を考えます。 $\dfrac{\p...
やってみましょう。
<tex>
\dfrac{\partial | \chi \rangle }{\partial \phi}
&= -\dfrac{i}{2}
\begin{pmatrix}
\cos \dfrac{\theta}{2} e^{-i\frac{\phi}{2}} \\
-\sin \dfrac{\theta}{2} e^{i\frac{\phi}{2}}
\end{pmatrix} \\
&= -\dfrac{i}{2}
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos \dfrac{\theta}{2} e^{-i\frac{\phi}{2}} \\
\sin \dfrac{\theta}{2} e^{i\frac{\phi}{2}}
\end{pmatrix} \\
&= -\dfrac{i}{2} \sigma_z | \chi \rangle
\tag{##}
</tex>
よって、 $z$ 軸周りの角度 $\alpha_z$ 回転は、
<tex>
| \chi(\theta, \phi + \alpha_z) \rangle
&= \lim_{d \phi \to 0} \left( 1 + d \phi \dfrac{\partial}...
&= \exp \left( \alpha_z \dfrac{\partial}{\partial \phi} \...
&= \exp \left( - \dfrac{i}{2} \alpha_z \sigma_z \right) |...
\tag{##}
</tex>
ですから、
<tex>
Z(\alpha_z)
&\equiv \exp \left( - \dfrac{i}{2} \alpha_z \sigma_z \rig...
&=
\begin{pmatrix}
e^{- i \alpha_z /2} & 0 \\
0 & e^{ i \alpha_z /2}
\end{pmatrix}
</tex>
接スピノールを集める(y軸周り)
================================
次に、 $\dfrac{\partial | \chi \rangle }{\partial \theta}...
ここで、パラメータを設定しておきます。詳しくは図を見てく...
.. image :: chromel-spinRotation2-01.png
ここで $x$ 系は空間の基本的な枠組みでそこでスピノールの向...
一方、 $x^\prime$ 系はスピノールの $\phi$ 方向を $x^\prim...
つまり、いつスピノールを見ても、 $x^\prime z^\prime$ 平面...
何を意図しているか言ってしまうと、 $x$ 系は演算 $\sigma_i...
ここで、 複雑な回転を単純な回転で表す方法_ を知っていると...
一応、こちらで必要な分だけ説明しようと思います。
今、 $\sigma_z$ は $z$ 軸周りの回転 $\phi$ での微分を表す...
同様に、 $\sigma_y$ は $y$ 軸周りの回転方向の接スピノール...
しかし、今回は $\dfrac{\partial}{\partial \theta}$ は $y^...
なぜならば、 $\theta$ はスピノールの向きを表していて、そ...
ここで、以下の操作を考えます。
<tex>
Z(\phi) \left( - \dfrac{i}{2} \sigma_y \right) Z(- \phi) ...
\tag{##}
</tex>
この操作は $\dfrac{\partial | \chi \rangle }{\partial \th...
1.まず、 $| \chi \rangle$ があります。
2.これを $z$ 軸周りに $-\phi$ だけ回転させて、$xz$ 平面...
3.ここで $\dfrac{\partial}{\partial \theta_0} = - \dfra...
4.最後に $z$ 軸周りに $\phi$ だけ回転させて、 $\dfrac{\...
つまり、この一連の操作は、 $y^\prime$ 周りの回転 $\theta$...
<tex>
\dfrac{\partial | \chi \rangle }{\partial \theta}
&= Z(\phi) \left( - \dfrac{i}{2} \sigma_y \right) Z(- \ph...
&=
\begin{pmatrix}
e^{-i \phi /2} & 0 \\
0 & e^{i \phi /2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & -1/2 \\
1/2 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
e^{i \phi /2} & 0 \\
0 & e^{-i \phi /2}
\end{pmatrix} | \chi(\theta,\phi) \rangle \\
&= \dfrac{1}{2}
\begin{pmatrix}
0 & -e^{-i \phi} \\
e^{i \phi} & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos \dfrac{\theta}{2} e^{-i\frac{\phi}{2}} \\
\sin \dfrac{\theta}{2} e^{i\frac{\phi}{2}}
\end{pmatrix} \\
&=
\dfrac{1}{2}
\begin{pmatrix}
- \sin \dfrac{\theta}{2} e^{-i\frac{\phi}{2}} \\
\cos \dfrac{\theta}{2} e^{i\frac{\phi}{2}}
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
の関係があります。これで、 $\theta$ 方向の接スピノールも...
確認をしておくと、実際、スピノールを微分した結果と比べる...
<tex>
\dfrac{\partial | \chi \rangle }{\partial \theta}
&=
\begin{pmatrix}
\partial_\theta \cos \dfrac{\theta}{2} e^{-i\frac{\phi}{2...
\partial_\theta \sin \dfrac{\theta}{2} e^{i\frac{\phi}{2}}
\end{pmatrix} \\
&=
\dfrac{1}{2}
\begin{pmatrix}
- \sin \dfrac{\theta}{2} e^{-i\frac{\phi}{2}} \\
\cos \dfrac{\theta}{2} e^{i\frac{\phi}{2}}
\end{pmatrix}
</tex>
と一致します。
接スピノールを集める(x軸周り)
================================
最後に $\psi$ の接スピノールです。これは、最初分かりませ...
でも、こう考えればよいです。
さっき、 $y^\prime$ 軸周りの回転を表すのに $-\phi$ 回転さ...
今度は、 $\dfrac{\pi}{2}-\phi$ 回転させて、 $\theta_0$ 軸...
最後に $-\dfrac{\pi}{2}+\phi$ 回転させたものが、 $\dfrac{...
.. image :: chromel-spinRotation2-02.png
よって、今度は、
<tex>
\dfrac{\partial | \chi \rangle }{\partial \psi}
&= Z(-\dfrac{\pi}{2}+\phi) \left( - \dfrac{i}{2} \sigma_y...
&=
\begin{pmatrix}
e^{-i(-\pi/4 + \phi /2)} & 0 \\
0 & e^{i(-\pi/4 + \phi /2)}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & -1/2 \\
1/2 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
e^{-i(\pi/4 - \phi /2)} & 0 \\
0 & e^{i(\pi/4 - \phi /2)}
\end{pmatrix}| \chi(\theta,\phi) \rangle \\
&=
\begin{pmatrix}
e^{-i \phi /2} & 0 \\
0 & e^{i \phi /2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & -i/2 \\
-i/2 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
e^{i\phi /2} & 0 \\
0 & e^{-i\phi /2}
\end{pmatrix} \\
&=
Z(\phi)\left(- \dfrac{i}{2} \sigma_x \right)Z(-\phi) | \c...
\tag{##}
</tex>
が間接的にではありますが、示せました。
最初の $z$ 軸周りの接スピノールも形式を揃えて、リストにす...
<tex>
\dfrac{\partial}{\partial \psi} &= Z(\phi)\left(- \dfrac{...
\dfrac{\partial}{\partial \theta} &= Z(\phi)\left(- \dfra...
\dfrac{\partial}{\partial \phi} &= Z(\phi)\left(- \dfrac{...
\tag{##}
</tex>
となる訳です。(左辺は一応行列だと思います。スカラーとし...
本題
==================
ここで、微小回転 $R(\bm{n},d\alpha)$ を、回転軸の方向を持...
<tex>
R(\bm{n},d\alpha) &= d \alpha \left( n_x \dfrac{\partial}...
&= d \alpha Z(-\phi) \left( n_x \dfrac{\partial}{\partial...
&= -\dfrac{i}{2} d \alpha (n_x \sigma_x +n_y \sigma_y +n_...
&= -\dfrac{i}{2} (\bm{n} \cdot \bm{\sigma}) d \alpha \\
&\equiv R d \alpha
\tag{##}
</tex>
となります。注意として微小回転ならば、有限回転と違って足...
後は、 $\bm{n}$ 軸周りの微小回転が表現できたので、
<tex>
R(\bm{n},\alpha)
&= \lim_{d \alpha \to 0}(1+R d \alpha )^{\alpha/d \alpha}...
&= \exp \left( - \dfrac{i \alpha}{2} (\bm{n} \cdot \bm{\s...
\tag{##}
</tex>
これがスピノールを回転軸 $\bm{n}$ として、その方向を右ね...
それでは今日はここまで。お疲れ様でした。
.. _以前の記事: http://hooktail.sub.jp/quantum/spinRotati...
.. _複雑な回転を単純な回転で表す方法: http://hooktail.sub...
.. _スピノールの記事: http://eman-physics.net/quantum/spi...
@@author:クロメル@@
@@accept:2020-06-14@@
@@category:量子力学@@
@@id:spinRotation2@@
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