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ストークスの定理再考
=================================================
ここまでに、ベクトル解析で重要だった 平面のグリーンの定理...
<tex>
\int \limits _{\partial D} \omega = \int \limits _{D} d\o...
</tex>
式 $(1)$ はとても簡単な形ですし、背後にある何かしらの『美...
.. admonition:: theorem
【ストークスの定理】閉曲線 $L$ を境界とする曲面 $S$ 上で...
この記事では、まず、ストークスの定理を微分形式を使って定...
ストークスの定理再考
=========================================================...
ストークスの定理で、 $\bm{F}=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))...
<tex>
\int \limits _{D}
\left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{...
\right) dy \land dz
+
\left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{...
\right) dz \land dy
+
\left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{...
\right) dx \land dy
=
\int \limits _{\partial D}
Pdx+Qdy+Rdz \tag{2}
</tex>
これに対し、一次微分形式を $\omega = Pdx+Qdy +Rdz$ と定義...
<tex>
d\omega &= d(Pdx+Qdy +Rdz) \\
&= dP \land dx + dQ \land dy + dR \land dz \\
&= \left( \frac{\partial P}{\partial x}dx
+ \frac{\partial P}{\partial y}dy
+\frac{\partial P}{\partial z}dz
\right) \land dx
+ \left( \frac{\partial Q}{\partial x}dx
+ \frac{\partial Q}{\partial y}dy
+\frac{\partial Q}{\partial z}dz
\right) \land dy
+ \left( \frac{\partial R}{\partial x}dx
+ \frac{\partial R}{\partial y}dy
+\frac{\partial R}{\partial z}dz
\right) \land dz \\
& =
\left(
\frac{\partial R}{\partial y} -
\frac{\partial Q}{\partial z} \right) dy \land dz
+\left(
\frac{\partial P}{\partial z}
-\frac{\partial R}{\partial x} \right) dz \land dx
+\left(
\frac{\partial Q}{\partial x} -
\frac{\partial P}{\partial y} \right) dx \land dy \tag{3}
</tex>
式 $(2)$ と式 $(3)$ から、ストークスの定理も次式のように...
<tex>
\int \limits _{D} d\omega = \int \limits _{\partial D} \o...
</tex>
結局、平面のグリーンの定理、ガウスの発散定理、そしてスト...
これから示すこと
=========================================================...
平面のグリーンの定理、ガウスの発散定理、ストークスの定理...
でも、読者の多くの方は、既に、『式 $(4)$ は普遍的な定理な...
ストークス
=========================================================...
ストークスの定理や、流体力学のナヴィア・ストークス方程式...
.. figure:: Joh-Stokes02.png
終生、敬虔なキリスト教徒だったストークス。質素で慎ましい...
ケンブリッジ大学ではホプキンス $(\text{William Hopkins (1...
.. [*] ナヴィア・ストークス方程式は、ストークスより前にナ...
奇妙なことに、ストークスは $1857$ 年の結婚に前後して、数...
.. _スクリーン: http://en.wikipedia.org/wiki/Skreen
.. _ガウスの発散定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/vector...
.. _外微分: http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialform...
.. _平面のグリーンの定理再考: http://www12.plala.or.jp/ks...
.. _平面のグリーンの定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/ve...
.. _微分形式の引き戻し: http://www12.plala.or.jp/ksp/diff...
.. _ストークスの定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/vector...
.. _面積素と微分形式: http://www12.plala.or.jp/ksp/differ...
.. _ストークスの定理再々考: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-11-13@@
@@category: 微分形式@@
@@id: DiffFormsStokesTheorem@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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ストークスの定理再考
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ここまでに、ベクトル解析で重要だった 平面のグリーンの定理...
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\int \limits _{\partial D} \omega = \int \limits _{D} d\o...
</tex>
式 $(1)$ はとても簡単な形ですし、背後にある何かしらの『美...
.. admonition:: theorem
【ストークスの定理】閉曲線 $L$ を境界とする曲面 $S$ 上で...
この記事では、まず、ストークスの定理を微分形式を使って定...
ストークスの定理再考
=========================================================...
ストークスの定理で、 $\bm{F}=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))...
<tex>
\int \limits _{D}
\left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{...
\right) dy \land dz
+
\left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{...
\right) dz \land dy
+
\left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{...
\right) dx \land dy
=
\int \limits _{\partial D}
Pdx+Qdy+Rdz \tag{2}
</tex>
これに対し、一次微分形式を $\omega = Pdx+Qdy +Rdz$ と定義...
<tex>
d\omega &= d(Pdx+Qdy +Rdz) \\
&= dP \land dx + dQ \land dy + dR \land dz \\
&= \left( \frac{\partial P}{\partial x}dx
+ \frac{\partial P}{\partial y}dy
+\frac{\partial P}{\partial z}dz
\right) \land dx
+ \left( \frac{\partial Q}{\partial x}dx
+ \frac{\partial Q}{\partial y}dy
+\frac{\partial Q}{\partial z}dz
\right) \land dy
+ \left( \frac{\partial R}{\partial x}dx
+ \frac{\partial R}{\partial y}dy
+\frac{\partial R}{\partial z}dz
\right) \land dz \\
& =
\left(
\frac{\partial R}{\partial y} -
\frac{\partial Q}{\partial z} \right) dy \land dz
+\left(
\frac{\partial P}{\partial z}
-\frac{\partial R}{\partial x} \right) dz \land dx
+\left(
\frac{\partial Q}{\partial x} -
\frac{\partial P}{\partial y} \right) dx \land dy \tag{3}
</tex>
式 $(2)$ と式 $(3)$ から、ストークスの定理も次式のように...
<tex>
\int \limits _{D} d\omega = \int \limits _{\partial D} \o...
</tex>
結局、平面のグリーンの定理、ガウスの発散定理、そしてスト...
これから示すこと
=========================================================...
平面のグリーンの定理、ガウスの発散定理、ストークスの定理...
でも、読者の多くの方は、既に、『式 $(4)$ は普遍的な定理な...
ストークス
=========================================================...
ストークスの定理や、流体力学のナヴィア・ストークス方程式...
.. figure:: Joh-Stokes02.png
終生、敬虔なキリスト教徒だったストークス。質素で慎ましい...
ケンブリッジ大学ではホプキンス $(\text{William Hopkins (1...
.. [*] ナヴィア・ストークス方程式は、ストークスより前にナ...
奇妙なことに、ストークスは $1857$ 年の結婚に前後して、数...
.. _スクリーン: http://en.wikipedia.org/wiki/Skreen
.. _ガウスの発散定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/vector...
.. _外微分: http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialform...
.. _平面のグリーンの定理再考: http://www12.plala.or.jp/ks...
.. _平面のグリーンの定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/ve...
.. _微分形式の引き戻し: http://www12.plala.or.jp/ksp/diff...
.. _ストークスの定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/vector...
.. _面積素と微分形式: http://www12.plala.or.jp/ksp/differ...
.. _ストークスの定理再々考: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-11-13@@
@@category: 微分形式@@
@@id: DiffFormsStokesTheorem@@
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