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スカラーポテンシャル
==============================================
スカラー場 $\phi (x_{1},x_{2},x_{3})$ を考えます。 $\phi$...
<tex>
\nabla \phi = \left( \frac{\partial \phi}{\partial x_{1}},
\frac{\partial \phi}{\partial x_{1}}, \frac{\partial \phi...
\right)
</tex>
ベクトル $\nabla \phi$ は、一般的には空間の各点で向きや大...
.. [*] もちろん、 $\phi$ が一意的に微分可能な関数であるこ...
スカラーポテンシャル
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
逆に、ベクトル場 $\bm{V}(x_{1},x_{2},x_{3})$ が与えられた...
<tex>
\bm{V}(x_{1},x_{2},x_{3}) = \nabla \phi (x_{1},x_{2},x_{...
</tex>
もっとも、物理学では右辺に $-$ をつけて使う方が多いかも知...
.. figure:: Joh-VectorPotential2.gif
流れは、ポテンシャルが高い方から低い方へ流れると考えたい。
目に見えないような流れも含め、水流からの連想なのか、『流...
ベクトル場 $\bm{V}(\bm{r})$ が与えられたとき、一般に $\bm...
.. [*] 数学系の本にはスカラーポテンシャルの符号が $+$ の...
例:保存力場
---------------------------------------------------------...
スカラーポテンシャルの一つの例として、力学でもお馴染みの...
<tex>
\bm{F} = -G\frac{Mm}{r^{2}}\bm{e_{r}} \tag{2}
</tex>
いま、 $Mm$ 間の距離 $r$ によって $\bm{F}$ の大きさは変わ...
<tex>
\bm{F} = \nabla \left( G\frac{Mm}{r} \right)
</tex>
式 $(1)$ と見比べて、重力のポテンシャルは次式であると分か...
<tex>
\phi = G\frac{Mm}{r}
</tex>
スカラーポテンシャルの求め方
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
スカラーポテンシャルを実際に求める方法を考えてみましょう...
<tex>
f(x,y,z) = \frac{\partial \phi}{\partial x} \tag{3-1}
</tex>
<tex>
g(x,y,z) = \frac{\partial \phi}{\partial y} \tag{3-2}
</tex>
<tex>
h(x,y,z) = \frac{\partial \phi}{\partial z} \tag{3-3}
</tex>
ここで、 $\phi$ を滑らかな関数だとすれば $\frac{\partial^...
<tex>
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial g}{\partia...
</tex>
同様に、次の二式も必要です。
<tex>
\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial h}{\partia...
</tex>
<tex>
\frac{\partial g}{\partial z} = \frac{\partial h}{\partia...
</tex>
これらが全て成り立っていなければ保存ベクトル場にはなりま...
.. [*] ポテンシャル関数は滑らかだと勝手に仮定しましたが、...
練習問題
---------------------------------------------------------...
1. ベクトル場 $\bm{A}=xy\bm{e_{x}}+2x^{2}y^{3}\bm{e_{y}}+...
2. ベクトル場 $\bm{A}=-(2xy+3z)\bm{e_{x}}-(x^{2}+2)\bm{e_...
保存ベクトル場を積分してみる
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
保存ベクトル場を、点 $M_{0}$ から点 $M={1}$ まで積分して...
<tex>
\int_{M_{0}}^{M={1}} \bm{A}\cdot d\bm{r} &= \int_{M_{0}}^...
&= \int_{M_{0}}^{M={1}} \left(
\frac{\partial \phi}{\partial x_{1}}dx_{1} +
\frac{\partial \phi}{\partial x_{2}}dx_{2} +
\frac{\partial \phi}{\partial x_{3}}dx_{3}
\right) \\
& = \int_{M_{0}}^{M={1}} d\phi \\
& = \phi (M_{1}) - \phi (M_{0}) \tag{5}
</tex>
最終的にこの積分の値は積分経路によらず、積分の始点と終点...
.. [*] 先ほど考えた重力の例を思い出してください。質点の位...
.. [*] 全微分が積分経路によらない、というのは次のように考...
もし、閉曲線にそってベクトルを周回積分するなら、始点と終...
<tex>
\ointop \bm{A}\cdot d\bm{r} &= \ointop \nabla \phi \cdot...
</tex>
少し先走ってベクトルの積分を考えてしまいましたが、式 $(6)...
.. [*] さらに発展的な話になりますが、ベクトル場 $\bm{A}$ ...
.. image:: Joh-SimplyConnectedRegion.gif
.. _ベクトル場: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalys...
.. _球面座標: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
.. _単連結: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/I...
.. _ベクトルの線積分と周回積分: http://www12.plala.or.jp/...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-10-11@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: ScalarPotential@@
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スカラーポテンシャル
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スカラー場 $\phi (x_{1},x_{2},x_{3})$ を考えます。 $\phi$...
<tex>
\nabla \phi = \left( \frac{\partial \phi}{\partial x_{1}},
\frac{\partial \phi}{\partial x_{1}}, \frac{\partial \phi...
\right)
</tex>
ベクトル $\nabla \phi$ は、一般的には空間の各点で向きや大...
.. [*] もちろん、 $\phi$ が一意的に微分可能な関数であるこ...
スカラーポテンシャル
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逆に、ベクトル場 $\bm{V}(x_{1},x_{2},x_{3})$ が与えられた...
<tex>
\bm{V}(x_{1},x_{2},x_{3}) = \nabla \phi (x_{1},x_{2},x_{...
</tex>
もっとも、物理学では右辺に $-$ をつけて使う方が多いかも知...
.. figure:: Joh-VectorPotential2.gif
流れは、ポテンシャルが高い方から低い方へ流れると考えたい。
目に見えないような流れも含め、水流からの連想なのか、『流...
ベクトル場 $\bm{V}(\bm{r})$ が与えられたとき、一般に $\bm...
.. [*] 数学系の本にはスカラーポテンシャルの符号が $+$ の...
例:保存力場
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スカラーポテンシャルの一つの例として、力学でもお馴染みの...
<tex>
\bm{F} = -G\frac{Mm}{r^{2}}\bm{e_{r}} \tag{2}
</tex>
いま、 $Mm$ 間の距離 $r$ によって $\bm{F}$ の大きさは変わ...
<tex>
\bm{F} = \nabla \left( G\frac{Mm}{r} \right)
</tex>
式 $(1)$ と見比べて、重力のポテンシャルは次式であると分か...
<tex>
\phi = G\frac{Mm}{r}
</tex>
スカラーポテンシャルの求め方
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
スカラーポテンシャルを実際に求める方法を考えてみましょう...
<tex>
f(x,y,z) = \frac{\partial \phi}{\partial x} \tag{3-1}
</tex>
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g(x,y,z) = \frac{\partial \phi}{\partial y} \tag{3-2}
</tex>
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h(x,y,z) = \frac{\partial \phi}{\partial z} \tag{3-3}
</tex>
ここで、 $\phi$ を滑らかな関数だとすれば $\frac{\partial^...
<tex>
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial g}{\partia...
</tex>
同様に、次の二式も必要です。
<tex>
\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial h}{\partia...
</tex>
<tex>
\frac{\partial g}{\partial z} = \frac{\partial h}{\partia...
</tex>
これらが全て成り立っていなければ保存ベクトル場にはなりま...
.. [*] ポテンシャル関数は滑らかだと勝手に仮定しましたが、...
練習問題
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1. ベクトル場 $\bm{A}=xy\bm{e_{x}}+2x^{2}y^{3}\bm{e_{y}}+...
2. ベクトル場 $\bm{A}=-(2xy+3z)\bm{e_{x}}-(x^{2}+2)\bm{e_...
保存ベクトル場を積分してみる
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保存ベクトル場を、点 $M_{0}$ から点 $M={1}$ まで積分して...
<tex>
\int_{M_{0}}^{M={1}} \bm{A}\cdot d\bm{r} &= \int_{M_{0}}^...
&= \int_{M_{0}}^{M={1}} \left(
\frac{\partial \phi}{\partial x_{1}}dx_{1} +
\frac{\partial \phi}{\partial x_{2}}dx_{2} +
\frac{\partial \phi}{\partial x_{3}}dx_{3}
\right) \\
& = \int_{M_{0}}^{M={1}} d\phi \\
& = \phi (M_{1}) - \phi (M_{0}) \tag{5}
</tex>
最終的にこの積分の値は積分経路によらず、積分の始点と終点...
.. [*] 先ほど考えた重力の例を思い出してください。質点の位...
.. [*] 全微分が積分経路によらない、というのは次のように考...
もし、閉曲線にそってベクトルを周回積分するなら、始点と終...
<tex>
\ointop \bm{A}\cdot d\bm{r} &= \ointop \nabla \phi \cdot...
</tex>
少し先走ってベクトルの積分を考えてしまいましたが、式 $(6)...
.. [*] さらに発展的な話になりますが、ベクトル場 $\bm{A}$ ...
.. image:: Joh-SimplyConnectedRegion.gif
.. _ベクトル場: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalys...
.. _球面座標: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
.. _単連結: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/I...
.. _ベクトルの線積分と周回積分: http://www12.plala.or.jp/...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-10-11@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: ScalarPotential@@
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