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=========================================================...
シュレーディンガー方程式のグリーン関数
=========================================================...
この記事では、シュレーディンガー方程式の自由粒子のグリー...
<tex>
i \hbar \dfrac{\partial}{\partial t} \psi = \dfrac{(-i \h...
</tex>
自由粒子のシュレーディンガー方程式の一次元と三次元の形を...
<tex>
i \hbar \dfrac{\partial}{\partial t} \psi = -\dfrac{\hbar...
</tex>
<tex>
i \hbar \dfrac{\partial}{\partial t} \psi = -\dfrac{\hbar...
</tex>
です。
1次元の場合
=================
まず、基本的な一次元空間のシュレーディンガー方程式から考...
この場合のグリーン関数の定義は、
<tex>
\left( i \hbar \dfrac{\partial}{\partial t} + \dfrac{\hba...
</tex>
と言う事にしておきます。右辺の符号はプラスの方が都合がよ...
ここで、フーリエ変換を行います。その定義は、
<tex>
f(t,x) &= \dfrac{1}{(2 \pi)^2} \int_{-\infty}^\infty \hat...
\hat{f}(\omega,k) &= \int_{-\infty}^\infty f(t,x) e^{-i(k...
</tex>
としておきます。
デルタ関数の積分表示、
<tex>
\delta(t-t^\prime) = \dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\inf...
\delta(x-x^\prime) = \dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\inf...
\tag{##}
</tex>
を使います。式 $(5)$ で $f(t,x) \to G(t-t^\prime,x-x^\pri...
<tex>
&\left( i \hbar \dfrac{\partial}{\partial t} + \dfrac{\hb...
&\dfrac{1}{(2 \pi)^2} \int_{-\infty}^\infty \left( i \hba...
&\int_{-\infty}^\infty \left( \hbar \omega - \dfrac{\hba...
&\left( \hbar \omega - \dfrac{\hbar^2 k^2}{2m} \right) \...
\tag{##}
</tex>
よって、フーリエ変換されたグリーン関数は次の形をしていま...
<tex>
\hat{G}(\omega,k) = \dfrac{e^{-i(kx^\prime - \omega t^\pr...
\tag{##}
</tex>
しかし、2点修正が必要です。まず、どういう訳か、式 $(4)$ ...
また、グリーン関数で今回興味があるのは遅延グリーン関数な...
<tex>
\hat{G}(\omega,k) = \dfrac{ie^{-i(kx^\prime - \omega t^\p...
\tag{##}
</tex>
が得られます。これをフーリエ逆変換をして、 $G(t-t^\prime,...
まずは、 $\omega \to t-t^\prime$ のフーリエ逆変換をします...
<tex>
G(t-t^\prime,k) = \dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty ...
\tag{##}
</tex>
ここで複素関数論の留数定理を用います。 $t-t^\prime>0$ と...
.. image :: chromel-SchrodingerGreen-01.png
<tex>
G(t-t^\prime,k)
&= \dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty \hat{G}(\omega,...
&= \dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty \dfrac{ie^{-i(k...
&= -\dfrac{1}{2 \pi} 2 \pi i \rm{Res}_{\omega \to \frac{\...
&= -i \lim_{\omega \to \frac{\hbar k^2}{2m}-i \delta} \le...
&= \lim_{\omega \to \frac{\hbar k^2}{2m}-i \delta} \left...
&= e^{-i(kx^\prime + (\frac{\hbar k^2}{2m} -i \delta) (t-...
&= e^{-\delta(t-t^\prime)} e^{-i(kx^\prime + \frac{\hbar ...
&\to e^{-i(kx^\prime + \frac{\hbar k^2}{2m}(t-t^\prime))}
\tag{##}
</tex>
ここで、ω積分を終えて役目を終えた $\delta$ の $e^{-\delta...
次に $k$ でフーリエ逆変換を行います。
<tex>
\int_{-\infty}^\infty e^{- \alpha k^2} dk = \sqrt{\dfrac{...
</tex>
を、行います。(詳しくは 虚数のガウス積分_ )
<tex>
G(t-t^\prime,x-x^\prime)
&= \dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty \hat{G}(t-t^\pr...
&= \dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty e^{i(k(x-x^\pri...
\tag{##}
</tex>
ここで、指数関数の中身を変形します。平方完成です。
<tex>
i \left( k(x-x^\prime) - \dfrac{\hbar k^2}{2m}(t-t^\prime...
&= \dfrac{-i \hbar (t-t^\prime)}{2m} \left( k - \dfrac{m(...
&= \dfrac{-i \hbar (t-t^\prime)}{2m} \left( k - \dfrac{m(...
\tag{##}
</tex>
二乗の中身は、式 $(13)$ のガウス積分で、実数のずれを無視...
また、平方完成のおつりは残ります。
<tex>
G(t-t^\prime,x-x^\prime)
&= \dfrac{1}{2 \pi} \sqrt{\dfrac{2 \pi m}{i \hbar (t-t^\p...
&= \sqrt{\dfrac{m}{2 \pi i \hbar (t-t^\prime)}} e^{\frac{...
\tag{##}
</tex>
これで一段落です。
次に $t-t^\prime<0$ ですが、これは簡単です。 $\omega$ 複...
<tex>
G(t-t^\prime,x-x^\prime) &=
\begin{cases}
\sqrt{\dfrac{m}{2 \pi i \hbar (t-t^\prime)}} e^{\frac{im(...
0 \ \ (t-t^\prime < 0)
\end{cases}
\tag{##}
</tex>
一次元のグリーン関数の解釈
===============================
ここで、解の検証です。 $t-t^\prime > 0 $ を固定しましょう。
すると、正規分布関数 $s(x)$ として、
<tex>
s(x) = N e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}} \tag{##}
</tex>
に近いことが分かります。 $N$ は規格化定数です。分布の中心...
一方、グリーン関数の指数部分 $e^{\frac{im(x-x^\prime)^2}{...
<tex>
&e^{\frac{i}{\hbar}\frac{m (x-x\prime)^2}{2(t-t^\prime)}}...
&= e^{\dfrac{i(x-x^\prime)^2}{2 \hbar (t-t^\prime)/m}}
\tag{##}
</tex>
となります。これは、最初に粒子が存在していた点 $x = x^\pr...
となると、式 $(18)$ も $(19)$ も指数の肩の値の分子が0に...
つまり、式 $(19)$ の電子雲の広がりは $\sqrt{\dfrac{\hbar ...
また、 $t-t^\prime>0$ を一つ固定し、 $x:-\infty \to \inft...
<tex>
&\sqrt{\dfrac{m}{2 \pi i \hbar (t-t^\prime)}} \int_{-\inf...
&= \sqrt{\dfrac{m}{2 \pi i \hbar (t-t^\prime)}} \sqrt{\df...
&= 1
\tag{##}
</tex>
の様に、常に(位相が無く実数で)1です。これは、 $t-t^\pr...
ここで、波動関数の時間発展を考えてみましょう。 $t$ と $t^...
<tex>
\psi(t,x) = \int_{-\infty}^\infty dx^\prime G(t-t^\prime,...
</tex>
となります。この積分は畳み込みと呼ばれます。
イメージを鮮明に伝える力は僕にはありませんが、つじつまが...
例えば、式 $(17)$ の規格化定数 $\sqrt{\dfrac{m}{2 \pi i \...
<tex>
\psi(t,x) = \int_{-\infty}^\infty dx^\prime \delta(t-t^\p...
</tex>
となり、デルタ関数の性質から $t=t^\prime$ 、 $x=x^\prime$...
では、 $t$ を増大させていくとどうなるでしょう?式 $(19)$ ...
元々の恒等変換で位相は変化していなかったので、そこからの ...
<tex>
\phi(t^\prime,x^\prime) = \phi_0 e^{i(kx^\prime-\omega t^...
</tex>
の微小時間後の波動関数 $\phi(t,x)$ の $x=x^\prime$ と正(...
この様に、ある時点での波動関数が分かっていると、その後の...
老婆心ながら、前者の符号はなぜこうなのかを述べておくと、 ...
三次元の場合
==================
最後に三次元の場合に拡張した結果を見ておきましょう。
これは、フビニの定理などで、一次元 $x$ の要素を単純に三次...
つまり、
<tex>
G(t-t^\prime,\bm{x}-\bm{x}^\prime) =
\begin{cases}
\left( \dfrac{m}{2 \pi i \hbar (t-t^\prime)}\right)^{3/2}...
0 \ \ (t-t^\prime < 0)
\end{cases}
\tag{##}
</tex>
以上で、シュレーディンガー方程式のグリーン関数を求める計...
今日はここまで、お疲れさまでした!
.. _こちら: http://www.asahi-net.or.jp/~fu5k-mths/pdf/sat...
.. _虚数のガウス積分: http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/i...
.. _リーマンルベーグの補題: https://ja.wikipedia.org/wiki...
@@reference: R.P.ファインマン/A.R.ヒッブス共著 北原和夫訳...
@@author:クロメル@@
@@accept:2020-03-01@@
@@category:量子力学@@
@@id:SchrodingerGreen@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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シュレーディンガー方程式のグリーン関数
=========================================================...
この記事では、シュレーディンガー方程式の自由粒子のグリー...
<tex>
i \hbar \dfrac{\partial}{\partial t} \psi = \dfrac{(-i \h...
</tex>
自由粒子のシュレーディンガー方程式の一次元と三次元の形を...
<tex>
i \hbar \dfrac{\partial}{\partial t} \psi = -\dfrac{\hbar...
</tex>
<tex>
i \hbar \dfrac{\partial}{\partial t} \psi = -\dfrac{\hbar...
</tex>
です。
1次元の場合
=================
まず、基本的な一次元空間のシュレーディンガー方程式から考...
この場合のグリーン関数の定義は、
<tex>
\left( i \hbar \dfrac{\partial}{\partial t} + \dfrac{\hba...
</tex>
と言う事にしておきます。右辺の符号はプラスの方が都合がよ...
ここで、フーリエ変換を行います。その定義は、
<tex>
f(t,x) &= \dfrac{1}{(2 \pi)^2} \int_{-\infty}^\infty \hat...
\hat{f}(\omega,k) &= \int_{-\infty}^\infty f(t,x) e^{-i(k...
</tex>
としておきます。
デルタ関数の積分表示、
<tex>
\delta(t-t^\prime) = \dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\inf...
\delta(x-x^\prime) = \dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\inf...
\tag{##}
</tex>
を使います。式 $(5)$ で $f(t,x) \to G(t-t^\prime,x-x^\pri...
<tex>
&\left( i \hbar \dfrac{\partial}{\partial t} + \dfrac{\hb...
&\dfrac{1}{(2 \pi)^2} \int_{-\infty}^\infty \left( i \hba...
&\int_{-\infty}^\infty \left( \hbar \omega - \dfrac{\hba...
&\left( \hbar \omega - \dfrac{\hbar^2 k^2}{2m} \right) \...
\tag{##}
</tex>
よって、フーリエ変換されたグリーン関数は次の形をしていま...
<tex>
\hat{G}(\omega,k) = \dfrac{e^{-i(kx^\prime - \omega t^\pr...
\tag{##}
</tex>
しかし、2点修正が必要です。まず、どういう訳か、式 $(4)$ ...
また、グリーン関数で今回興味があるのは遅延グリーン関数な...
<tex>
\hat{G}(\omega,k) = \dfrac{ie^{-i(kx^\prime - \omega t^\p...
\tag{##}
</tex>
が得られます。これをフーリエ逆変換をして、 $G(t-t^\prime,...
まずは、 $\omega \to t-t^\prime$ のフーリエ逆変換をします...
<tex>
G(t-t^\prime,k) = \dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty ...
\tag{##}
</tex>
ここで複素関数論の留数定理を用います。 $t-t^\prime>0$ と...
.. image :: chromel-SchrodingerGreen-01.png
<tex>
G(t-t^\prime,k)
&= \dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty \hat{G}(\omega,...
&= \dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty \dfrac{ie^{-i(k...
&= -\dfrac{1}{2 \pi} 2 \pi i \rm{Res}_{\omega \to \frac{\...
&= -i \lim_{\omega \to \frac{\hbar k^2}{2m}-i \delta} \le...
&= \lim_{\omega \to \frac{\hbar k^2}{2m}-i \delta} \left...
&= e^{-i(kx^\prime + (\frac{\hbar k^2}{2m} -i \delta) (t-...
&= e^{-\delta(t-t^\prime)} e^{-i(kx^\prime + \frac{\hbar ...
&\to e^{-i(kx^\prime + \frac{\hbar k^2}{2m}(t-t^\prime))}
\tag{##}
</tex>
ここで、ω積分を終えて役目を終えた $\delta$ の $e^{-\delta...
次に $k$ でフーリエ逆変換を行います。
<tex>
\int_{-\infty}^\infty e^{- \alpha k^2} dk = \sqrt{\dfrac{...
</tex>
を、行います。(詳しくは 虚数のガウス積分_ )
<tex>
G(t-t^\prime,x-x^\prime)
&= \dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty \hat{G}(t-t^\pr...
&= \dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty e^{i(k(x-x^\pri...
\tag{##}
</tex>
ここで、指数関数の中身を変形します。平方完成です。
<tex>
i \left( k(x-x^\prime) - \dfrac{\hbar k^2}{2m}(t-t^\prime...
&= \dfrac{-i \hbar (t-t^\prime)}{2m} \left( k - \dfrac{m(...
&= \dfrac{-i \hbar (t-t^\prime)}{2m} \left( k - \dfrac{m(...
\tag{##}
</tex>
二乗の中身は、式 $(13)$ のガウス積分で、実数のずれを無視...
また、平方完成のおつりは残ります。
<tex>
G(t-t^\prime,x-x^\prime)
&= \dfrac{1}{2 \pi} \sqrt{\dfrac{2 \pi m}{i \hbar (t-t^\p...
&= \sqrt{\dfrac{m}{2 \pi i \hbar (t-t^\prime)}} e^{\frac{...
\tag{##}
</tex>
これで一段落です。
次に $t-t^\prime<0$ ですが、これは簡単です。 $\omega$ 複...
<tex>
G(t-t^\prime,x-x^\prime) &=
\begin{cases}
\sqrt{\dfrac{m}{2 \pi i \hbar (t-t^\prime)}} e^{\frac{im(...
0 \ \ (t-t^\prime < 0)
\end{cases}
\tag{##}
</tex>
一次元のグリーン関数の解釈
===============================
ここで、解の検証です。 $t-t^\prime > 0 $ を固定しましょう。
すると、正規分布関数 $s(x)$ として、
<tex>
s(x) = N e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}} \tag{##}
</tex>
に近いことが分かります。 $N$ は規格化定数です。分布の中心...
一方、グリーン関数の指数部分 $e^{\frac{im(x-x^\prime)^2}{...
<tex>
&e^{\frac{i}{\hbar}\frac{m (x-x\prime)^2}{2(t-t^\prime)}}...
&= e^{\dfrac{i(x-x^\prime)^2}{2 \hbar (t-t^\prime)/m}}
\tag{##}
</tex>
となります。これは、最初に粒子が存在していた点 $x = x^\pr...
となると、式 $(18)$ も $(19)$ も指数の肩の値の分子が0に...
つまり、式 $(19)$ の電子雲の広がりは $\sqrt{\dfrac{\hbar ...
また、 $t-t^\prime>0$ を一つ固定し、 $x:-\infty \to \inft...
<tex>
&\sqrt{\dfrac{m}{2 \pi i \hbar (t-t^\prime)}} \int_{-\inf...
&= \sqrt{\dfrac{m}{2 \pi i \hbar (t-t^\prime)}} \sqrt{\df...
&= 1
\tag{##}
</tex>
の様に、常に(位相が無く実数で)1です。これは、 $t-t^\pr...
ここで、波動関数の時間発展を考えてみましょう。 $t$ と $t^...
<tex>
\psi(t,x) = \int_{-\infty}^\infty dx^\prime G(t-t^\prime,...
</tex>
となります。この積分は畳み込みと呼ばれます。
イメージを鮮明に伝える力は僕にはありませんが、つじつまが...
例えば、式 $(17)$ の規格化定数 $\sqrt{\dfrac{m}{2 \pi i \...
<tex>
\psi(t,x) = \int_{-\infty}^\infty dx^\prime \delta(t-t^\p...
</tex>
となり、デルタ関数の性質から $t=t^\prime$ 、 $x=x^\prime$...
では、 $t$ を増大させていくとどうなるでしょう?式 $(19)$ ...
元々の恒等変換で位相は変化していなかったので、そこからの ...
<tex>
\phi(t^\prime,x^\prime) = \phi_0 e^{i(kx^\prime-\omega t^...
</tex>
の微小時間後の波動関数 $\phi(t,x)$ の $x=x^\prime$ と正(...
この様に、ある時点での波動関数が分かっていると、その後の...
老婆心ながら、前者の符号はなぜこうなのかを述べておくと、 ...
三次元の場合
==================
最後に三次元の場合に拡張した結果を見ておきましょう。
これは、フビニの定理などで、一次元 $x$ の要素を単純に三次...
つまり、
<tex>
G(t-t^\prime,\bm{x}-\bm{x}^\prime) =
\begin{cases}
\left( \dfrac{m}{2 \pi i \hbar (t-t^\prime)}\right)^{3/2}...
0 \ \ (t-t^\prime < 0)
\end{cases}
\tag{##}
</tex>
以上で、シュレーディンガー方程式のグリーン関数を求める計...
今日はここまで、お疲れさまでした!
.. _こちら: http://www.asahi-net.or.jp/~fu5k-mths/pdf/sat...
.. _虚数のガウス積分: http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/i...
.. _リーマンルベーグの補題: https://ja.wikipedia.org/wiki...
@@reference: R.P.ファインマン/A.R.ヒッブス共著 北原和夫訳...
@@author:クロメル@@
@@accept:2020-03-01@@
@@category:量子力学@@
@@id:SchrodingerGreen@@
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