物理のかぎプロジェクト

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#rst2hooktail_source =========================================================... グリーン関数を理解しよう(相関関数の計算) =========================================================... これからいくつかの記事を通して、 物性物理で扱われる絶対零度におけるグリーン関数の理解を目... いくつかの定理などの証明は省略して、要点の俯瞰をする方針... 参考文献として、下に書くMahan先生の本を挙げて おきます。このシリーズでは $\hbar=1$ とします。 前の記事は 相互作用表示とS行列_ です。 次の記事は 電子とフォノン_ です。( 目次_ ) グリーン関数の意味 =========================== （典型的なフェルミオンである）電子のグリーン関数を挙げま... <tex> G(\lambda, t-t^\prime) = -i \langle | T C_\lambda(t) C^\d... </tex> ここで、 $\lambda$ は粒子を特徴づける量子数（主に運動量と... <tex> C_\lambda(t) = e^{iHt} C_\lambda e^{-iHt} \tag{##} </tex> はハイゼンベルク表示での粒子の消滅演算子です。そして $C^\... 式 $(1)$ は階段関数 <tex> \Theta(t) = \begin{cases} 0 \ \ \ \ \ (t<0) \\ 1/2 \ \ \ \ \ (t=0) \\ 1 \ \ \ \ \ (t>0) \\ \end{cases} \tag{##} </tex> を用いて、 <tex> G(\lambda, t-t^\prime) &= -i \Theta(t-t^\prime) \langle | C_\lambda(t) C^\dagger... &+ i \Theta(t^\prime-t) \langle | C^\dagger_\lambda(t^\pr... \tag{##} </tex> とも書けます。 第一項を考えましょう。この時 $t>t^\prime$ です。 <tex> G(\lambda, t>t^\prime) = -i \langle | C_\lambda(t) C^\dag... \tag{##} </tex> これは $t = t^\prime$ において基底状態に状態 $\lambda$ の... その後の $t=t$ において、電子を消滅させることを意味してい... ゲルマン・ロウの相関関数 ========================== さて、 前回_ のゲルマン・ロウの定理を思い出しましょう。再... <tex> \psi(0) = S(0,-\infty) \phi_0 \tag{##} </tex> というものでした。 また、位相因子 <tex> e^{iL} \phi_0 &= \hat{\psi}(\infty) = S(\infty,0) \psi(0)... e^{iL} &= \langle \phi_0 |S(\infty,-\infty)| \phi_0 \rangle \tag{##} </tex> も使うので書いておきます。 これを $| \rangle = \psi(0)$ 、 $| \rangle_0 = \phi_0$ と... <tex> | \rangle &= S(0,-\infty) | \rangle_0 \\ \tag{##} </tex> となります。 そして、 $G(\lambda,t-t^\prime)$ を書き直すにあたって、演... <tex> C_\lambda(t) &= e^{iHt} C_\lambda e^{-iHt} \\ &= e^{iHt} e^{-iH_0t} \hat{C}_\lambda e^{iH_0t} e^{-iHt} \\ &= U^\dagger(t) \hat{C}_\lambda(t) U(t) \\ &= S(0,t) \hat{C}_\lambda(t) S(t,0) \tag{##} </tex> となります。すると、 <tex> G(\lambda,t-t^\prime) &= -i \Theta(t-t^\prime) \ _0 \langle | S(-\infty,0) S(0,... &+ i \Theta(t^\prime-t) \ _0 \langle | S(-\infty,0) S(0, ... \tag{##} </tex> と書けます。さらに変形していきましょう。式 $(7)$ と $(8)$... <tex> &e^{iL}| \rangle_0 = S(\infty,-\infty) | \rangle_0 \\ &\ _0 \langle | e^{-iL} = \ _0 \langle |S^\dagger(\infty,... &e^{-iL} \ _0 \langle | S(\infty,-\infty) = \ _0 \langle ... &_0 \langle | = e^{-iL} \ _0 \langle| S(\infty,-\infty) \\ &e^{iL} =_0 \langle | S(\infty,-\infty) | \rangle_0 \tag{##} </tex> が言えるので、 <tex> _0 \langle | S(-\infty,0) &= e^{-iL} \ _0 \langle | S(\infty,-\infty) S(-\infty,0) \\ &= e^{-iL} \ _0 \langle | S(\infty,0) \\ &= \dfrac{_0 \langle S(\infty,0)}{_0 \langle | S(\infty,-... \tag{##} </tex> も言えます。すると、グリーン関数は、 <tex> G(\lambda,t-t^\prime) &= \dfrac{-i}{_0 \langle | S(\infty,-\infty) | \rangle_0}... &- \Theta(t^\prime-t) \ _0 \langle | S(\infty,t^\prime) \... \tag{##} </tex> ここで時間順序積の強力さを思い知らされます。 第一項は、 <tex> &\Theta(t-t^\prime) \ _0 \langle | S(\infty,t) \hat{C}_\l... &\ \ \ \ = \Theta(t-t^\prime) \ _0 \langle |T \hat{C}_\la... \tag{##} </tex> となります。実際には $S(\infty,-\infty)$ には $t=t,t^\pri... <tex> G(\lambda,t-t^\prime) &= -i \dfrac{_0 \langle | T \hat{C}_\lambda(t) \hat{C}^\d... \tag{##} </tex> これを Wikipedia_ では相関関数と呼んでいます。 ここで $S$ や $U$ による時間発展は相互作用表示によるもの... 表示が統一されていることにご注意ください。 グリーン関数と確率 ======================== ここで最後に量子力学の復習をしましょう。状態 $| \lambda_i... この時、 $\lambda_i$ が完全系を張るなら、 $1 = \sum_i | \... を使って、任意の状態 $| \Phi \rangle$ は <tex> | \Phi \rangle &= \sum_i | \lambda_i \rangle \langle \lambda_i | \phi \... &= \sum_i a_i | \lambda_i \rangle \tag{##} </tex> と展開されます。この $\Phi$ の中に $| \lambda_i \rangle$ ... <tex> \left| \langle \lambda_i | \Phi \rangle \right|^2= |a_i|^2 \tag{##} </tex> となるのでした。マタック（下参考文献）の議論をお借りしま... 式 $(4)$ を見てみましょう。 $|-i|=|i|=1$ であり、 <tex> \left| G(\lambda, t-t^\prime) \right|^2 &= \left| -i \Theta(t-t^\prime) \langle | C_\lambda(t) C^... &= \left| -i \Theta(t-t^\prime) \langle | e^{iHt} C_\lamb... &= \Theta(t-t^\prime) \left| \langle | e^{iHt} C_\lambda ... &+ \Theta(t^\prime-t) \left| \langle | e^{iHt^\prime} C^... \tag{##} </tex> ここで、クロスタームの $\Theta(t-t^\prime)\Theta(t^\prime... （一応、積分時に $\Theta$ 同士の積は測度０だと言えますが... <tex> \Theta(t) = \begin{cases} 0 \ \ \ \ \ (t \leq 0) \\ 1 \ \ \ \ \ (t > 0) \end{cases} \tag{##} </tex> とした方が、 $\Theta(t-t^\prime)\Theta(t^\prime-t) = 0$ ... さて最終辺の第一項を考えましょう。この時、 $t>t^\prime$ ... <tex> e^{-iH(t-t^\prime)} C^\dagger_\lambda e^{-iHt^\prime} | \... </tex> の意味です。一方、 $\langle | e^{iHt} C_\lambda$ の解釈を... <tex> C^\dagger_\lambda e^{-iHt} | \rangle \tag{##} </tex> ですから、時刻 $t$ において粒子 $\lambda$ を加えた状態で... つまり、 <tex> \langle | e^{iHt} C_\lambda e^{-iH(t-t^\prime)} C^\dagger... </tex> は $t^\prime$ で加えられた基底状態中の粒子 $\lambda$ が時... 最終辺の第二項も同様に基底状態から粒子 $\lambda$ を消す(... 結局、これらは後に説明する( こちら_ )ホールを時間に逆行す... どちらの過程も $t^\prime$ から $t$ へ向かう矢印に関する確... こういうグリーン関数の様な量は物理では非常に重要な量です。 .. image :: chromel-studyGreen02-01.png もし本来 $H_0$ の固有状態である $| \lambda \rangle$ が $H... （また、 $| \rangle$ もまた $H$ の基底状態であり、つまり... この時、 $H |\lambda \rangle = \varepsilon_\lambda | \lam... 、 $H | \rangle = \varepsilon_0 | \rangle$ ですから、 <tex> G(\lambda, t>t^\prime) = -i \exp [-i(t-t^\prime)(\varepsi... \tag{##} </tex> となり、 $|G(\lambda, t>t^\prime)|=1$ より、位相が変わる... 今日はここまで、お疲れ様でした。 次の記事は 電子とフォノン_ です。 .. _目次: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreenIndex/ .. _前回: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreen01/ .. _相互作用表示とS行列: http://hooktail.sub.jp/quantum/s... .. _Wikipedia: https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3... .. _電子とフォノン: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyG... .. _こちら: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreen05/ @@reference: Gerald D.Mahan, Many-Particle Physics Third ... @@reference: Richard D.Mattuck, A Guide to Feynman Diagra... @@author:クロメル@@ @@accept:2020-05-05@@ @@category:量子力学@@ @@id:studyGreen02@@

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#rst2hooktail_source =========================================================... グリーン関数を理解しよう(相関関数の計算) =========================================================... これからいくつかの記事を通して、 物性物理で扱われる絶対零度におけるグリーン関数の理解を目... いくつかの定理などの証明は省略して、要点の俯瞰をする方針... 参考文献として、下に書くMahan先生の本を挙げて おきます。このシリーズでは $\hbar=1$ とします。 前の記事は 相互作用表示とS行列_ です。 次の記事は 電子とフォノン_ です。( 目次_ ) グリーン関数の意味 =========================== （典型的なフェルミオンである）電子のグリーン関数を挙げま... <tex> G(\lambda, t-t^\prime) = -i \langle | T C_\lambda(t) C^\d... </tex> ここで、 $\lambda$ は粒子を特徴づける量子数（主に運動量と... <tex> C_\lambda(t) = e^{iHt} C_\lambda e^{-iHt} \tag{##} </tex> はハイゼンベルク表示での粒子の消滅演算子です。そして $C^\... 式 $(1)$ は階段関数 <tex> \Theta(t) = \begin{cases} 0 \ \ \ \ \ (t<0) \\ 1/2 \ \ \ \ \ (t=0) \\ 1 \ \ \ \ \ (t>0) \\ \end{cases} \tag{##} </tex> を用いて、 <tex> G(\lambda, t-t^\prime) &= -i \Theta(t-t^\prime) \langle | C_\lambda(t) C^\dagger... &+ i \Theta(t^\prime-t) \langle | C^\dagger_\lambda(t^\pr... \tag{##} </tex> とも書けます。 第一項を考えましょう。この時 $t>t^\prime$ です。 <tex> G(\lambda, t>t^\prime) = -i \langle | C_\lambda(t) C^\dag... \tag{##} </tex> これは $t = t^\prime$ において基底状態に状態 $\lambda$ の... その後の $t=t$ において、電子を消滅させることを意味してい... ゲルマン・ロウの相関関数 ========================== さて、 前回_ のゲルマン・ロウの定理を思い出しましょう。再... <tex> \psi(0) = S(0,-\infty) \phi_0 \tag{##} </tex> というものでした。 また、位相因子 <tex> e^{iL} \phi_0 &= \hat{\psi}(\infty) = S(\infty,0) \psi(0)... e^{iL} &= \langle \phi_0 |S(\infty,-\infty)| \phi_0 \rangle \tag{##} </tex> も使うので書いておきます。 これを $| \rangle = \psi(0)$ 、 $| \rangle_0 = \phi_0$ と... <tex> | \rangle &= S(0,-\infty) | \rangle_0 \\ \tag{##} </tex> となります。 そして、 $G(\lambda,t-t^\prime)$ を書き直すにあたって、演... <tex> C_\lambda(t) &= e^{iHt} C_\lambda e^{-iHt} \\ &= e^{iHt} e^{-iH_0t} \hat{C}_\lambda e^{iH_0t} e^{-iHt} \\ &= U^\dagger(t) \hat{C}_\lambda(t) U(t) \\ &= S(0,t) \hat{C}_\lambda(t) S(t,0) \tag{##} </tex> となります。すると、 <tex> G(\lambda,t-t^\prime) &= -i \Theta(t-t^\prime) \ _0 \langle | S(-\infty,0) S(0,... &+ i \Theta(t^\prime-t) \ _0 \langle | S(-\infty,0) S(0, ... \tag{##} </tex> と書けます。さらに変形していきましょう。式 $(7)$ と $(8)$... <tex> &e^{iL}| \rangle_0 = S(\infty,-\infty) | \rangle_0 \\ &\ _0 \langle | e^{-iL} = \ _0 \langle |S^\dagger(\infty,... &e^{-iL} \ _0 \langle | S(\infty,-\infty) = \ _0 \langle ... &_0 \langle | = e^{-iL} \ _0 \langle| S(\infty,-\infty) \\ &e^{iL} =_0 \langle | S(\infty,-\infty) | \rangle_0 \tag{##} </tex> が言えるので、 <tex> _0 \langle | S(-\infty,0) &= e^{-iL} \ _0 \langle | S(\infty,-\infty) S(-\infty,0) \\ &= e^{-iL} \ _0 \langle | S(\infty,0) \\ &= \dfrac{_0 \langle S(\infty,0)}{_0 \langle | S(\infty,-... \tag{##} </tex> も言えます。すると、グリーン関数は、 <tex> G(\lambda,t-t^\prime) &= \dfrac{-i}{_0 \langle | S(\infty,-\infty) | \rangle_0}... &- \Theta(t^\prime-t) \ _0 \langle | S(\infty,t^\prime) \... \tag{##} </tex> ここで時間順序積の強力さを思い知らされます。 第一項は、 <tex> &\Theta(t-t^\prime) \ _0 \langle | S(\infty,t) \hat{C}_\l... &\ \ \ \ = \Theta(t-t^\prime) \ _0 \langle |T \hat{C}_\la... \tag{##} </tex> となります。実際には $S(\infty,-\infty)$ には $t=t,t^\pri... <tex> G(\lambda,t-t^\prime) &= -i \dfrac{_0 \langle | T \hat{C}_\lambda(t) \hat{C}^\d... \tag{##} </tex> これを Wikipedia_ では相関関数と呼んでいます。 ここで $S$ や $U$ による時間発展は相互作用表示によるもの... 表示が統一されていることにご注意ください。 グリーン関数と確率 ======================== ここで最後に量子力学の復習をしましょう。状態 $| \lambda_i... この時、 $\lambda_i$ が完全系を張るなら、 $1 = \sum_i | \... を使って、任意の状態 $| \Phi \rangle$ は <tex> | \Phi \rangle &= \sum_i | \lambda_i \rangle \langle \lambda_i | \phi \... &= \sum_i a_i | \lambda_i \rangle \tag{##} </tex> と展開されます。この $\Phi$ の中に $| \lambda_i \rangle$ ... <tex> \left| \langle \lambda_i | \Phi \rangle \right|^2= |a_i|^2 \tag{##} </tex> となるのでした。マタック（下参考文献）の議論をお借りしま... 式 $(4)$ を見てみましょう。 $|-i|=|i|=1$ であり、 <tex> \left| G(\lambda, t-t^\prime) \right|^2 &= \left| -i \Theta(t-t^\prime) \langle | C_\lambda(t) C^... &= \left| -i \Theta(t-t^\prime) \langle | e^{iHt} C_\lamb... &= \Theta(t-t^\prime) \left| \langle | e^{iHt} C_\lambda ... &+ \Theta(t^\prime-t) \left| \langle | e^{iHt^\prime} C^... \tag{##} </tex> ここで、クロスタームの $\Theta(t-t^\prime)\Theta(t^\prime... （一応、積分時に $\Theta$ 同士の積は測度０だと言えますが... <tex> \Theta(t) = \begin{cases} 0 \ \ \ \ \ (t \leq 0) \\ 1 \ \ \ \ \ (t > 0) \end{cases} \tag{##} </tex> とした方が、 $\Theta(t-t^\prime)\Theta(t^\prime-t) = 0$ ... さて最終辺の第一項を考えましょう。この時、 $t>t^\prime$ ... <tex> e^{-iH(t-t^\prime)} C^\dagger_\lambda e^{-iHt^\prime} | \... </tex> の意味です。一方、 $\langle | e^{iHt} C_\lambda$ の解釈を... <tex> C^\dagger_\lambda e^{-iHt} | \rangle \tag{##} </tex> ですから、時刻 $t$ において粒子 $\lambda$ を加えた状態で... つまり、 <tex> \langle | e^{iHt} C_\lambda e^{-iH(t-t^\prime)} C^\dagger... </tex> は $t^\prime$ で加えられた基底状態中の粒子 $\lambda$ が時... 最終辺の第二項も同様に基底状態から粒子 $\lambda$ を消す(... 結局、これらは後に説明する( こちら_ )ホールを時間に逆行す... どちらの過程も $t^\prime$ から $t$ へ向かう矢印に関する確... こういうグリーン関数の様な量は物理では非常に重要な量です。 .. image :: chromel-studyGreen02-01.png もし本来 $H_0$ の固有状態である $| \lambda \rangle$ が $H... （また、 $| \rangle$ もまた $H$ の基底状態であり、つまり... この時、 $H |\lambda \rangle = \varepsilon_\lambda | \lam... 、 $H | \rangle = \varepsilon_0 | \rangle$ ですから、 <tex> G(\lambda, t>t^\prime) = -i \exp [-i(t-t^\prime)(\varepsi... \tag{##} </tex> となり、 $|G(\lambda, t>t^\prime)|=1$ より、位相が変わる... 今日はここまで、お疲れ様でした。 次の記事は 電子とフォノン_ です。 .. _目次: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreenIndex/ .. _前回: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreen01/ .. _相互作用表示とS行列: http://hooktail.sub.jp/quantum/s... .. _Wikipedia: https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3... .. _電子とフォノン: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyG... .. _こちら: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreen05/ @@reference: Gerald D.Mahan, Many-Particle Physics Third ... @@reference: Richard D.Mattuck, A Guide to Feynman Diagra... @@author:クロメル@@ @@accept:2020-05-05@@ @@category:量子力学@@ @@id:studyGreen02@@

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