物理のかぎプロジェクト

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#rst2hooktail_source =========================================================... グリーン関数を理解しよう(ファインマンダイアグラム) =========================================================... これからいくつかの記事を通して、 物性物理で扱われる絶対零度におけるグリーン関数の理解を目... いくつかの定理などの証明は省略して、要点の俯瞰をする方針... 参考文献として、下に書くMahan先生の本を挙げて おきます。このシリーズでは $\hbar=1$ とします。 前の記事は ウィックの定理_ です。 次の記事は ダイソン方程式と自己エネルギー_ です。( 目次_ ) 基本的対応 ============================== この記事ではファインマンダイアグラムを学びます。 まず、 前回_ の最後の式を思い出しましょう。 再掲すると、 <tex> G(\bm{p},t-t^\prime) &= G^{(0)}(\bm{p},t-t^\prime) + \dfrac{(-i)^3}{2!} \int_{... &\times \sum_{\bm{k}_1 \bm{k}_2 s s^\prime} \ _0 \langle ... \tag{##} </tex> という、相互作用のあるグリーン関数の自由なグリーン関数の... <tex> &_0 \langle | T \hat{C}_{\bm{p} \sigma}(t) \hat{C}^\dagge... &= i^3 \delta_{\bm{p} = \bm{k}_2 = \bm{k}_1 + \bm{q}_1} \... &+ i^3 \delta_{\bm{p} = \bm{k}_1 = \bm{k}_2 - \bm{q}_1} \... &+ i^2 \delta_{\bm{q}_1 = 0} \delta_{\bm{p} = \bm{k}_1} \... &+ i^2 \delta_{\bm{q}_1 = 0} \delta_{\bm{p} = \bm{k}_2} \... &+ i \delta_{\bm{q}_1 = 0} \delta_{\bm{q}_2 = 0} n_F(\xi_... &- i^3 \delta_{\bm{k}_1 = \bm{k}_2 - \bm{q}_1} \delta_{s^... \tag{##} </tex> というものです。ここにさらにフォノンの自由グリーン関数が... <tex> &_0 \langle | T \hat{A}_{\bm{q}_1}(t_1) \hat{A}_{\bm{q}_2... &= i \delta_{\bm{q}_1+\bm{q}_2} D^{(0)}(\bm{q}_1,t_1-t_2) \tag{##} </tex> 今回はこの式 $(2)$ をダイアグラムで表すことをします。 それは、粒子の振る舞いを下図の様に対応させる手法です。 .. image :: chromel-studyGreen05-01.png 一番上の実線は自由な電子グリーン関数です。 矢印が時間の流れ（左から右）へ付いているのは電子、 逆行しているのは反粒子である陽電子です。 二番目の点線は自由なフォノングリーン関数です。 この $D^{(0)}(\bm{q},t-t^\prime)$ に矢印は付けません。 というのは、、 <tex> D^{(0)}(\bm{q},t-t^\prime) = D^{(0)}(-\bm{q},t^\prime-t) \tag{##} </tex> と書けるので、 $\bm{q}$ の符号は本質でないからです。 三番目は電子線のループです。 同時刻の真空期待値 $_0 \langle | T \hat{C}^\dagger(t) \ha... 粒子数演算子であることと関係があることが言えるはずですが、 どうしてループと粒子数が関係するのか私は知りません。 最後はクーロン反発です。 $v_{\bm{q}} = \dfrac{4 \pi e^2}{... のことですね。これはこの話においては同時刻に放出と吸収が... 力が瞬間に伝わるという近似です。 なお、必ずしも $t>t^\prime$ ではありません。 $t<t^\prime$... 時間を粒子が逆行する反粒子だと考えます。 個々のダイアグラム対応 ============================ 以上を式 $(1)$ に対応させた図を載せていきます。 図1(a)． .. image :: chromel-studyGreen05-02.png 図1(b) .. image :: chromel-studyGreen05-03.png 図1(c) .. image :: chromel-studyGreen05-04.png 図1(d) .. image :: chromel-studyGreen05-05.png 図1(e) .. image :: chromel-studyGreen05-06.png 図1(f) .. image :: chromel-studyGreen05-07.png さて、図(c),(d),(e)では波数ゼロのフォノンが出てきます。 しかし、 $\bm{q}=\bm{0}$ のフォノンは存在しません。 よって、この項からの寄与はゼロと考えます。 しいていえば、結晶の並進や恒久的なストレスのことですが、 ハミルトニアンには関係しません。 よって、 前回_ の電子-フォノン相互作用の式 $(2)$ の 和からは、 $\bm{q}=\bm{0}$ は除かれるべきだそうです。 その和とは再掲しておくと、 <tex> \hat{V}(t) = \sum_{\bm{q}\bm{k}s} M_{\bm{q}} A_{\bm{q}} C... \tag{##} </tex> のことです。 図(a),(b)はまとめて考えると、 <tex> \dfrac{1}{2!} &\int_{-\infty}^\infty dt_1 \int_{-\infty}^... |M_{\bm{q}}|^2 D^{(0)}(\bm{q},t_1-t_2) \\ &\times[G^{(0)}(\bm{p},t-t_1)G^{(0)}(\bm{p}-\bm{q},t_1-t_... &+G^{(0)}(\bm{p},t-t_2)G^{(0)}(\bm{p}+\bm{q},t_2-t_1)G^{(... \tag{##} </tex> 今、この二つの項はパラメータ $t_1,t_2$ の入れ替えで移り変... <tex> D^{(0)}(\bm{q},t_1-t_2) = D^{(0)}(-\bm{q},t_2-t_1) \tag{##} </tex> を考えると、全く同じ寄与だと分かります。 つまり、この前の因子 $\dfrac{1}{2!}$ が $1$ に変わります。 図(f)は、 <tex> G^{(0)}(\bm{p},t-t^\prime) F_1 \tag{##} </tex> という寄与になります。ここで、 $F_1$ は <tex> F_1 &= \dfrac{-i}{2!} \int_{-\infty}^\infty dt_1 \int_{-\... |M_{\bm{q}}|^2 D^{(0)}(\bm{q},t_1-t_2) \\ &\times G^{(0)}(\bm{k},t_1-t_2) G^{(0)}(\bm{k}+\bm{q},t_2... \tag{##} </tex> という（無限大の）定数因子です。 真空偏極項とキャンセル定理 ================================ この図(f)の様につながっていないグラフを非連結グラフと言い... そして、 $t$ か $t^\prime$ とつながっている電子線が外線と... その閉じたループで外線とつながっていない部分をバブルと言... もっと高次の非連結グラフ $F_j$ もあります。それらもやはり... それらをトータルしたものを $F$ とします。ゼロ次の自由なグ... <tex> F = \sum_{j=0}^\infty F_j \tag{##} </tex> となります。ここでウィックの定理を思い出しましょう。 相互作用のあるグリーン関数とその分母 $_0\langle |S(\infty... <tex> i G(\bm{p},t-t^\prime) &= \dfrac{_0 \langle | T \hat{C}_{... &= \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-i)^{n}}{n!} \int_{-\infty}^... \tag{##} </tex> と、 <tex> _0 \langle |S(\infty,-\infty) | \rangle_0 &= \sum_{n=0}^\... \tag{##} </tex> です。この $_0 \langle |S(\infty,-\infty) | \rangle_0$ の... よくよく考えてみると、グリーン関数の内で $t$ を含むものと... 図2 .. image :: chromel-studyGreen05-08.png すると、これは図2を見ると、 <tex> &_0 \langle | T \hat{C}_{\bm{p}}(t) \hat{C}^\dagger_{\bm{... &=iG(\bm{p},t-t^\prime) _0 \langle | S(\infty,-\infty) | ... &=iG_c(\bm{p},t-t^\prime) _0 \langle | S(\infty,-\infty) ... \tag{##} </tex> つまり、 <tex> G(\bm{p},t-t^\prime) = G_c(\bm{p},t-t^\prime) \tag{##} </tex> がいえることになります。はて、何が嬉しいの？と仰る方もい... これは凄いことです。同じ結果を得るのに、連結なものだけを... こうして、相互作用のあるグリーン関数 $G(\bm{p},t-t^\prime... トポロジー的分類 ======================== 先ほど図(a),(b)は等しい事が言えましたね。 同様に $n$ 次の連結な摂動はパラメータの置き換えが $n!$ 通... つまり、 <tex> G(\bm{p},t-t^\prime) &= -i \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-i)^{n}}{n!} \int_{-\inft... &= -i \sum_{n=0}^\infty (-i)^{n} \int_{-\infty}^\infty dt... \tag{##} </tex> これもまた計算の手間を簡略化してくれることです。 今日はここまで、お疲れ様でした。 次の記事は ダイソン方程式と自己エネルギー_ です。 .. _目次: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreenIndex/ .. _前回: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreen04/ .. _ウィックの定理: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyG... .. _ダイソン方程式と自己エネルギー: http://hooktail.sub.j... @@reference: Gerald D.Mahan, Many-Particle Physics Third ... @@author:クロメル@@ @@accept:2020-05-06@@ @@category:量子力学@@ @@id:studyGreen05@@

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#rst2hooktail_source =========================================================... グリーン関数を理解しよう(ファインマンダイアグラム) =========================================================... これからいくつかの記事を通して、 物性物理で扱われる絶対零度におけるグリーン関数の理解を目... いくつかの定理などの証明は省略して、要点の俯瞰をする方針... 参考文献として、下に書くMahan先生の本を挙げて おきます。このシリーズでは $\hbar=1$ とします。 前の記事は ウィックの定理_ です。 次の記事は ダイソン方程式と自己エネルギー_ です。( 目次_ ) 基本的対応 ============================== この記事ではファインマンダイアグラムを学びます。 まず、 前回_ の最後の式を思い出しましょう。 再掲すると、 <tex> G(\bm{p},t-t^\prime) &= G^{(0)}(\bm{p},t-t^\prime) + \dfrac{(-i)^3}{2!} \int_{... &\times \sum_{\bm{k}_1 \bm{k}_2 s s^\prime} \ _0 \langle ... \tag{##} </tex> という、相互作用のあるグリーン関数の自由なグリーン関数の... <tex> &_0 \langle | T \hat{C}_{\bm{p} \sigma}(t) \hat{C}^\dagge... &= i^3 \delta_{\bm{p} = \bm{k}_2 = \bm{k}_1 + \bm{q}_1} \... &+ i^3 \delta_{\bm{p} = \bm{k}_1 = \bm{k}_2 - \bm{q}_1} \... &+ i^2 \delta_{\bm{q}_1 = 0} \delta_{\bm{p} = \bm{k}_1} \... &+ i^2 \delta_{\bm{q}_1 = 0} \delta_{\bm{p} = \bm{k}_2} \... &+ i \delta_{\bm{q}_1 = 0} \delta_{\bm{q}_2 = 0} n_F(\xi_... &- i^3 \delta_{\bm{k}_1 = \bm{k}_2 - \bm{q}_1} \delta_{s^... \tag{##} </tex> というものです。ここにさらにフォノンの自由グリーン関数が... <tex> &_0 \langle | T \hat{A}_{\bm{q}_1}(t_1) \hat{A}_{\bm{q}_2... &= i \delta_{\bm{q}_1+\bm{q}_2} D^{(0)}(\bm{q}_1,t_1-t_2) \tag{##} </tex> 今回はこの式 $(2)$ をダイアグラムで表すことをします。 それは、粒子の振る舞いを下図の様に対応させる手法です。 .. image :: chromel-studyGreen05-01.png 一番上の実線は自由な電子グリーン関数です。 矢印が時間の流れ（左から右）へ付いているのは電子、 逆行しているのは反粒子である陽電子です。 二番目の点線は自由なフォノングリーン関数です。 この $D^{(0)}(\bm{q},t-t^\prime)$ に矢印は付けません。 というのは、、 <tex> D^{(0)}(\bm{q},t-t^\prime) = D^{(0)}(-\bm{q},t^\prime-t) \tag{##} </tex> と書けるので、 $\bm{q}$ の符号は本質でないからです。 三番目は電子線のループです。 同時刻の真空期待値 $_0 \langle | T \hat{C}^\dagger(t) \ha... 粒子数演算子であることと関係があることが言えるはずですが、 どうしてループと粒子数が関係するのか私は知りません。 最後はクーロン反発です。 $v_{\bm{q}} = \dfrac{4 \pi e^2}{... のことですね。これはこの話においては同時刻に放出と吸収が... 力が瞬間に伝わるという近似です。 なお、必ずしも $t>t^\prime$ ではありません。 $t<t^\prime$... 時間を粒子が逆行する反粒子だと考えます。 個々のダイアグラム対応 ============================ 以上を式 $(1)$ に対応させた図を載せていきます。 図1(a)． .. image :: chromel-studyGreen05-02.png 図1(b) .. image :: chromel-studyGreen05-03.png 図1(c) .. image :: chromel-studyGreen05-04.png 図1(d) .. image :: chromel-studyGreen05-05.png 図1(e) .. image :: chromel-studyGreen05-06.png 図1(f) .. image :: chromel-studyGreen05-07.png さて、図(c),(d),(e)では波数ゼロのフォノンが出てきます。 しかし、 $\bm{q}=\bm{0}$ のフォノンは存在しません。 よって、この項からの寄与はゼロと考えます。 しいていえば、結晶の並進や恒久的なストレスのことですが、 ハミルトニアンには関係しません。 よって、 前回_ の電子-フォノン相互作用の式 $(2)$ の 和からは、 $\bm{q}=\bm{0}$ は除かれるべきだそうです。 その和とは再掲しておくと、 <tex> \hat{V}(t) = \sum_{\bm{q}\bm{k}s} M_{\bm{q}} A_{\bm{q}} C... \tag{##} </tex> のことです。 図(a),(b)はまとめて考えると、 <tex> \dfrac{1}{2!} &\int_{-\infty}^\infty dt_1 \int_{-\infty}^... |M_{\bm{q}}|^2 D^{(0)}(\bm{q},t_1-t_2) \\ &\times[G^{(0)}(\bm{p},t-t_1)G^{(0)}(\bm{p}-\bm{q},t_1-t_... &+G^{(0)}(\bm{p},t-t_2)G^{(0)}(\bm{p}+\bm{q},t_2-t_1)G^{(... \tag{##} </tex> 今、この二つの項はパラメータ $t_1,t_2$ の入れ替えで移り変... <tex> D^{(0)}(\bm{q},t_1-t_2) = D^{(0)}(-\bm{q},t_2-t_1) \tag{##} </tex> を考えると、全く同じ寄与だと分かります。 つまり、この前の因子 $\dfrac{1}{2!}$ が $1$ に変わります。 図(f)は、 <tex> G^{(0)}(\bm{p},t-t^\prime) F_1 \tag{##} </tex> という寄与になります。ここで、 $F_1$ は <tex> F_1 &= \dfrac{-i}{2!} \int_{-\infty}^\infty dt_1 \int_{-\... |M_{\bm{q}}|^2 D^{(0)}(\bm{q},t_1-t_2) \\ &\times G^{(0)}(\bm{k},t_1-t_2) G^{(0)}(\bm{k}+\bm{q},t_2... \tag{##} </tex> という（無限大の）定数因子です。 真空偏極項とキャンセル定理 ================================ この図(f)の様につながっていないグラフを非連結グラフと言い... そして、 $t$ か $t^\prime$ とつながっている電子線が外線と... その閉じたループで外線とつながっていない部分をバブルと言... もっと高次の非連結グラフ $F_j$ もあります。それらもやはり... それらをトータルしたものを $F$ とします。ゼロ次の自由なグ... <tex> F = \sum_{j=0}^\infty F_j \tag{##} </tex> となります。ここでウィックの定理を思い出しましょう。 相互作用のあるグリーン関数とその分母 $_0\langle |S(\infty... <tex> i G(\bm{p},t-t^\prime) &= \dfrac{_0 \langle | T \hat{C}_{... &= \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-i)^{n}}{n!} \int_{-\infty}^... \tag{##} </tex> と、 <tex> _0 \langle |S(\infty,-\infty) | \rangle_0 &= \sum_{n=0}^\... \tag{##} </tex> です。この $_0 \langle |S(\infty,-\infty) | \rangle_0$ の... よくよく考えてみると、グリーン関数の内で $t$ を含むものと... 図2 .. image :: chromel-studyGreen05-08.png すると、これは図2を見ると、 <tex> &_0 \langle | T \hat{C}_{\bm{p}}(t) \hat{C}^\dagger_{\bm{... &=iG(\bm{p},t-t^\prime) _0 \langle | S(\infty,-\infty) | ... &=iG_c(\bm{p},t-t^\prime) _0 \langle | S(\infty,-\infty) ... \tag{##} </tex> つまり、 <tex> G(\bm{p},t-t^\prime) = G_c(\bm{p},t-t^\prime) \tag{##} </tex> がいえることになります。はて、何が嬉しいの？と仰る方もい... これは凄いことです。同じ結果を得るのに、連結なものだけを... こうして、相互作用のあるグリーン関数 $G(\bm{p},t-t^\prime... トポロジー的分類 ======================== 先ほど図(a),(b)は等しい事が言えましたね。 同様に $n$ 次の連結な摂動はパラメータの置き換えが $n!$ 通... つまり、 <tex> G(\bm{p},t-t^\prime) &= -i \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-i)^{n}}{n!} \int_{-\inft... &= -i \sum_{n=0}^\infty (-i)^{n} \int_{-\infty}^\infty dt... \tag{##} </tex> これもまた計算の手間を簡略化してくれることです。 今日はここまで、お疲れ様でした。 次の記事は ダイソン方程式と自己エネルギー_ です。 .. _目次: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreenIndex/ .. _前回: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreen04/ .. _ウィックの定理: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyG... .. _ダイソン方程式と自己エネルギー: http://hooktail.sub.j... @@reference: Gerald D.Mahan, Many-Particle Physics Third ... @@author:クロメル@@ @@accept:2020-05-06@@ @@category:量子力学@@ @@id:studyGreen05@@

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