記事ソース/グリーン関数を理解しよう(ダイソン方程式と自己エネルギー)
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=========================================================...
グリーン関数を理解しよう(ダイソン方程式と自己エネルギー)
=========================================================...
これからいくつかの記事を通して、
物性物理で扱われる絶対零度におけるグリーン関数の理解を目...
いくつかの定理などの証明は省略して、要点の俯瞰をする方針...
参考文献として、下に書くMahan先生の本を挙げて
おきます。このシリーズでは $\hbar=1$ とします。
前の記事は ファインマンダイアグラム_ です。
次の記事は フォトンのグリーン関数_ です。( 目次_ )
自己エネルギー
=======================
グリーン関数の通常のフーリエ変換を
<tex>
G(\bm{p},E) = \int_{-\infty}^\infty dt e^{iE(t-t^\prime)}...
\tag{##}
</tex>
とすると、自由なグリーン関数のフーリエ変換は
空バンドの場合は
<tex>
G^{(0)}(\bm{p},E) = \dfrac{1}{E-\varepsilon_{\bm{p}}+i \d...
\tag{##}
</tex>
縮退した電子ガスの場合は
<tex>
G^{(0)}(\bm{p},E) = \dfrac{1}{E-\varepsilon_{\bm{p}}+i \d...
\tag{##}
</tex>
でした。
さて、電子はその位置を移動して時間発展する時に、
自分自身と様々な相互作用を常にしています。
相互作用がない時が自由なグリーン関数なのです。
その相互作用を考慮したグリーン関数 $G(\bm{p},E)$ を
自由なグリーン関数 $G^{(0)}(\bm{p},E)$ と
自己エネルギー $\Sigma(\bm{p},E)$ のシンプルな式で表せる。
という事を示すのがこの記事の目的です。
自己エネルギーは摂動論的アプローチで無限次まで足すことで
求められます。主要部分が低次から数項で良い近似になってい...
悪い時はアプローチ方法を変えなければなりません。
表したい $G(\bm{p},E)$ を確認しておきましょう。
<tex>
G(\bm{p},E) &= -i \sum_{n=0}^\infty (-i)^n \int_{-\infty}...
&\times \ _0 \langle | T \hat{C}_{\bm{p}\sigma}(t) \hat{C...
\tag{##}
</tex>
自由なグリーン関数で表した二次の項までの展開は、
<tex>
G(\bm{p},E) &= G^{(0)}(\bm{p},E) + i \sum_{q} |M_{\bm{q}}...
&\times G^{(0)}(\bm{p},t-t_1) G^{(0)}(\bm{p}-\bm{q},t_1-t...
&\times G^{(0)}(\bm{p},t_2-t^\prime) D^{(0)}(\bm{q},t_1-t...
\tag{##}
</tex>
ここで、 $D^{(0)}(\bm{q},t_1-t_2)$ に逆フーリエ変換を用い...
<tex>
D^{(0)}(\bm{q},t) = \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d \omega...
\tag{##}
</tex>
よって、
<tex>
D^{(0)}(\bm{q},t_1-t_2) = \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d ...
\tag{##}
</tex>
だから、
<tex>
G(\bm{p},E)
&= G^{(0)}(\bm{p},E) + i \sum_{q} |M_{\bm{q}}|^2 \int_{-\...
&\times G^{(0)}(\bm{p},t-t_1) G^{(0)}(\bm{p}-\bm{q},t_1-t...
&\times G^{(0)}(\bm{p},t_2-t^\prime) \int_{-\infty}^\inft...
&= G^{(0)}(\bm{p},E) + i \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d \...
&\times \int_{-\infty}^\infty dt e^{iE(t-t_1)} G^{(0)}(\b...
&\times \int_{-\infty}^\infty dt_1 e^{i(E-\omega)(t_1 - t...
&\times \int_{-\infty}^\infty dt_2 e^{iE(t_2-t^\prime)} G...
&= G^{(0)}(\bm{p},E) + i \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d \...
&= G^{(0)}(\bm{p},E) + G^{(0)}(\bm{p},E)^2 \ i \int_{-\i...
\tag{##}
</tex>
ここで、
<tex>
\Sigma^{(1)}(\bm{p},E) = i \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d...
\tag{##}
</tex>
であり、これを1フォノン過程の自己エネルギーと言います。...
図1
.. image :: chromel-studyGreen06-01.png
次の摂動項である2フォノン過程の自己エネルギーを示すと、
図2(a)
.. image :: chromel-studyGreen06-02.png
これは、
<tex>
- \Sigma^{(1)}(\bm{p},E) G^{(0)}(\bm{p},E) \Sigma^{(1)} ...
\tag{##}
</tex>
です。
図2(b)
.. image :: chromel-studyGreen06-03.png
は、
<tex>
\Sigma^{(2b)}(\bm{p},E) &= - \int_{-\infty}^\infty \dfrac...
&\times G^{(0)}(\bm{p}-\bm{q},E-\omega) G^{(0)}(\bm{p}-\b...
\tag{##}
</tex>
であり、
図2(c)
.. image :: chromel-studyGreen06-04.png
は、
<tex>
\Sigma^{(2c)}(\bm{p},E) &= - \int_{-\infty}^\infty \dfrac...
&\times G^{(0)}(\bm{p}-\bm{q},E-\omega) G^{(0)}(\bm{p}-\b...
\tag{##}
</tex>
となります。
図2(d)
.. image :: chromel-studyGreen06-05.png
ここで、時間に逆行している(左から右に時間は流れる)電子線...
つまり、 $t_2$ で起こった電子と陽電子が対生成と $t_3$ で...
それが外線電子に影響を及ぼすと言う事です。
<tex>
\Sigma^{(2d)}(\bm{p},E) &=
- \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d \omega}{2 \pi} \sum_{q...
&\times \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d \omega^\prime}{2 \...
\tag{##}
</tex>
同時刻での電子、フォノン、陽電子の運動量和(反粒子はマイナ...
(式 $(14)$ では $t^\prime < t_1 < t_2 < t_3 < t_4 < t$ と...
<tex>
\bm{p}
&= (\bm{p} - \bm{q}) + \bm{q} \\
&= (\bm{p} - \bm{q}) - (\bm{k}- \bm{q}) +\bm{k} \\
&= (\bm{p} - \bm{q}) + \bm{q} \\
&= \bm{p}
\tag{##}
</tex>
ここまでの近似で $G(\bm{p},E)$ を表すと、
<tex>
G(\bm{p},E) = G^{(0)}\left( 1 + G^{(0)}[ \Sigma^{(1)} + \...
\tag{##}
</tex>
これを続けていくと、自己エネルギーは
<tex>
\Sigma(\bm{p},E) = \sum_{j} \Sigma^{(j)}
\tag{##}
</tex>
となります。
ダイソン方程式
=========================
ここで、テイラー展開
<tex>
\dfrac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \cdots
\tag{##}
</tex>
を利用すると、無限回の相互作用の繰り返しを挿入した式が $G...
<tex>
G(\bm{p},E) &= G^{(0)}(\bm{p},E) + G^{(0)}(\bm{p},E) \Sig...
&+ G^{(0)}(\bm{p},E) \Sigma(\bm{p},E) G^{(0)}(\bm{p},E) \...
&= \dfrac{G^{(0)}}{1 - G^{(0)}(\bm{p},E) \Sigma(\bm{p},E)}
\tag{##}
</tex>
となります。これがダイソン方程式です。
<tex>
G = G_0 + G_0 \Sigma G
\tag{##}
</tex>
とも書きます。(下図参照)
.. image :: chromel-studyGreen06-06.png
1.空バンドでのグリーン関数
------------------------------------------------------
この時、
<tex>
G^{(0)}(\bm{p},E) &= \dfrac{1}{E - \varepsilon_{\bm{p}} +...
\tag{##}
</tex>
であり、
<tex>
G(\bm{p},E) &= \dfrac{1}{E - \varepsilon_{\bm{p}} + i \de...
\tag{##}
</tex>
です。
2.縮退電子ガス(金属中)でのグリーン関数
------------------------------------------------------
この時、
<tex>
G^{(0)}(\bm{p},E) &= \dfrac{1}{E - \varepsilon_{\bm{p}} +...
\tag{##}
</tex>
であり、
<tex>
G(\bm{p},E) &= \dfrac{1}{E - \varepsilon_{\bm{p}} + i \de...
\tag{##}
</tex>
です。グリーン関数の虚部と自己エネルギーの虚部は $E > \mu...
3.フォノングリーン関数
------------------------------------------------------
この時、ダイソン方程式は、
<tex>
D^{(0)}(\bm{q},\omega) &= \dfrac{D^{(0)}(\bm{q},\omega)}{...
\tag{##}
</tex>
であり、
<tex>
D^{(0)}(\bm{q},\omega) &= \dfrac{2 \omega_{\bm{q}}}{\omeg...
\tag{##}
</tex>
でしたから、
<tex>
D(\bm{q},\omega) &= \dfrac{2 \omega_{\bm{q}}}{\omega^2 - ...
\tag{##}
</tex>
となるようです。私にはフォノン同士の相互作用がどんなもの...
今日はここまで、お疲れ様でした。
次の記事は フォトンのグリーン関数_ です。
.. _目次: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreenIndex/
.. _ファインマンダイアグラム: http://hooktail.sub.jp/quan...
.. _フォトンのグリーン関数: http://hooktail.sub.jp/quantu...
@@reference: Gerald D.Mahan, Many-Particle Physics Third ...
@@author:クロメル@@
@@accept:2020-05-11@@
@@category:量子力学@@
@@id:studyGreen06@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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グリーン関数を理解しよう(ダイソン方程式と自己エネルギー)
=========================================================...
これからいくつかの記事を通して、
物性物理で扱われる絶対零度におけるグリーン関数の理解を目...
いくつかの定理などの証明は省略して、要点の俯瞰をする方針...
参考文献として、下に書くMahan先生の本を挙げて
おきます。このシリーズでは $\hbar=1$ とします。
前の記事は ファインマンダイアグラム_ です。
次の記事は フォトンのグリーン関数_ です。( 目次_ )
自己エネルギー
=======================
グリーン関数の通常のフーリエ変換を
<tex>
G(\bm{p},E) = \int_{-\infty}^\infty dt e^{iE(t-t^\prime)}...
\tag{##}
</tex>
とすると、自由なグリーン関数のフーリエ変換は
空バンドの場合は
<tex>
G^{(0)}(\bm{p},E) = \dfrac{1}{E-\varepsilon_{\bm{p}}+i \d...
\tag{##}
</tex>
縮退した電子ガスの場合は
<tex>
G^{(0)}(\bm{p},E) = \dfrac{1}{E-\varepsilon_{\bm{p}}+i \d...
\tag{##}
</tex>
でした。
さて、電子はその位置を移動して時間発展する時に、
自分自身と様々な相互作用を常にしています。
相互作用がない時が自由なグリーン関数なのです。
その相互作用を考慮したグリーン関数 $G(\bm{p},E)$ を
自由なグリーン関数 $G^{(0)}(\bm{p},E)$ と
自己エネルギー $\Sigma(\bm{p},E)$ のシンプルな式で表せる。
という事を示すのがこの記事の目的です。
自己エネルギーは摂動論的アプローチで無限次まで足すことで
求められます。主要部分が低次から数項で良い近似になってい...
悪い時はアプローチ方法を変えなければなりません。
表したい $G(\bm{p},E)$ を確認しておきましょう。
<tex>
G(\bm{p},E) &= -i \sum_{n=0}^\infty (-i)^n \int_{-\infty}...
&\times \ _0 \langle | T \hat{C}_{\bm{p}\sigma}(t) \hat{C...
\tag{##}
</tex>
自由なグリーン関数で表した二次の項までの展開は、
<tex>
G(\bm{p},E) &= G^{(0)}(\bm{p},E) + i \sum_{q} |M_{\bm{q}}...
&\times G^{(0)}(\bm{p},t-t_1) G^{(0)}(\bm{p}-\bm{q},t_1-t...
&\times G^{(0)}(\bm{p},t_2-t^\prime) D^{(0)}(\bm{q},t_1-t...
\tag{##}
</tex>
ここで、 $D^{(0)}(\bm{q},t_1-t_2)$ に逆フーリエ変換を用い...
<tex>
D^{(0)}(\bm{q},t) = \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d \omega...
\tag{##}
</tex>
よって、
<tex>
D^{(0)}(\bm{q},t_1-t_2) = \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d ...
\tag{##}
</tex>
だから、
<tex>
G(\bm{p},E)
&= G^{(0)}(\bm{p},E) + i \sum_{q} |M_{\bm{q}}|^2 \int_{-\...
&\times G^{(0)}(\bm{p},t-t_1) G^{(0)}(\bm{p}-\bm{q},t_1-t...
&\times G^{(0)}(\bm{p},t_2-t^\prime) \int_{-\infty}^\inft...
&= G^{(0)}(\bm{p},E) + i \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d \...
&\times \int_{-\infty}^\infty dt e^{iE(t-t_1)} G^{(0)}(\b...
&\times \int_{-\infty}^\infty dt_1 e^{i(E-\omega)(t_1 - t...
&\times \int_{-\infty}^\infty dt_2 e^{iE(t_2-t^\prime)} G...
&= G^{(0)}(\bm{p},E) + i \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d \...
&= G^{(0)}(\bm{p},E) + G^{(0)}(\bm{p},E)^2 \ i \int_{-\i...
\tag{##}
</tex>
ここで、
<tex>
\Sigma^{(1)}(\bm{p},E) = i \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d...
\tag{##}
</tex>
であり、これを1フォノン過程の自己エネルギーと言います。...
図1
.. image :: chromel-studyGreen06-01.png
次の摂動項である2フォノン過程の自己エネルギーを示すと、
図2(a)
.. image :: chromel-studyGreen06-02.png
これは、
<tex>
- \Sigma^{(1)}(\bm{p},E) G^{(0)}(\bm{p},E) \Sigma^{(1)} ...
\tag{##}
</tex>
です。
図2(b)
.. image :: chromel-studyGreen06-03.png
は、
<tex>
\Sigma^{(2b)}(\bm{p},E) &= - \int_{-\infty}^\infty \dfrac...
&\times G^{(0)}(\bm{p}-\bm{q},E-\omega) G^{(0)}(\bm{p}-\b...
\tag{##}
</tex>
であり、
図2(c)
.. image :: chromel-studyGreen06-04.png
は、
<tex>
\Sigma^{(2c)}(\bm{p},E) &= - \int_{-\infty}^\infty \dfrac...
&\times G^{(0)}(\bm{p}-\bm{q},E-\omega) G^{(0)}(\bm{p}-\b...
\tag{##}
</tex>
となります。
図2(d)
.. image :: chromel-studyGreen06-05.png
ここで、時間に逆行している(左から右に時間は流れる)電子線...
つまり、 $t_2$ で起こった電子と陽電子が対生成と $t_3$ で...
それが外線電子に影響を及ぼすと言う事です。
<tex>
\Sigma^{(2d)}(\bm{p},E) &=
- \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d \omega}{2 \pi} \sum_{q...
&\times \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d \omega^\prime}{2 \...
\tag{##}
</tex>
同時刻での電子、フォノン、陽電子の運動量和(反粒子はマイナ...
(式 $(14)$ では $t^\prime < t_1 < t_2 < t_3 < t_4 < t$ と...
<tex>
\bm{p}
&= (\bm{p} - \bm{q}) + \bm{q} \\
&= (\bm{p} - \bm{q}) - (\bm{k}- \bm{q}) +\bm{k} \\
&= (\bm{p} - \bm{q}) + \bm{q} \\
&= \bm{p}
\tag{##}
</tex>
ここまでの近似で $G(\bm{p},E)$ を表すと、
<tex>
G(\bm{p},E) = G^{(0)}\left( 1 + G^{(0)}[ \Sigma^{(1)} + \...
\tag{##}
</tex>
これを続けていくと、自己エネルギーは
<tex>
\Sigma(\bm{p},E) = \sum_{j} \Sigma^{(j)}
\tag{##}
</tex>
となります。
ダイソン方程式
=========================
ここで、テイラー展開
<tex>
\dfrac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \cdots
\tag{##}
</tex>
を利用すると、無限回の相互作用の繰り返しを挿入した式が $G...
<tex>
G(\bm{p},E) &= G^{(0)}(\bm{p},E) + G^{(0)}(\bm{p},E) \Sig...
&+ G^{(0)}(\bm{p},E) \Sigma(\bm{p},E) G^{(0)}(\bm{p},E) \...
&= \dfrac{G^{(0)}}{1 - G^{(0)}(\bm{p},E) \Sigma(\bm{p},E)}
\tag{##}
</tex>
となります。これがダイソン方程式です。
<tex>
G = G_0 + G_0 \Sigma G
\tag{##}
</tex>
とも書きます。(下図参照)
.. image :: chromel-studyGreen06-06.png
1.空バンドでのグリーン関数
------------------------------------------------------
この時、
<tex>
G^{(0)}(\bm{p},E) &= \dfrac{1}{E - \varepsilon_{\bm{p}} +...
\tag{##}
</tex>
であり、
<tex>
G(\bm{p},E) &= \dfrac{1}{E - \varepsilon_{\bm{p}} + i \de...
\tag{##}
</tex>
です。
2.縮退電子ガス(金属中)でのグリーン関数
------------------------------------------------------
この時、
<tex>
G^{(0)}(\bm{p},E) &= \dfrac{1}{E - \varepsilon_{\bm{p}} +...
\tag{##}
</tex>
であり、
<tex>
G(\bm{p},E) &= \dfrac{1}{E - \varepsilon_{\bm{p}} + i \de...
\tag{##}
</tex>
です。グリーン関数の虚部と自己エネルギーの虚部は $E > \mu...
3.フォノングリーン関数
------------------------------------------------------
この時、ダイソン方程式は、
<tex>
D^{(0)}(\bm{q},\omega) &= \dfrac{D^{(0)}(\bm{q},\omega)}{...
\tag{##}
</tex>
であり、
<tex>
D^{(0)}(\bm{q},\omega) &= \dfrac{2 \omega_{\bm{q}}}{\omeg...
\tag{##}
</tex>
でしたから、
<tex>
D(\bm{q},\omega) &= \dfrac{2 \omega_{\bm{q}}}{\omega^2 - ...
\tag{##}
</tex>
となるようです。私にはフォノン同士の相互作用がどんなもの...
今日はここまで、お疲れ様でした。
次の記事は フォトンのグリーン関数_ です。
.. _目次: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreenIndex/
.. _ファインマンダイアグラム: http://hooktail.sub.jp/quan...
.. _フォトンのグリーン関数: http://hooktail.sub.jp/quantu...
@@reference: Gerald D.Mahan, Many-Particle Physics Third ...
@@author:クロメル@@
@@accept:2020-05-11@@
@@category:量子力学@@
@@id:studyGreen06@@
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