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=========================================================...
グリーン関数を理解しよう(ウィックの定理)
=========================================================...
これからいくつかの記事を通して、
物性物理で扱われる絶対零度におけるグリーン関数の理解を目...
いくつかの定理などの証明は省略して、要点の俯瞰をする方針...
参考文献として、下に書くMahan先生の本を挙げて
おきます。このシリーズでは $\hbar=1$ とします。
前の記事は 電子とフォノンのグリーン関数_ です。
次の記事は ファインマンダイアグラム_ です。( 目次_ )
ちょっと休憩
============================
相互作用 $\hat{V}(t)$ にはどんなものがあるのか、
ここで気晴らしもかねて、三つほど挙げてみようと思います。
図において時間は左から右に流れます。
1.電子-電子相互作用
<tex>
\hat{V}(t) = \dfrac{1}{2}\sum_{\bm{k}\bm{k^\prime}\bm{q}}...
\tag{##}
</tex>
注意として、時間依存性は全て指数関数にまとめられ、 $C$ に...
.. image :: chromel-studyGreen04-01.png
2.電子-フォノン相互作用
<tex>
\hat{V}(t) = \sum_{\bm{q}\bm{k}s} M_{\bm{q}} A_{\bm{q}} C...
\tag{##}
</tex>
ここで、 $M_{\bm{q}}$ は $\bm{p}$ に依存する係数です。
.. image :: chromel-studyGreen04-02.png
3.電子-フォトン相互作用
これについては、全ハミルトニアンを書きます。
<tex>
H = \sum_{i} \dfrac{1}{2m} \left[ \bm{p}_i - \dfrac{e}{c}...
\tag{##}
</tex>
ここで、 $\bm{A}_i$ はベクトルポテンシャルで、 $a_{\bm{k}...
実はクーロン反発である1は、この3の相互作用として含まれ...
電子のようなフェルミオンは相互作用で粒子数が保存(陽電子...
フォノンの様なボゾンはフェルミオンへ吸収・放出されます。...
相互作用になるわけです。フォトンもボゾンであるのでフォノ...
私は式 $(3)$ をどう見ていいか分かりません。
グリーン関数の展開
===========================
グリーン関数を徐々に変形していきます。
それには 相関関数の計算_ の式 $(15)$ で導出した式を使いま...
再掲しておきます。
<tex>
G(\bm{p},t-t^\prime)
&= -i \dfrac{_0 \langle | T \hat{C}_{\bm{p}}(t) \hat{C}^\...
\tag{##}
</tex>
これともう一つ、 $S$ 行列の展開式( 相互作用表示とS行列_ ...
<tex>
S(t,t^\prime) = T \exp \left[ -i \int_{t^\prime}^t dt_1 \...
\tag{##}
</tex>
これを
<tex>
S(\infty, -\infty) = T \exp \left[ -i \int_{-\infty}^\inf...
\tag{##}
</tex>
とします。式 $(6)$ を式 $(4)$ に代入すると、
<tex>
G(\bm{p},t-t^\prime)
&= -i \dfrac{_0 \langle | T \hat{C}_{\bm{p}}(t) \hat{C}^\...
&= -i \dfrac{_0 \langle | T \hat{C}_{\bm{p}}(t) \hat{C}^\...
&= \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-i)^{n+1}}{n!} \int_{-\infty...
&= \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-i)^{n+1}}{n!} \int_{-\infty...
\tag{##}
</tex>
となります。何度か言っていますが、こうやってシンプルに書...
ここで $\hat{V}(t_1)$ をこの記事の最初に出した電子-電子相...
<tex>
\hat{V}(t_1) &= \dfrac{1}{2}\sum_{\bm{k}\bm{k^\prime}\bm{...
\tag{##}
</tex>
すると例えば、
<tex>
_0 \langle | T \hat{C}_{\bm{p}}(t) \hat{V}(t_1) \hat{V}(t...
\tag{##}
</tex>
等の計算が必要になります。この場合、一つの相互作用の $\ha...
が入っているので、式 $(9)$ には五個ずつの生成演算子と消滅...
ここで振り返りをしておきます。自由な電子グリーン関数は、
<tex>
_0 \langle | T \hat{C}_\lambda(t) \hat{C}^\dagger_\lambda...
</tex>
でした。( 電子とフォノンのグリーン関数_ の式 $(4)$ )
一方、時間並進で系が不変と考えるのは自然な事だと思います...
それを考えると、同時刻の
<tex>
_0 \langle | \hat{C}^\dagger_\lambda(t) \hat{C}_\lambda(t...
_0 \langle | \hat{C}_\lambda(t) \hat{C}^\dagger_\lambda(t...
\tag{##}
</tex>
となります。( 電子とフォノンのグリーン関数_ の式 $(14)$ )
つまり、生成消滅演算子のペアは同時刻か異時刻で値の種類が...
また重要な注意として、 $H_0$ の基底状態 $| \rangle_0 $ で...
生成と消滅がそれぞれ同数でないと期待値がゼロになってしま...
これは粒子数の異なる波動関数が直交する為です。
ウィックの定理
============================
さあ、予告通り相互作用のあるグリーン関数を自由なグリーン...
それをウィックの定理と言います。証明は飛ばします。
【ルール1】
まず、量子数 $\lambda$ が異なる演算子のペアの期待値はゼロ...
つまり、 $\delta_{\alpha \beta}$ が必ず付いて
<tex>
_0 \langle |T \hat{C}_\alpha(t) \hat{C}^\dagger_\beta(t^\...
=
\begin{cases}
i \delta_{\alpha \beta} G^{(0)}(\alpha, t-t^\prime) \\
\delta_{\alpha \beta} n_F(\xi_{\bm{k}}) \ \ \ \ \ (t=t^...
\delta_{\alpha \beta} n_F(-\xi_{\bm{k}}) \ \ \ \ \ (t=t...
\end{cases}
\tag{##}
</tex>
となります。生成消滅演算子の非ゼロ値を出す組み合わせはト...
<tex>
_0 \langle |T \hat{C}_\alpha(t) \hat{C}^\dagger_\beta(t_1...
\tag{##}
</tex>
これは $\alpha = \beta, \gamma = \delta$ または $\alpha ...
更に、もう一歩踏み込んで四次の期待値はそれぞれに時間順序...
その際、添え字 $\alpha \sim \delta$ の交換はフェルミオン...
つまり、
<tex>
&_0 \langle |T \hat{C}_\alpha(t) \hat{C}^\dagger_\beta(t_...
&= \delta_{\alpha \beta} \delta_{\gamma \delta} \ _0 \lan...
&- \delta_{\alpha \delta} \delta_{\gamma \beta} \ _0 \lan...
\tag{##}
</tex>
このペアの数はまず $n$ 個の消滅演算子を固定しましょう。そ...
【ルール2】
電子とフォノン等の異種の演算子が混在しているとき、同種の...
<tex>
&_0 \langle |T \hat{C}_{\bm{p}}(t) \hat{C}^\dagger_{\bm{p...
&=
_0 \langle |T \hat{C}_{\bm{p}}(t) \hat{C}^\dagger_{\bm{p}...
\tag{##}
</tex>
【ルール3】
フォノン演算子もペアリングできます。交換で符号は変わりま...
<tex>
&_0 \langle |T \hat{A}_{\bm{q}_1}(t_1) \hat{A}_{\bm{q}_2}...
&= _0 \langle |T \hat{A}_{\bm{q}_1}(t_1) \hat{A}_{\bm{q}_...
&+ _0 \langle |T \hat{A}_{\bm{q}_1}(t_1) \hat{A}_{\bm{q}_...
&+ _0 \langle |T \hat{A}_{\bm{q}_1}(t_1) \hat{A}_{\bm{q}_...
\tag{##}
</tex>
この組み合わせの数は $2n$ 個の演算子があるとして、
<tex>
\left( \prod_{i=1}^n \ _{2n-2(i-1)} C _{2} \right)/n!
\tag{##}
</tex>
個の項が出てくると思います。 $2n=2$ で $_2 C _2/1!=1$ 、 ...
そして、物理的に可能なのは $\bm{q}_1$ のフォノンを作って ...
<tex>
&_0 \langle |T \hat{A}_{\bm{q}_1}(t_1) \hat{A}_{\bm{q}_2}...
&= \delta_{\bm{q}_1 + \bm{q}_2} \delta_{\bm{q}_3 + \bm{q}...
&+ \delta_{\bm{q}_1 + \bm{q}_3} \delta_{\bm{q}_2 + \bm{q}...
&+ \delta_{\bm{q}_1 + \bm{q}_4} \delta_{\bm{q}_2 + \bm{q}...
\tag{##}
</tex>
となります。
【ルール4】
同時刻の演算子の期待値は粒子数演算子になります。
<tex>
_0 \langle | &T \hat{C}^\dagger_{\bm{k}_1}(t_1) \hat{C}_{...
&= \delta_{\bm{k}_1 = \bm{k}_2} \ _0 \langle | \hat{C}^\d...
&= \delta_{\bm{k}_1 = \bm{k}_2} n_F(\xi_{\bm{k}_1})
\tag{##}
</tex>
ボゾンの場合は、
<tex>
n_B(\omega_{\bm{k}}) = \dfrac{1}{e^{\beta \omega_k}-1}
\tag{##}
</tex>
【ルール5】
異なる時刻の演算子の期待値はグリーン関数になります。
慣習として、生成演算子が右側に来るようにします。
その際、符号変化はお忘れず。
<tex>
_0 \langle | &T \hat{C}^\dagger_{\bm{k}_1}(t_1) \hat{C}_{...
&= - \delta_{\bm{k}_1 = \bm{k}_2} \ _0 \langle | T \hat{C...
\tag{##}
</tex>
具体例を出しておきましょう。先ほどの例で言えば、
<tex>
&_0 \langle |T \hat{C}_\alpha(t) \hat{C}^\dagger_\beta(t_...
&= i^2 \delta_{\alpha \beta} \delta_{\gamma \delta} G^{(0...
&- i^2 \delta_{\alpha \delta} \delta_{\gamma \beta} G^{(0...
\tag{##}
</tex>
であり、
<tex>
&_0 \langle |T \hat{A}_{\bm{q}_1}(t_1) \hat{A}_{\bm{q}_2}...
&= \delta_{\bm{q}_1 + \bm{q}_2} \delta_{\bm{q}_3 + \bm{q}...
&+ \delta_{\bm{q}_1 + \bm{q}_3} \delta_{\bm{q}_2 + \bm{q}...
&+ \delta_{\bm{q}_1 + \bm{q}_4} \delta_{\bm{q}_2 + \bm{q}...
\tag{##}
</tex>
となります。この様にウィックの定理は時間順序された高次の...
ウィックの定理の実践例(電子フォノン相互作用)
==============================================
電子-フォノン相互作用の場合にこれを用いて近似値を出してみ...
ただし、グリーン関数の分母にある位相因子の $_0\langle | S...
式 $(2)$ を使います。再掲すると、
<tex>
\hat{V}(t) = \sum_{\bm{q}\bm{k}s} M_{\bm{q}} A_{\bm{q}} C...
\tag{##}
</tex>
これを使います。すると、2次までの近似で
<tex>
G(\bm{p},t-t^\prime)
&= G^{(0)}(\bm{p},t-t^\prime)
+ (-i)^2 \int_{-\infty}^\infty dt_1 \ _0 \langle | T \hat...
&+ \dfrac{(-i)^3}{2!} \int_{-\infty}^\infty dt_1 \int_{-\...
\tag{##}
</tex>
ここで、右辺第二項のフォノンの1次は期待値がゼロになるので
<tex>
_0 \langle |a_{\bm{q}}| \rangle_0
= _0 \langle |a^\dagger_{\bm{q}}| \rangle_0
= 0
\tag{##}
</tex>
同様の理由で奇数次のボゾンの期待値はゼロです。
計算を進めると、
<tex>
G(\bm{p},t-t^\prime)
&= G^{(0)}(\bm{p},t-t^\prime) + \dfrac{(-i)^3}{2!} \int_{...
&\times \sum_{\bm{k}_1 \bm{k}_2 s s^\prime} \ _0 \langle ...
\tag{##}
</tex>
二次近似項のフォノン部分は、
<tex>
&_0 \langle | T \hat{A}_{\bm{q}_1}(t_1) \hat{A}_{\bm{q}_2...
&= i \delta_{\bm{q}_1+\bm{q}_2} D^{(0)}(\bm{q}_1,t_1-t_2)
\tag{##}
</tex>
二次近似項の電子部分は、
<tex>
&_0 \langle | T \hat{C}_{\bm{p} \sigma}(t) \hat{C}^\dagge...
&= _0 \langle | T \hat{C}_{\bm{p} \sigma}(t) \hat{C}^\dag...
&+ _0 \langle | T \hat{C}_{\bm{p} \sigma}(t) \hat{C}^\dag...
&+ _0 \langle | T \hat{C}_{\bm{p} \sigma}(t) \hat{C}^\dag...
&+ _0 \langle | T \hat{C}_{\bm{p} \sigma}(t) \hat{C}^\dag...
&+ _0 \langle | T \hat{C}_{\bm{p} \sigma}(t) \hat{C}^\dag...
&- _0 \langle | T \hat{C}_{\bm{p} \sigma}(t) \hat{C}^\dag...
\tag{##}
</tex>
長いので一旦切ります。式はさらに変形でき、
<tex>
&_0 \langle | T \hat{C}_{\bm{p} \sigma}(t) \hat{C}^\dagge...
&= i^3 \delta_{\bm{p} = \bm{k}_2 = \bm{k}_1 + \bm{q}_1} \...
&+ i^3 \delta_{\bm{p} = \bm{k}_1 = \bm{k}_2 - \bm{q}_1} \...
&+ i^2 \delta_{\bm{q}_1 = 0} \delta_{\bm{p} = \bm{k}_1} \...
&+ i^2 \delta_{\bm{q}_1 = 0} \delta_{\bm{p} = \bm{k}_2} \...
&+ i \delta_{\bm{q}_1 = 0} \delta_{\bm{q}_2 = 0} n_F(\xi_...
&- i^3 \delta_{\bm{k}_1 = \bm{k}_2 - \bm{q}_1} \delta_{s^...
\tag{##}
</tex>
となります。この一連の変形は項の順番は入れ替えておらず、...
次回はこれをファインマンダイアグラムという図と対応させて...
今日はここまで、お疲れ様でした。
次の記事は ファインマンダイアグラム_ です。
.. _目次: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreenIndex/
.. _相互作用表示とS行列: http://hooktail.sub.jp/quantum/s...
.. _相関関数の計算: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyG...
.. _電子とフォノンのグリーン関数: http://hooktail.sub.jp/...
.. _ファインマンダイアグラム: http://hooktail.sub.jp/quan...
@@reference: Gerald D.Mahan, Many-Particle Physics Third ...
@@author:クロメル@@
@@accept:2020-05-05@@
@@category:量子力学@@
@@id:studyGreen04@@
終了行:
#rst2hooktail_source
=========================================================...
グリーン関数を理解しよう(ウィックの定理)
=========================================================...
これからいくつかの記事を通して、
物性物理で扱われる絶対零度におけるグリーン関数の理解を目...
いくつかの定理などの証明は省略して、要点の俯瞰をする方針...
参考文献として、下に書くMahan先生の本を挙げて
おきます。このシリーズでは $\hbar=1$ とします。
前の記事は 電子とフォノンのグリーン関数_ です。
次の記事は ファインマンダイアグラム_ です。( 目次_ )
ちょっと休憩
============================
相互作用 $\hat{V}(t)$ にはどんなものがあるのか、
ここで気晴らしもかねて、三つほど挙げてみようと思います。
図において時間は左から右に流れます。
1.電子-電子相互作用
<tex>
\hat{V}(t) = \dfrac{1}{2}\sum_{\bm{k}\bm{k^\prime}\bm{q}}...
\tag{##}
</tex>
注意として、時間依存性は全て指数関数にまとめられ、 $C$ に...
.. image :: chromel-studyGreen04-01.png
2.電子-フォノン相互作用
<tex>
\hat{V}(t) = \sum_{\bm{q}\bm{k}s} M_{\bm{q}} A_{\bm{q}} C...
\tag{##}
</tex>
ここで、 $M_{\bm{q}}$ は $\bm{p}$ に依存する係数です。
.. image :: chromel-studyGreen04-02.png
3.電子-フォトン相互作用
これについては、全ハミルトニアンを書きます。
<tex>
H = \sum_{i} \dfrac{1}{2m} \left[ \bm{p}_i - \dfrac{e}{c}...
\tag{##}
</tex>
ここで、 $\bm{A}_i$ はベクトルポテンシャルで、 $a_{\bm{k}...
実はクーロン反発である1は、この3の相互作用として含まれ...
電子のようなフェルミオンは相互作用で粒子数が保存(陽電子...
フォノンの様なボゾンはフェルミオンへ吸収・放出されます。...
相互作用になるわけです。フォトンもボゾンであるのでフォノ...
私は式 $(3)$ をどう見ていいか分かりません。
グリーン関数の展開
===========================
グリーン関数を徐々に変形していきます。
それには 相関関数の計算_ の式 $(15)$ で導出した式を使いま...
再掲しておきます。
<tex>
G(\bm{p},t-t^\prime)
&= -i \dfrac{_0 \langle | T \hat{C}_{\bm{p}}(t) \hat{C}^\...
\tag{##}
</tex>
これともう一つ、 $S$ 行列の展開式( 相互作用表示とS行列_ ...
<tex>
S(t,t^\prime) = T \exp \left[ -i \int_{t^\prime}^t dt_1 \...
\tag{##}
</tex>
これを
<tex>
S(\infty, -\infty) = T \exp \left[ -i \int_{-\infty}^\inf...
\tag{##}
</tex>
とします。式 $(6)$ を式 $(4)$ に代入すると、
<tex>
G(\bm{p},t-t^\prime)
&= -i \dfrac{_0 \langle | T \hat{C}_{\bm{p}}(t) \hat{C}^\...
&= -i \dfrac{_0 \langle | T \hat{C}_{\bm{p}}(t) \hat{C}^\...
&= \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-i)^{n+1}}{n!} \int_{-\infty...
&= \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-i)^{n+1}}{n!} \int_{-\infty...
\tag{##}
</tex>
となります。何度か言っていますが、こうやってシンプルに書...
ここで $\hat{V}(t_1)$ をこの記事の最初に出した電子-電子相...
<tex>
\hat{V}(t_1) &= \dfrac{1}{2}\sum_{\bm{k}\bm{k^\prime}\bm{...
\tag{##}
</tex>
すると例えば、
<tex>
_0 \langle | T \hat{C}_{\bm{p}}(t) \hat{V}(t_1) \hat{V}(t...
\tag{##}
</tex>
等の計算が必要になります。この場合、一つの相互作用の $\ha...
が入っているので、式 $(9)$ には五個ずつの生成演算子と消滅...
ここで振り返りをしておきます。自由な電子グリーン関数は、
<tex>
_0 \langle | T \hat{C}_\lambda(t) \hat{C}^\dagger_\lambda...
</tex>
でした。( 電子とフォノンのグリーン関数_ の式 $(4)$ )
一方、時間並進で系が不変と考えるのは自然な事だと思います...
それを考えると、同時刻の
<tex>
_0 \langle | \hat{C}^\dagger_\lambda(t) \hat{C}_\lambda(t...
_0 \langle | \hat{C}_\lambda(t) \hat{C}^\dagger_\lambda(t...
\tag{##}
</tex>
となります。( 電子とフォノンのグリーン関数_ の式 $(14)$ )
つまり、生成消滅演算子のペアは同時刻か異時刻で値の種類が...
また重要な注意として、 $H_0$ の基底状態 $| \rangle_0 $ で...
生成と消滅がそれぞれ同数でないと期待値がゼロになってしま...
これは粒子数の異なる波動関数が直交する為です。
ウィックの定理
============================
さあ、予告通り相互作用のあるグリーン関数を自由なグリーン...
それをウィックの定理と言います。証明は飛ばします。
【ルール1】
まず、量子数 $\lambda$ が異なる演算子のペアの期待値はゼロ...
つまり、 $\delta_{\alpha \beta}$ が必ず付いて
<tex>
_0 \langle |T \hat{C}_\alpha(t) \hat{C}^\dagger_\beta(t^\...
=
\begin{cases}
i \delta_{\alpha \beta} G^{(0)}(\alpha, t-t^\prime) \\
\delta_{\alpha \beta} n_F(\xi_{\bm{k}}) \ \ \ \ \ (t=t^...
\delta_{\alpha \beta} n_F(-\xi_{\bm{k}}) \ \ \ \ \ (t=t...
\end{cases}
\tag{##}
</tex>
となります。生成消滅演算子の非ゼロ値を出す組み合わせはト...
<tex>
_0 \langle |T \hat{C}_\alpha(t) \hat{C}^\dagger_\beta(t_1...
\tag{##}
</tex>
これは $\alpha = \beta, \gamma = \delta$ または $\alpha ...
更に、もう一歩踏み込んで四次の期待値はそれぞれに時間順序...
その際、添え字 $\alpha \sim \delta$ の交換はフェルミオン...
つまり、
<tex>
&_0 \langle |T \hat{C}_\alpha(t) \hat{C}^\dagger_\beta(t_...
&= \delta_{\alpha \beta} \delta_{\gamma \delta} \ _0 \lan...
&- \delta_{\alpha \delta} \delta_{\gamma \beta} \ _0 \lan...
\tag{##}
</tex>
このペアの数はまず $n$ 個の消滅演算子を固定しましょう。そ...
【ルール2】
電子とフォノン等の異種の演算子が混在しているとき、同種の...
<tex>
&_0 \langle |T \hat{C}_{\bm{p}}(t) \hat{C}^\dagger_{\bm{p...
&=
_0 \langle |T \hat{C}_{\bm{p}}(t) \hat{C}^\dagger_{\bm{p}...
\tag{##}
</tex>
【ルール3】
フォノン演算子もペアリングできます。交換で符号は変わりま...
<tex>
&_0 \langle |T \hat{A}_{\bm{q}_1}(t_1) \hat{A}_{\bm{q}_2}...
&= _0 \langle |T \hat{A}_{\bm{q}_1}(t_1) \hat{A}_{\bm{q}_...
&+ _0 \langle |T \hat{A}_{\bm{q}_1}(t_1) \hat{A}_{\bm{q}_...
&+ _0 \langle |T \hat{A}_{\bm{q}_1}(t_1) \hat{A}_{\bm{q}_...
\tag{##}
</tex>
この組み合わせの数は $2n$ 個の演算子があるとして、
<tex>
\left( \prod_{i=1}^n \ _{2n-2(i-1)} C _{2} \right)/n!
\tag{##}
</tex>
個の項が出てくると思います。 $2n=2$ で $_2 C _2/1!=1$ 、 ...
そして、物理的に可能なのは $\bm{q}_1$ のフォノンを作って ...
<tex>
&_0 \langle |T \hat{A}_{\bm{q}_1}(t_1) \hat{A}_{\bm{q}_2}...
&= \delta_{\bm{q}_1 + \bm{q}_2} \delta_{\bm{q}_3 + \bm{q}...
&+ \delta_{\bm{q}_1 + \bm{q}_3} \delta_{\bm{q}_2 + \bm{q}...
&+ \delta_{\bm{q}_1 + \bm{q}_4} \delta_{\bm{q}_2 + \bm{q}...
\tag{##}
</tex>
となります。
【ルール4】
同時刻の演算子の期待値は粒子数演算子になります。
<tex>
_0 \langle | &T \hat{C}^\dagger_{\bm{k}_1}(t_1) \hat{C}_{...
&= \delta_{\bm{k}_1 = \bm{k}_2} \ _0 \langle | \hat{C}^\d...
&= \delta_{\bm{k}_1 = \bm{k}_2} n_F(\xi_{\bm{k}_1})
\tag{##}
</tex>
ボゾンの場合は、
<tex>
n_B(\omega_{\bm{k}}) = \dfrac{1}{e^{\beta \omega_k}-1}
\tag{##}
</tex>
【ルール5】
異なる時刻の演算子の期待値はグリーン関数になります。
慣習として、生成演算子が右側に来るようにします。
その際、符号変化はお忘れず。
<tex>
_0 \langle | &T \hat{C}^\dagger_{\bm{k}_1}(t_1) \hat{C}_{...
&= - \delta_{\bm{k}_1 = \bm{k}_2} \ _0 \langle | T \hat{C...
\tag{##}
</tex>
具体例を出しておきましょう。先ほどの例で言えば、
<tex>
&_0 \langle |T \hat{C}_\alpha(t) \hat{C}^\dagger_\beta(t_...
&= i^2 \delta_{\alpha \beta} \delta_{\gamma \delta} G^{(0...
&- i^2 \delta_{\alpha \delta} \delta_{\gamma \beta} G^{(0...
\tag{##}
</tex>
であり、
<tex>
&_0 \langle |T \hat{A}_{\bm{q}_1}(t_1) \hat{A}_{\bm{q}_2}...
&= \delta_{\bm{q}_1 + \bm{q}_2} \delta_{\bm{q}_3 + \bm{q}...
&+ \delta_{\bm{q}_1 + \bm{q}_3} \delta_{\bm{q}_2 + \bm{q}...
&+ \delta_{\bm{q}_1 + \bm{q}_4} \delta_{\bm{q}_2 + \bm{q}...
\tag{##}
</tex>
となります。この様にウィックの定理は時間順序された高次の...
ウィックの定理の実践例(電子フォノン相互作用)
==============================================
電子-フォノン相互作用の場合にこれを用いて近似値を出してみ...
ただし、グリーン関数の分母にある位相因子の $_0\langle | S...
式 $(2)$ を使います。再掲すると、
<tex>
\hat{V}(t) = \sum_{\bm{q}\bm{k}s} M_{\bm{q}} A_{\bm{q}} C...
\tag{##}
</tex>
これを使います。すると、2次までの近似で
<tex>
G(\bm{p},t-t^\prime)
&= G^{(0)}(\bm{p},t-t^\prime)
+ (-i)^2 \int_{-\infty}^\infty dt_1 \ _0 \langle | T \hat...
&+ \dfrac{(-i)^3}{2!} \int_{-\infty}^\infty dt_1 \int_{-\...
\tag{##}
</tex>
ここで、右辺第二項のフォノンの1次は期待値がゼロになるので
<tex>
_0 \langle |a_{\bm{q}}| \rangle_0
= _0 \langle |a^\dagger_{\bm{q}}| \rangle_0
= 0
\tag{##}
</tex>
同様の理由で奇数次のボゾンの期待値はゼロです。
計算を進めると、
<tex>
G(\bm{p},t-t^\prime)
&= G^{(0)}(\bm{p},t-t^\prime) + \dfrac{(-i)^3}{2!} \int_{...
&\times \sum_{\bm{k}_1 \bm{k}_2 s s^\prime} \ _0 \langle ...
\tag{##}
</tex>
二次近似項のフォノン部分は、
<tex>
&_0 \langle | T \hat{A}_{\bm{q}_1}(t_1) \hat{A}_{\bm{q}_2...
&= i \delta_{\bm{q}_1+\bm{q}_2} D^{(0)}(\bm{q}_1,t_1-t_2)
\tag{##}
</tex>
二次近似項の電子部分は、
<tex>
&_0 \langle | T \hat{C}_{\bm{p} \sigma}(t) \hat{C}^\dagge...
&= _0 \langle | T \hat{C}_{\bm{p} \sigma}(t) \hat{C}^\dag...
&+ _0 \langle | T \hat{C}_{\bm{p} \sigma}(t) \hat{C}^\dag...
&+ _0 \langle | T \hat{C}_{\bm{p} \sigma}(t) \hat{C}^\dag...
&+ _0 \langle | T \hat{C}_{\bm{p} \sigma}(t) \hat{C}^\dag...
&+ _0 \langle | T \hat{C}_{\bm{p} \sigma}(t) \hat{C}^\dag...
&- _0 \langle | T \hat{C}_{\bm{p} \sigma}(t) \hat{C}^\dag...
\tag{##}
</tex>
長いので一旦切ります。式はさらに変形でき、
<tex>
&_0 \langle | T \hat{C}_{\bm{p} \sigma}(t) \hat{C}^\dagge...
&= i^3 \delta_{\bm{p} = \bm{k}_2 = \bm{k}_1 + \bm{q}_1} \...
&+ i^3 \delta_{\bm{p} = \bm{k}_1 = \bm{k}_2 - \bm{q}_1} \...
&+ i^2 \delta_{\bm{q}_1 = 0} \delta_{\bm{p} = \bm{k}_1} \...
&+ i^2 \delta_{\bm{q}_1 = 0} \delta_{\bm{p} = \bm{k}_2} \...
&+ i \delta_{\bm{q}_1 = 0} \delta_{\bm{q}_2 = 0} n_F(\xi_...
&- i^3 \delta_{\bm{k}_1 = \bm{k}_2 - \bm{q}_1} \delta_{s^...
\tag{##}
</tex>
となります。この一連の変形は項の順番は入れ替えておらず、...
次回はこれをファインマンダイアグラムという図と対応させて...
今日はここまで、お疲れ様でした。
次の記事は ファインマンダイアグラム_ です。
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.. _相関関数の計算: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyG...
.. _電子とフォノンのグリーン関数: http://hooktail.sub.jp/...
.. _ファインマンダイアグラム: http://hooktail.sub.jp/quan...
@@reference: Gerald D.Mahan, Many-Particle Physics Third ...
@@author:クロメル@@
@@accept:2020-05-05@@
@@category:量子力学@@
@@id:studyGreen04@@
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