記事ソース/グリーンの定理
をテンプレートにして作成
査読
rst2hooktail
進行表
執筆中
かぎマニュ
物理のかぎプロジェクト
トップ
最近の更新
ヘルプ
開始行:
#rst2hooktail_source
===============================================
グリーンの定理
===============================================
この記事では、 ガウスの発散定理_ から、グリーンの定理と呼...
グリーンの第一定理
=========================================================...
まず、 ガウスの発散定理_ からスタートします。ここでは、も...
.. admonition:: theorem
【ガウスの発散定理】
$\int \int \int \limits _{V} {\rm div}\bm{A} dV = \int...
ここで特に、連続で必要なだけ微分可能な(つまり $C^{\infty...
<tex>
{\rm div}\bm{A} & = \nabla \cdot (\phi \nabla \psi) \\
&= \phi \nabla \cdot \nabla \psi + \nabla \phi \cdot \nab...
& = \phi \triangle \psi + \nabla \phi \cdot \nabla \psi ...
</tex>
二行目は、単に積の微分則(チェーン・ルール)を使っただけ...
<tex>
\bm{A} \cdot \bm{n} = \phi \bm{n} \cdot \nabla \psi = \ph...
</tex>
式 $(1)(2)$ から、次の公式を得ます。これが *グリーンの第...
.. admonition:: theorem
【グリーンの第一定理】
$\int \int \int \limits _{V}( \phi \triangle \psi + \n...
特に $\phi = \psi$ と置けば、次の定理を得ます。
.. admonition:: corollary
$\int \int \int \limits _{V}( \phi \triangle \phi +( \n...
グリーンの第二定理
=========================================================...
第一定理を導いたのと同様にして、今度は $\bm{A}$ として $\...
<tex>
{\rm div}(\phi \nabla \psi - \psi \nabla \phi)&= \nabla \...
& = \phi \triangle \psi - \psi \triangle \phi
\tag{3}
</tex>
<tex>
\bm{A} \cdot \bm{n} & =(\phi \nabla \psi - \psi \nabla \p...
& = \phi ( \bm{n} \cdot \nabla \psi ) - \psi (\bm{n} \cdo...
& = \phi \frac{\partial \psi}{\partial n} - \psi \frac{...
</tex>
式 $(3)(4)$ をガウスの発散定理の両辺に代入して得る関係式...
.. admonition:: theorem
【グリーンの第二定理】
$\int \int \int \limits _{V}( \phi \triangle \psi - \p...
ラプラシアンの積分表示
=========================================================...
グリーンの第一定理で $\phi = const.$ と置けば、次の形に帰...
<tex>
\int \int \int \limits _{V} \triangle \psi dV = \int \int...
</tex>
この両辺に $\lim \limits _{V \rightarrow 0}\frac{1}{V}$ ...
<tex>
\triangle \psi = \lim \limits _{V \rightarrow 0}\frac{1}{...
</tex>
これは、ラプラシアンの作用の積分表示になっています。( `g...
もう一つの定理
=========================================================...
グリーンの第二定理から、もう一つ有用な定理が導かれます。...
.. admonition:: corollary
$\phi (M) = -\frac{1}{4\pi} \int \int \int \limits _{V}...
.. image:: Joh-GreenTheorem09.gif
.. admonition:: proof
まず $M$ を中心とする、半径 $\rho$ の十分に小さい球状領...
.. [*] この定理は、任意の点におけるスカラー関数の値が、面...
ちょっと長くて、覚えにくい形をしていますが、後で ヘルムホ...
<tex>
\bm{A} (M) = -\frac{1}{4\pi} \int \int \int \limits _{V}...
</tex>
.. _`gradの積分形による定義`: http://www12.plala.or.jp/ks...
.. _`divとrotの積分形による定義`: http://www12.plala.or.j...
.. _`ベクトルの公式2`: http://www12.plala.or.jp/ksp/vect...
.. _平面のグリーンの定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/ve...
.. _ガウスの発散定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/vector...
.. _ヘルムホルツの定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/vec...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-10-11@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: GreensSecondTheorem@@
終了行:
#rst2hooktail_source
===============================================
グリーンの定理
===============================================
この記事では、 ガウスの発散定理_ から、グリーンの定理と呼...
グリーンの第一定理
=========================================================...
まず、 ガウスの発散定理_ からスタートします。ここでは、も...
.. admonition:: theorem
【ガウスの発散定理】
$\int \int \int \limits _{V} {\rm div}\bm{A} dV = \int...
ここで特に、連続で必要なだけ微分可能な(つまり $C^{\infty...
<tex>
{\rm div}\bm{A} & = \nabla \cdot (\phi \nabla \psi) \\
&= \phi \nabla \cdot \nabla \psi + \nabla \phi \cdot \nab...
& = \phi \triangle \psi + \nabla \phi \cdot \nabla \psi ...
</tex>
二行目は、単に積の微分則(チェーン・ルール)を使っただけ...
<tex>
\bm{A} \cdot \bm{n} = \phi \bm{n} \cdot \nabla \psi = \ph...
</tex>
式 $(1)(2)$ から、次の公式を得ます。これが *グリーンの第...
.. admonition:: theorem
【グリーンの第一定理】
$\int \int \int \limits _{V}( \phi \triangle \psi + \n...
特に $\phi = \psi$ と置けば、次の定理を得ます。
.. admonition:: corollary
$\int \int \int \limits _{V}( \phi \triangle \phi +( \n...
グリーンの第二定理
=========================================================...
第一定理を導いたのと同様にして、今度は $\bm{A}$ として $\...
<tex>
{\rm div}(\phi \nabla \psi - \psi \nabla \phi)&= \nabla \...
& = \phi \triangle \psi - \psi \triangle \phi
\tag{3}
</tex>
<tex>
\bm{A} \cdot \bm{n} & =(\phi \nabla \psi - \psi \nabla \p...
& = \phi ( \bm{n} \cdot \nabla \psi ) - \psi (\bm{n} \cdo...
& = \phi \frac{\partial \psi}{\partial n} - \psi \frac{...
</tex>
式 $(3)(4)$ をガウスの発散定理の両辺に代入して得る関係式...
.. admonition:: theorem
【グリーンの第二定理】
$\int \int \int \limits _{V}( \phi \triangle \psi - \p...
ラプラシアンの積分表示
=========================================================...
グリーンの第一定理で $\phi = const.$ と置けば、次の形に帰...
<tex>
\int \int \int \limits _{V} \triangle \psi dV = \int \int...
</tex>
この両辺に $\lim \limits _{V \rightarrow 0}\frac{1}{V}$ ...
<tex>
\triangle \psi = \lim \limits _{V \rightarrow 0}\frac{1}{...
</tex>
これは、ラプラシアンの作用の積分表示になっています。( `g...
もう一つの定理
=========================================================...
グリーンの第二定理から、もう一つ有用な定理が導かれます。...
.. admonition:: corollary
$\phi (M) = -\frac{1}{4\pi} \int \int \int \limits _{V}...
.. image:: Joh-GreenTheorem09.gif
.. admonition:: proof
まず $M$ を中心とする、半径 $\rho$ の十分に小さい球状領...
.. [*] この定理は、任意の点におけるスカラー関数の値が、面...
ちょっと長くて、覚えにくい形をしていますが、後で ヘルムホ...
<tex>
\bm{A} (M) = -\frac{1}{4\pi} \int \int \int \limits _{V}...
</tex>
.. _`gradの積分形による定義`: http://www12.plala.or.jp/ks...
.. _`divとrotの積分形による定義`: http://www12.plala.or.j...
.. _`ベクトルの公式2`: http://www12.plala.or.jp/ksp/vect...
.. _平面のグリーンの定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/ve...
.. _ガウスの発散定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/vector...
.. _ヘルムホルツの定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/vec...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-10-11@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: GreensSecondTheorem@@
ページ名:
Modified by
物理のかぎプロジェクト
PukiWiki 1.4.6
Copyright © 2001-2005
PukiWiki Developers Team
. License is
GPL
.
Based on "PukiWiki" 1.3 by
yu-ji
Powered by PHP 5.3.29 HTML convert time to 0.002 sec.