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=========================================================...
クリフォード代数とマクスウェル方程式
=========================================================...
2020.03.29追記 うべさんがブログを作りました。ご興味ある方...
最近、Twitterで知り合った高専生のうべゆうとさんという方に
真空中のマクスウェル方程式の面白い表現を教えていただいた...
それについて述べてみようと思います。
クリフォード代数というものを使います。
実に興味深いです。結論から言うと、マクスウェル方程式は
たった一本の方程式として表現でき、
<tex>
\dfrac{b_u}{2} \left( b_u A - A d_u \right) + J_e = 0 \ta...
</tex>
となります、ここで、 $A$ と $J_e$ は4元ポテンシャルと4元...
<tex>
A &= \left( \phi, A_1, A_2, A_3 \right) \\
J_e &= (\rho, j_1, j_2,j_3) \tag{##}
</tex>
であり、 $b_u,d_u$ は微分演算子の一種で、微分形式で使う外...
この記事では僕がうべさんの"u"をお借りして $b_u,d_u$ と書...
これをうべさんはそれぞれ右純然微分作用素、左純然微分作用...
クリフォード代数の基本
=========================
クリフォード代数はその基底の二乗の値に $-1$ を許容する代...
複素数の拡張と考えられます。今回我々が使うのは、
四つの基底 $e_0, e_1, e_2, e_3$ に対して、
<tex>
e_0^2 &= -1 \\
e_1^2 &= e_2^2 = e_3^2 = 1 \\
e_i e_j &= - e_j e_i \tag{##}
</tex>
を満たすものです。クリフォード代数では $e_i$ の二乗は実数...
最後の式から、 $e_0 e_2, e_2 e_3, e_0 e_3 e_1$ 等は消えず...
また、この代数は非可換です。
そして、クリフォード代数の商を例えば、次の様に考えます。...
<tex>
\dfrac{1}{ a e_0 + b e_1 }(c e_0 + d e_1) &= \dfrac{a e_0...
&= \dfrac{ace_0e_0 +ad e_0e_1 +bc e_1 e_0 + bd e_1 e_1}{a...
&= \dfrac{1}{-a^2+b^2}\left( (-ac+bd)+(ad - bc)e_0e_1 \ri...
</tex>
となります。逆数を右から掛けるか左から掛けるかで結果が変...
すると、この代数は逆元を $(i = 0,1,2,3)$ に対して $\dfrac...
<tex>
\dfrac{1}{e_i}
= \begin{cases}
-e_0 \ \ \ \ (i=0) \\
e_i \ \ \ \ (i=1,2,3)
\end{cases} \tag{##}
</tex>
とすれば良いです。
うべさんの発見
======================
僕がうべさんから教えていただいた時には、発見論的な話で聞...
紆余曲折は本質を見づらくすると思うので、結論に直接持って...
偏微分微分演算子の記号 $\partial$ を右に作用するか左に作...
つまり、
<tex>
A \dfrac{p}{px_i} B &= A \dfrac{\partial B}{\partial x_i}...
A \dfrac{q}{x_iq} B &= \dfrac{\partial A}{\partial x_i} B...
</tex>
とします。余談ですが、右と左で対称的な作用をすることから、
左右で対称な記号の対として $p,q,b,d$ を
選んだそうです。 $p$ は、partial differential の $p$ だっ...
彼の尊敬するDiracから $d$ を選んだともおっしゃっていまし...
こういう遊び心は良いですね。
そして、いよいよこの記事の冒頭で書いた記号 $b_u,d_u$ を定...
その定義は
<tex>
b_u = \sum_{i=0}^3 \dfrac{1}{e_i} \dfrac{p}{px_i} \\
d_u = \sum_{i=0}^3 \dfrac{q}{x_iq} \dfrac{1}{e_i} \tag{##}
</tex>
とします。
マクスウェル方程式のクリフォード代数での記述
=====================================================
自然単位系、つまり $\varepsilon_0 = \mu_0 = \hbar = 1$ と...
真空中のマクスウェル方程式を書くと
<tex>
&\nabla \cdot \bm{E} = \rho \\
&\nabla \times \bm{B} - \dfrac{\partial \bm{E}}{\partial ...
&\nabla \cdot \bm{B} = 0 \\
&\nabla \times \bm{E} + \dfrac{\partial \bm{B}}{\partial ...
</tex>
となります。ポテンシャルを $A = (\phi, A_1, A_2, A_3) = (...
<tex>
\bm{E} &= - \nabla \phi -\dfrac{\partial \bm{A}}{\partial...
\bm{B} &= \nabla \times \bm{A} \tag{##}
</tex>
となります。ここで、 $b_u A$ を計算してみます。すると、
<tex>
b_u A
&=
\left( \sum_{i=0}^3 \dfrac{1}{e_i} \dfrac{p}{px_i} \right...
&=
\left( - \dfrac{p}{px_0}e_0 + \dfrac{p}{px_1}e_1 + \dfrac...
(\phi e_0 + A_1 e_1 + A_2 e_2 + A_3 e_3) \\
&=
\left( \dfrac{\partial \phi}{\partial t} - \dfrac{\partia...
&- \dfrac{\partial \phi}{\partial x} e_0 e_1 + \dfrac{\pa...
&- \dfrac{\partial \phi}{\partial y} e_0 e_2 - \dfrac{\pa...
&- \left. \dfrac{\partial \phi}{\partial z} e_0 e_3 + \df...
&= \left( \dfrac{\partial \phi}{\partial t} + \dfrac{\par...
</tex>
最後の行に行くには、式 $(9)$ を使いました。
同様に $A d_u$ を計算すると、
<tex>
A d_u &= (\phi e_0 + A_1 e_1 + A_2 e_2 + A_3 e_3) \left(...
&= \left( \dfrac{\partial \phi}{\partial t} + \dfrac{\par...
</tex>
となります。マクスウェル方程式の登場人物が出てきましたね...
<tex>
\dfrac{1}{2} (b_u A - A d_u) &= E_1 e_0 e_1 + E_2 e_0 e_2...
</tex>
とします。( $\equiv$ は $V$ をこれで定義するという意味で...
ここで、左からさらに $b_u$ を掛けると、
<tex>
b_u V
&= \left( \sum_{i=0}^3 \dfrac{1}{e_i} \dfrac{p}{px_i} \ri...
\left( E_1 e_0 e_1 + E_2 e_0 e_2 + E_3 e_0 e_3 + B_1 e_2 ...
&=
\dfrac{\partial E_1}{\partial t} e_1
+ \dfrac{\partial E_2}{\partial t} e_2
+ \dfrac{\partial E_3}{\partial t} e_3
- \dfrac{\partial B_1}{\partial t} e_0 e_2 e_3
- \dfrac{\partial B_2}{\partial t} e_0 e_3 e_1
- \dfrac{\partial B_3}{\partial t} e_0 e_1 e_2 \\
&- \dfrac{\partial E_1}{\partial x} e_0
- \dfrac{\partial E_2}{\partial x} e_0 e_1 e_2
+ \dfrac{\partial E_3}{\partial x} e_0 e_3 e_1
+ \dfrac{\partial B_1}{\partial x} e_1 e_2 e_3
- \dfrac{\partial B_2}{\partial x} e_3
+ \dfrac{\partial B_3}{\partial x} e_2 \\
&+ \dfrac{\partial E_1}{\partial y} e_0 e_1 e_2
- \dfrac{\partial E_2}{\partial y} e_0
- \dfrac{\partial E_3}{\partial y} e_0 e_2 e_3
+ \dfrac{\partial B_1}{\partial y} e_3
+ \dfrac{\partial B_2}{\partial y} e_1 e_2 e_3
- \dfrac{\partial B_3}{\partial y} e_1 \\
&- \dfrac{\partial E_1}{\partial z} e_0 e_3 e_1
+ \dfrac{\partial E_2}{\partial z} e_0 e_2 e_3
- \dfrac{\partial E_3}{\partial z} e_0
- \dfrac{\partial B_1}{\partial z} e_2
+ \dfrac{\partial B_2}{\partial z} e_1
+ \dfrac{\partial B_3}{\partial z} e_1 e_2 e_3 \\
&= - \left( \dfrac{\partial E_1}{\partial x} + \dfrac{\pa...
&+ \left( \dfrac{\partial E_1}{\partial t} - \dfrac{\part...
&+ \left( \dfrac{\partial E_2}{\partial t} - \dfrac{\part...
&+ \left( \dfrac{\partial E_3}{\partial t} - \dfrac{\part...
&+ \left( \dfrac{\partial B_1}{\partial x} + \dfrac{\part...
&+ \left( - \dfrac{\partial B_1}{\partial t} - \dfrac{\pa...
&+ \left( - \dfrac{\partial B_2}{\partial t} - \dfrac{\pa...
&+ \left( - \dfrac{\partial B_3}{\partial t} - \dfrac{\pa...
</tex>
これを
<tex>
b_u V
&= - \mathrm{div} \bm{E} e_0 \\
&+ \left( \dfrac{\partial \bm{E}}{\partial t} - \nabla \...
&+ \mathrm{div} \bm{B} e_1 e_2 e_3 \\
&+ \left( -\dfrac{\partial \bm{B}}{\partial t} - \nabla \...
</tex>
と書いても誤解は生じないでしょう。 $e_0 e_i e_j$ は上から...
すると、これはマクスウェル方程式の左辺になっています。つ...
<tex>
J_e = \rho e_0 + j_1 e_1 + j_2 e_2 + j_3 e_3 \tag{##}
</tex>
とすれば、式 $(8)$ の事を
<tex>
b_u V + J_e = 0 \tag{##}
</tex>
と書けるのです。
また、もし磁気モノポールが存在するなら、
<tex>
J_m = \rho_m e_1 e_2 e_3 + j_{m1} e_0 e_2 e_3 + j_{m2} e_...
</tex>
によって、マクスウェル方程式を、
<tex>
b_u V = - J_e + J_m \tag{##}
</tex>
と書けます。右辺の符号が気になるなら、
<tex>
V d_u = J_e + J_m \tag{##}
</tex>
としても良いです。
最後にうべさんの上げた成果について、述べておきます。
この記事は、うべさんのレビューを基にクロメルが作ったレビ...
新規性はどこにあるかと言うと、実をいうと古くから知られて...
また、左右の純然微分作用素に関しては、ウェッジ積を用いた...
しかし、分母に $e_i$ を持ってきたことは、うべさんが初めて...
もし、この辺りの事情に詳しい方がいらっしゃったら、 クロメ...
うべさんは現在、現役の高専生ということで(若い!)、将来...
うべさん、面白い話をありがとうございました。今日はここま...
.. _こちらから: https://ubeyuto.hatenablog.com/
.. _クロメル: http://hooktail.org/wiki/index.php?%A5%AF%A...
@@author:クロメル@@
@@accept:2019-06-09@@
@@category:電磁気学@@
@@id:cliffordMaxwell@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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クリフォード代数とマクスウェル方程式
=========================================================...
2020.03.29追記 うべさんがブログを作りました。ご興味ある方...
最近、Twitterで知り合った高専生のうべゆうとさんという方に
真空中のマクスウェル方程式の面白い表現を教えていただいた...
それについて述べてみようと思います。
クリフォード代数というものを使います。
実に興味深いです。結論から言うと、マクスウェル方程式は
たった一本の方程式として表現でき、
<tex>
\dfrac{b_u}{2} \left( b_u A - A d_u \right) + J_e = 0 \ta...
</tex>
となります、ここで、 $A$ と $J_e$ は4元ポテンシャルと4元...
<tex>
A &= \left( \phi, A_1, A_2, A_3 \right) \\
J_e &= (\rho, j_1, j_2,j_3) \tag{##}
</tex>
であり、 $b_u,d_u$ は微分演算子の一種で、微分形式で使う外...
この記事では僕がうべさんの"u"をお借りして $b_u,d_u$ と書...
これをうべさんはそれぞれ右純然微分作用素、左純然微分作用...
クリフォード代数の基本
=========================
クリフォード代数はその基底の二乗の値に $-1$ を許容する代...
複素数の拡張と考えられます。今回我々が使うのは、
四つの基底 $e_0, e_1, e_2, e_3$ に対して、
<tex>
e_0^2 &= -1 \\
e_1^2 &= e_2^2 = e_3^2 = 1 \\
e_i e_j &= - e_j e_i \tag{##}
</tex>
を満たすものです。クリフォード代数では $e_i$ の二乗は実数...
最後の式から、 $e_0 e_2, e_2 e_3, e_0 e_3 e_1$ 等は消えず...
また、この代数は非可換です。
そして、クリフォード代数の商を例えば、次の様に考えます。...
<tex>
\dfrac{1}{ a e_0 + b e_1 }(c e_0 + d e_1) &= \dfrac{a e_0...
&= \dfrac{ace_0e_0 +ad e_0e_1 +bc e_1 e_0 + bd e_1 e_1}{a...
&= \dfrac{1}{-a^2+b^2}\left( (-ac+bd)+(ad - bc)e_0e_1 \ri...
</tex>
となります。逆数を右から掛けるか左から掛けるかで結果が変...
すると、この代数は逆元を $(i = 0,1,2,3)$ に対して $\dfrac...
<tex>
\dfrac{1}{e_i}
= \begin{cases}
-e_0 \ \ \ \ (i=0) \\
e_i \ \ \ \ (i=1,2,3)
\end{cases} \tag{##}
</tex>
とすれば良いです。
うべさんの発見
======================
僕がうべさんから教えていただいた時には、発見論的な話で聞...
紆余曲折は本質を見づらくすると思うので、結論に直接持って...
偏微分微分演算子の記号 $\partial$ を右に作用するか左に作...
つまり、
<tex>
A \dfrac{p}{px_i} B &= A \dfrac{\partial B}{\partial x_i}...
A \dfrac{q}{x_iq} B &= \dfrac{\partial A}{\partial x_i} B...
</tex>
とします。余談ですが、右と左で対称的な作用をすることから、
左右で対称な記号の対として $p,q,b,d$ を
選んだそうです。 $p$ は、partial differential の $p$ だっ...
彼の尊敬するDiracから $d$ を選んだともおっしゃっていまし...
こういう遊び心は良いですね。
そして、いよいよこの記事の冒頭で書いた記号 $b_u,d_u$ を定...
その定義は
<tex>
b_u = \sum_{i=0}^3 \dfrac{1}{e_i} \dfrac{p}{px_i} \\
d_u = \sum_{i=0}^3 \dfrac{q}{x_iq} \dfrac{1}{e_i} \tag{##}
</tex>
とします。
マクスウェル方程式のクリフォード代数での記述
=====================================================
自然単位系、つまり $\varepsilon_0 = \mu_0 = \hbar = 1$ と...
真空中のマクスウェル方程式を書くと
<tex>
&\nabla \cdot \bm{E} = \rho \\
&\nabla \times \bm{B} - \dfrac{\partial \bm{E}}{\partial ...
&\nabla \cdot \bm{B} = 0 \\
&\nabla \times \bm{E} + \dfrac{\partial \bm{B}}{\partial ...
</tex>
となります。ポテンシャルを $A = (\phi, A_1, A_2, A_3) = (...
<tex>
\bm{E} &= - \nabla \phi -\dfrac{\partial \bm{A}}{\partial...
\bm{B} &= \nabla \times \bm{A} \tag{##}
</tex>
となります。ここで、 $b_u A$ を計算してみます。すると、
<tex>
b_u A
&=
\left( \sum_{i=0}^3 \dfrac{1}{e_i} \dfrac{p}{px_i} \right...
&=
\left( - \dfrac{p}{px_0}e_0 + \dfrac{p}{px_1}e_1 + \dfrac...
(\phi e_0 + A_1 e_1 + A_2 e_2 + A_3 e_3) \\
&=
\left( \dfrac{\partial \phi}{\partial t} - \dfrac{\partia...
&- \dfrac{\partial \phi}{\partial x} e_0 e_1 + \dfrac{\pa...
&- \dfrac{\partial \phi}{\partial y} e_0 e_2 - \dfrac{\pa...
&- \left. \dfrac{\partial \phi}{\partial z} e_0 e_3 + \df...
&= \left( \dfrac{\partial \phi}{\partial t} + \dfrac{\par...
</tex>
最後の行に行くには、式 $(9)$ を使いました。
同様に $A d_u$ を計算すると、
<tex>
A d_u &= (\phi e_0 + A_1 e_1 + A_2 e_2 + A_3 e_3) \left(...
&= \left( \dfrac{\partial \phi}{\partial t} + \dfrac{\par...
</tex>
となります。マクスウェル方程式の登場人物が出てきましたね...
<tex>
\dfrac{1}{2} (b_u A - A d_u) &= E_1 e_0 e_1 + E_2 e_0 e_2...
</tex>
とします。( $\equiv$ は $V$ をこれで定義するという意味で...
ここで、左からさらに $b_u$ を掛けると、
<tex>
b_u V
&= \left( \sum_{i=0}^3 \dfrac{1}{e_i} \dfrac{p}{px_i} \ri...
\left( E_1 e_0 e_1 + E_2 e_0 e_2 + E_3 e_0 e_3 + B_1 e_2 ...
&=
\dfrac{\partial E_1}{\partial t} e_1
+ \dfrac{\partial E_2}{\partial t} e_2
+ \dfrac{\partial E_3}{\partial t} e_3
- \dfrac{\partial B_1}{\partial t} e_0 e_2 e_3
- \dfrac{\partial B_2}{\partial t} e_0 e_3 e_1
- \dfrac{\partial B_3}{\partial t} e_0 e_1 e_2 \\
&- \dfrac{\partial E_1}{\partial x} e_0
- \dfrac{\partial E_2}{\partial x} e_0 e_1 e_2
+ \dfrac{\partial E_3}{\partial x} e_0 e_3 e_1
+ \dfrac{\partial B_1}{\partial x} e_1 e_2 e_3
- \dfrac{\partial B_2}{\partial x} e_3
+ \dfrac{\partial B_3}{\partial x} e_2 \\
&+ \dfrac{\partial E_1}{\partial y} e_0 e_1 e_2
- \dfrac{\partial E_2}{\partial y} e_0
- \dfrac{\partial E_3}{\partial y} e_0 e_2 e_3
+ \dfrac{\partial B_1}{\partial y} e_3
+ \dfrac{\partial B_2}{\partial y} e_1 e_2 e_3
- \dfrac{\partial B_3}{\partial y} e_1 \\
&- \dfrac{\partial E_1}{\partial z} e_0 e_3 e_1
+ \dfrac{\partial E_2}{\partial z} e_0 e_2 e_3
- \dfrac{\partial E_3}{\partial z} e_0
- \dfrac{\partial B_1}{\partial z} e_2
+ \dfrac{\partial B_2}{\partial z} e_1
+ \dfrac{\partial B_3}{\partial z} e_1 e_2 e_3 \\
&= - \left( \dfrac{\partial E_1}{\partial x} + \dfrac{\pa...
&+ \left( \dfrac{\partial E_1}{\partial t} - \dfrac{\part...
&+ \left( \dfrac{\partial E_2}{\partial t} - \dfrac{\part...
&+ \left( \dfrac{\partial E_3}{\partial t} - \dfrac{\part...
&+ \left( \dfrac{\partial B_1}{\partial x} + \dfrac{\part...
&+ \left( - \dfrac{\partial B_1}{\partial t} - \dfrac{\pa...
&+ \left( - \dfrac{\partial B_2}{\partial t} - \dfrac{\pa...
&+ \left( - \dfrac{\partial B_3}{\partial t} - \dfrac{\pa...
</tex>
これを
<tex>
b_u V
&= - \mathrm{div} \bm{E} e_0 \\
&+ \left( \dfrac{\partial \bm{E}}{\partial t} - \nabla \...
&+ \mathrm{div} \bm{B} e_1 e_2 e_3 \\
&+ \left( -\dfrac{\partial \bm{B}}{\partial t} - \nabla \...
</tex>
と書いても誤解は生じないでしょう。 $e_0 e_i e_j$ は上から...
すると、これはマクスウェル方程式の左辺になっています。つ...
<tex>
J_e = \rho e_0 + j_1 e_1 + j_2 e_2 + j_3 e_3 \tag{##}
</tex>
とすれば、式 $(8)$ の事を
<tex>
b_u V + J_e = 0 \tag{##}
</tex>
と書けるのです。
また、もし磁気モノポールが存在するなら、
<tex>
J_m = \rho_m e_1 e_2 e_3 + j_{m1} e_0 e_2 e_3 + j_{m2} e_...
</tex>
によって、マクスウェル方程式を、
<tex>
b_u V = - J_e + J_m \tag{##}
</tex>
と書けます。右辺の符号が気になるなら、
<tex>
V d_u = J_e + J_m \tag{##}
</tex>
としても良いです。
最後にうべさんの上げた成果について、述べておきます。
この記事は、うべさんのレビューを基にクロメルが作ったレビ...
新規性はどこにあるかと言うと、実をいうと古くから知られて...
また、左右の純然微分作用素に関しては、ウェッジ積を用いた...
しかし、分母に $e_i$ を持ってきたことは、うべさんが初めて...
もし、この辺りの事情に詳しい方がいらっしゃったら、 クロメ...
うべさんは現在、現役の高専生ということで(若い!)、将来...
うべさん、面白い話をありがとうございました。今日はここま...
.. _こちらから: https://ubeyuto.hatenablog.com/
.. _クロメル: http://hooktail.org/wiki/index.php?%A5%AF%A...
@@author:クロメル@@
@@accept:2019-06-09@@
@@category:電磁気学@@
@@id:cliffordMaxwell@@
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