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クラインゴルドン演算子のグリーン関数
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この記事では、相対論的量子力学(西島和彦著)に出てくるク...
この本に於いて、グリーン関数はいきなり出てきます。グリー...
クラインゴルドン方程式
======================
クラインゴルドン方程式とは以下の様な式です。
<tex>
(\Box - m^2)\phi = (\triangle - \partial_t^2 -m^2)\phi = ...
</tex>
ここで $\Box$ はダランベルシアンと言い、ラプラシアンと時...
この本同様にグリーン関数(遅延グリーン関数) $\Delta_{ret...
<tex>
\Delta_{ret}(x) = \dfrac{1}{(2 \pi)^4} \lim_{\varepsilon ...
</tex>
の様になります。ここで、 $x = (\bm{x},t)$ であり、 $px...
$d^4p = dp_1 dp_2 dp_3 dp_0$ であり、太字体の量は三...
ここでフーリエ変換を書いておきます。ここで $\Delta(x)$ と...
<tex>
\Delta(p) &= \dfrac{1}{(2 \pi)^4} \int \Delta(x) e^{-ipx}...
\Delta(x) &= \int \Delta(p) e^{ipx} d^4p \tag{##}
</tex>
となります。
クラインゴルドン方程式のグリーン関数
====================================
クラインゴルドン方程式のグリーン関数が満たす式を書くと、
<tex>
(\Box - m^2)\Delta(x) = -\delta^4(x-x^\prime) \tag{##}
</tex>
ここでデルタ関数は、 $x-x^\prime = (x + y + z - t)-(x^\pr...
<tex>
\int d^4p e^{ip(x-x^\prime)}=(2 \pi)^4 \delta(x-x^\prime)...
</tex>
となります。式(5)に式(4)を代入して、p積分の中身を比較する...
<tex>
(\Box - m^2)\int \Delta(p) e^{ipx} d^4p &= -\delta^4(x-x^...
\int ((ip)^2 - m^2)\Delta(p) e^{ipx} d^4p &= -\dfrac{1}{(...
\int (p^2 + m^2)\Delta(p) e^{ipx} d^4p &= \dfrac{1}{(2 \p...
</tex>
より、積分の中身を比較して、
<tex>
(p^2 + m^2)\Delta(p) e^{ipx} &= \dfrac{1}{(2 \pi)^4} e^{i...
\Delta(p) &= \dfrac{1}{(2 \pi)^4} \dfrac{e^{-ipx^\prime}}...
</tex>
となり、なんとか $\Delta(p)$ が求まりました。最後に式(4)...
<tex>
\Delta(x) = \dfrac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \dfrac{e^{ipx}...
</tex>
ここで、 $p^2 + m^2 = \bm{p}^2 + m^2 - p_0^2$ となり、 $p...
<tex>
\Delta_{ret}(x) = \dfrac{1}{(2 \pi)^4} \lim_{\varepsilon ...
</tex>
という形になったわけです。これが遅延グリーン関数 $\Delta_...
<tex>
\Delta_{adv}(x) = \dfrac{1}{(2 \pi)^4} \lim_{\varepsilon ...
</tex>
今日はここまで。お疲れ様でした。
@@author:クロメル@@
@@accept:2016-06-20@@
@@category:量子力学@@
@@id:greenFunctionOfKG@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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クラインゴルドン演算子のグリーン関数
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この記事では、相対論的量子力学(西島和彦著)に出てくるク...
この本に於いて、グリーン関数はいきなり出てきます。グリー...
クラインゴルドン方程式
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クラインゴルドン方程式とは以下の様な式です。
<tex>
(\Box - m^2)\phi = (\triangle - \partial_t^2 -m^2)\phi = ...
</tex>
ここで $\Box$ はダランベルシアンと言い、ラプラシアンと時...
この本同様にグリーン関数(遅延グリーン関数) $\Delta_{ret...
<tex>
\Delta_{ret}(x) = \dfrac{1}{(2 \pi)^4} \lim_{\varepsilon ...
</tex>
の様になります。ここで、 $x = (\bm{x},t)$ であり、 $px...
$d^4p = dp_1 dp_2 dp_3 dp_0$ であり、太字体の量は三...
ここでフーリエ変換を書いておきます。ここで $\Delta(x)$ と...
<tex>
\Delta(p) &= \dfrac{1}{(2 \pi)^4} \int \Delta(x) e^{-ipx}...
\Delta(x) &= \int \Delta(p) e^{ipx} d^4p \tag{##}
</tex>
となります。
クラインゴルドン方程式のグリーン関数
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クラインゴルドン方程式のグリーン関数が満たす式を書くと、
<tex>
(\Box - m^2)\Delta(x) = -\delta^4(x-x^\prime) \tag{##}
</tex>
ここでデルタ関数は、 $x-x^\prime = (x + y + z - t)-(x^\pr...
<tex>
\int d^4p e^{ip(x-x^\prime)}=(2 \pi)^4 \delta(x-x^\prime)...
</tex>
となります。式(5)に式(4)を代入して、p積分の中身を比較する...
<tex>
(\Box - m^2)\int \Delta(p) e^{ipx} d^4p &= -\delta^4(x-x^...
\int ((ip)^2 - m^2)\Delta(p) e^{ipx} d^4p &= -\dfrac{1}{(...
\int (p^2 + m^2)\Delta(p) e^{ipx} d^4p &= \dfrac{1}{(2 \p...
</tex>
より、積分の中身を比較して、
<tex>
(p^2 + m^2)\Delta(p) e^{ipx} &= \dfrac{1}{(2 \pi)^4} e^{i...
\Delta(p) &= \dfrac{1}{(2 \pi)^4} \dfrac{e^{-ipx^\prime}}...
</tex>
となり、なんとか $\Delta(p)$ が求まりました。最後に式(4)...
<tex>
\Delta(x) = \dfrac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \dfrac{e^{ipx}...
</tex>
ここで、 $p^2 + m^2 = \bm{p}^2 + m^2 - p_0^2$ となり、 $p...
<tex>
\Delta_{ret}(x) = \dfrac{1}{(2 \pi)^4} \lim_{\varepsilon ...
</tex>
という形になったわけです。これが遅延グリーン関数 $\Delta_...
<tex>
\Delta_{adv}(x) = \dfrac{1}{(2 \pi)^4} \lim_{\varepsilon ...
</tex>
今日はここまで。お疲れ様でした。
@@author:クロメル@@
@@accept:2016-06-20@@
@@category:量子力学@@
@@id:greenFunctionOfKG@@
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