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ガウス積分の公式
=================
物理を学んでいると、頻繁に出てくる積分というのがあります。
その一つが *ガウス積分* です。
------------------
ガウス積分
------------------
ガウス積分とは、つぎのような式で書かれる積分のことです。
<tex>
I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2} dx \tag{1}
</tex>
ここで $x$ は実数、 $a$ は正の定数です。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
ガウス積分の公式
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
ふつうガウス積分は、公式として扱われることが多いです。
ガウス積分の公式はつぎのようなものです。
<tex>
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{...
</tex>
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
ガウス積分の公式の証明
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
いくら公式だとはいっても、一度は本当にそうなることを確認...
この公式の証明は院試で頻出ですので、その道を目指す方は覚...
まず、左辺の積分値を $I$ とします。 $I$ は被積分関数の関...
<tex>
I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2} dx
</tex>
と書いても、
<tex>
I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a y^2} dy
</tex>
と書いても、積分値に変わりはありませんね。
したがって、
<tex>
I^2 & = \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2} dx \rig...
& = \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2} dx \rig...
& = \int_{-\infty}^{\infty} dx \int_{-\infty}^{\infty...
</tex>
と変形していくことができます。
ここで $x = r \cos \theta$ 、 $y = r \sin \theta$ と変数...
<tex>
I^2 & = \int_0^{\infty} r dr \int_0^{2\pi} d\theta \ e^{-...
</tex>
と書けます。 $\theta$ については積分を実行することができ...
<tex>
I^2 & = 2 \pi \int_0^{\infty} r dr \ e^{-a r^2} \\
& = 2 \pi \int_0^{\infty} d\left( \frac{r^2}{2} \righ...
& = \pi \left[ -\frac{1}{a} e^{-a t} \right]_{t = 0}^...
& = \frac{\pi}{a} \tag{5}
</tex>
となります。ただし 2行目から 3行目で見やすいように、積分...
$I > 0$ なので、正の値のみをとって
<tex>
I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2} dx = \sqrt{\frac{\...
</tex>
となり、ガウス積分の公式を得ることができました。
@@author: CO@@
@@accept: 2004-01-01@@
@@category: 物理数学@@
@@id:gaussIntegral@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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ガウス積分の公式
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物理を学んでいると、頻繁に出てくる積分というのがあります。
その一つが *ガウス積分* です。
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ガウス積分
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ガウス積分とは、つぎのような式で書かれる積分のことです。
<tex>
I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2} dx \tag{1}
</tex>
ここで $x$ は実数、 $a$ は正の定数です。
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ガウス積分の公式
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ふつうガウス積分は、公式として扱われることが多いです。
ガウス積分の公式はつぎのようなものです。
<tex>
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{...
</tex>
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ガウス積分の公式の証明
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いくら公式だとはいっても、一度は本当にそうなることを確認...
この公式の証明は院試で頻出ですので、その道を目指す方は覚...
まず、左辺の積分値を $I$ とします。 $I$ は被積分関数の関...
<tex>
I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2} dx
</tex>
と書いても、
<tex>
I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a y^2} dy
</tex>
と書いても、積分値に変わりはありませんね。
したがって、
<tex>
I^2 & = \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2} dx \rig...
& = \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2} dx \rig...
& = \int_{-\infty}^{\infty} dx \int_{-\infty}^{\infty...
</tex>
と変形していくことができます。
ここで $x = r \cos \theta$ 、 $y = r \sin \theta$ と変数...
<tex>
I^2 & = \int_0^{\infty} r dr \int_0^{2\pi} d\theta \ e^{-...
</tex>
と書けます。 $\theta$ については積分を実行することができ...
<tex>
I^2 & = 2 \pi \int_0^{\infty} r dr \ e^{-a r^2} \\
& = 2 \pi \int_0^{\infty} d\left( \frac{r^2}{2} \righ...
& = \pi \left[ -\frac{1}{a} e^{-a t} \right]_{t = 0}^...
& = \frac{\pi}{a} \tag{5}
</tex>
となります。ただし 2行目から 3行目で見やすいように、積分...
$I > 0$ なので、正の値のみをとって
<tex>
I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2} dx = \sqrt{\frac{\...
</tex>
となり、ガウス積分の公式を得ることができました。
@@author: CO@@
@@accept: 2004-01-01@@
@@category: 物理数学@@
@@id:gaussIntegral@@
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