記事ソース/ガウスの定理は本当に常に成り立っているの?
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#rst2hooktail_source
=========================================================...
ガウスの定理は本当に常に成り立っているの?
=========================================================...
ガウスの定理は本当に常にどんな条件でもなりたっているのか。
結論を言うと成り立っています。
理解の助けになると思います。
ガウスの定理とはつまり、次の式です。
<tex>
\int_V \mathrm{div} \bm{E} dV = \int_{\partial V} \bm{E} ...
</tex>
ちなみに、 $\partial V$ という書き方は、三次元領域 $V$ の...
この記事を書いた動機
============================
ガウスの定理って、表面の様子が分かれば中身の様子が分かる...
中身がぐちゃぐちゃなどんな変な関数でも言えるのかな?とい...
.. [*] これは正確には誤りです。中身のすべてが分かるわけで...
中身のある特性(div)の収支が分かるだけです。
難しい問題での定石
===========================
こういうときはとにかく次元を落として簡単化して考えるのが...
一番簡単な一次元の時を考えてみましょう。
<tex>
\int_a^b \dfrac{dF}{dx} dx = F(b) - F(a) \tag{##}
</tex>
これは微積分学の基本定理というやつです。
これに変な関数 $G$ を足してみます。
へんな関数といっても、積分とは曲線の下の面積を求める操作...
式 $(2)$ は成立します。
<tex>
\int_a^b \dfrac{dG}{dx} dx = G(b) - G(a) \tag{##}
</tex>
よって、両者を足せば、
<tex>
\int_a^b \dfrac{d(F+G)}{dx} dx = F(b)+G(b)-F(a)-G(a) \tag...
</tex>
となり、表面(端点)の値だけで積分値が決まってしまいます。
これが成り立たない反例はちょっと思いつかないです。
三次元に拡張
=======================
三次元のガウスの定理は、この拡張です。
つまり、例えば $\bm{E}$ のz成分 $E_z$ について書くと、
<tex>
\iint dx dy \int_{a}^{b} \dfrac{d E_z}{dz} dz = \iint_{\p...
</tex>
なので [*]_ 、これは、左辺が
.. [*] この式の意味するところは、少し長くなるので、高木貞...
<tex>
\int_a^b \dfrac{d E_z}{dz} dz = E_z(b) - E_z(a) \tag{##}
</tex>
より、式 $(5)$ の左辺は、領域 $V$ をz軸の正の方向から見...
<tex>
\iint dx dy \int_{a}^{b} \dfrac{d E_z}{dz} dz &= \iint dx...
&= \iint_{S_1} dx dy E_z - \iint_{S_2} dx dy E_z \\
&= \iint_{\partial V} dx dy E_z
</tex>
と、この様に等号が成立することが示せます。
どういうことなのか、自分なりに考えてみました。
もし、原点の電荷から電気力線の様なものが伸びていて、
途中で消えたりしたら(ラプラス方程式ではないので
そんなこともありです。)、そこでは負の発散が存在していて、
結局、その減った分はしっかりと体積積分に勘定され、
表面積分にも連動して振る舞うということのようです。だって、
外に出る電気力線が消えているのだから、
表面積分の値は当然減るでしょう?
今日はこの辺で、お疲れ様でした。
@@author:クロメル@@
@@accept:2013-07-31@@
@@category:ベクトル解析@@
@@id:gaussReallyTrue@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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ガウスの定理は本当に常に成り立っているの?
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ガウスの定理は本当に常にどんな条件でもなりたっているのか。
結論を言うと成り立っています。
理解の助けになると思います。
ガウスの定理とはつまり、次の式です。
<tex>
\int_V \mathrm{div} \bm{E} dV = \int_{\partial V} \bm{E} ...
</tex>
ちなみに、 $\partial V$ という書き方は、三次元領域 $V$ の...
この記事を書いた動機
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ガウスの定理って、表面の様子が分かれば中身の様子が分かる...
中身がぐちゃぐちゃなどんな変な関数でも言えるのかな?とい...
.. [*] これは正確には誤りです。中身のすべてが分かるわけで...
中身のある特性(div)の収支が分かるだけです。
難しい問題での定石
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こういうときはとにかく次元を落として簡単化して考えるのが...
一番簡単な一次元の時を考えてみましょう。
<tex>
\int_a^b \dfrac{dF}{dx} dx = F(b) - F(a) \tag{##}
</tex>
これは微積分学の基本定理というやつです。
これに変な関数 $G$ を足してみます。
へんな関数といっても、積分とは曲線の下の面積を求める操作...
式 $(2)$ は成立します。
<tex>
\int_a^b \dfrac{dG}{dx} dx = G(b) - G(a) \tag{##}
</tex>
よって、両者を足せば、
<tex>
\int_a^b \dfrac{d(F+G)}{dx} dx = F(b)+G(b)-F(a)-G(a) \tag...
</tex>
となり、表面(端点)の値だけで積分値が決まってしまいます。
これが成り立たない反例はちょっと思いつかないです。
三次元に拡張
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三次元のガウスの定理は、この拡張です。
つまり、例えば $\bm{E}$ のz成分 $E_z$ について書くと、
<tex>
\iint dx dy \int_{a}^{b} \dfrac{d E_z}{dz} dz = \iint_{\p...
</tex>
なので [*]_ 、これは、左辺が
.. [*] この式の意味するところは、少し長くなるので、高木貞...
<tex>
\int_a^b \dfrac{d E_z}{dz} dz = E_z(b) - E_z(a) \tag{##}
</tex>
より、式 $(5)$ の左辺は、領域 $V$ をz軸の正の方向から見...
<tex>
\iint dx dy \int_{a}^{b} \dfrac{d E_z}{dz} dz &= \iint dx...
&= \iint_{S_1} dx dy E_z - \iint_{S_2} dx dy E_z \\
&= \iint_{\partial V} dx dy E_z
</tex>
と、この様に等号が成立することが示せます。
どういうことなのか、自分なりに考えてみました。
もし、原点の電荷から電気力線の様なものが伸びていて、
途中で消えたりしたら(ラプラス方程式ではないので
そんなこともありです。)、そこでは負の発散が存在していて、
結局、その減った分はしっかりと体積積分に勘定され、
表面積分にも連動して振る舞うということのようです。だって、
外に出る電気力線が消えているのだから、
表面積分の値は当然減るでしょう?
今日はこの辺で、お疲れ様でした。
@@author:クロメル@@
@@accept:2013-07-31@@
@@category:ベクトル解析@@
@@id:gaussReallyTrue@@
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