記事ソース/オイラー・ラグランジュ方程式の座標非依存性
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=========================================================...
オイラー・ラグランジュ方程式の座標非依存性
=========================================================...
オイラー・ラグランジュ方程式
<tex>
\left(\dfrac{\partial L}{\partial q_i} \right)- \dfrac{d}...
</tex>
は、デカルト座標系で表された場合でも、
極座標で表された時でも、等しく成り立つのでした。
どんな座標系 $q_i$ から座標系 $\eta_j$ への同次変換
<tex>
q_i = q_i(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n) \ \ \ (i = 1,2, \c...
</tex>
で考えても、オイラー・ラグランジュ方程式が成立することを...
簡単の為、ラグランジアンは時間に依存しないものとします。
ある程度分かっている人向けだと思います。
ちょっと復習
========================
そもそもオイラー・ラグランジュ方程式は、どうやって導出さ...
軽く振り返ってみましょう。
自然界では作用 $S$ (=ラグランジアン $L$ の時間積分)と...
これをハミルトンの原理とか、最小作用の原理といいます。
数式で表すと、 $A$ 点 $B$ 点の間では
<tex>
S = \int_A^B L(q_1 , \dot{q}_1 , \cdots , q_n , \dot{q}_n...
</tex>
として、その変分を $\delta S$ とし、境界項を省略すると、
<tex>
\delta S &= \delta \int_A^B L(q_1 , \dot{q}_1,\cdots) dt \\
&= \int_A^B \left\{ L(q_1 + \delta q_1, \dot{q}_1+\delta ...
&= \int_A^B \left\{ L(q_1 + \delta q_1, \dot{q}_1+\delta ...
&+ \left. L(q_1 , \dot{q}_1+\delta \dot{q}_1,\cdots) - L(...
&= \int_A^B \left( \dfrac{\partial L(q_1, \dot{q}_1,\cdot...
&+ \int_A^B \left( \dfrac{\partial L(q_1, \dot{q}_1,\cdot...
&= \sum_{i=1}^n \int_A^B \left( \dfrac{\partial L (q_1, \...
&= \sum_{i=1}^n \int_A^B \left( \dfrac{\partial L (q_1, \...
&= 0 \tag{##}
</tex>
このゼロが恒等的に成立するとすると、オイラー・ラグランジ...
<tex>
\dfrac{\partial L (q_1, \dot{q}_1,\cdots)}{\partial q_i} ...
</tex>
が導かれます。
さぁ、座標変換だ
============================
さて、そろそろ本題に入りましょう。座標変換、
<tex>
q_i = q_i(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n) \ \ \ (i = 1,2, \c...
</tex>
が与えられているとします。
この時には、
<tex>
&\sum_{i=1}^n \dfrac{\partial \eta_k}{\partial q_i}\dfrac...
&= \dfrac{\partial \eta_k}{\partial \eta_j} \\
&= \delta_{kj} \tag{##}
</tex>
が成立することを確認しておきます。このδはクロネッカーのデ...
<tex>
\sum_{i=1}^n \dfrac{\partial L}{\partial q_i} \delta q_i
&= \sum_{i,j,k=1}^n \dfrac{\partial L}{\partial \eta_k} \...
&= \sum_{j,k=1}^n \dfrac{\partial L}{\partial \eta_k} \df...
&= \sum_{j,k=1}^n \dfrac{\partial L}{\partial \eta_k} \de...
&= \sum_{j=1}^n \dfrac{\partial L}{\partial \eta_j} \delt...
</tex>
が成立します。同様に、後半部分も、
<tex>
\sum_{i=1}^n \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \delt...
&= \sum_{i,j,k=1}^n \dfrac{\partial L}{\partial \dot{\eta...
&= \sum_{j,k=1}^n \dfrac{\partial L}{\partial \dot{\eta}_...
&= \sum_{j,k=1}^n \dfrac{\partial L}{\partial \dot{\eta}_...
&= \sum_{j=1}^n \dfrac{\partial L}{\partial \dot{\eta}_j}...
</tex>
となります。よって、
<tex>
\delta S
&= \sum_{i=1}^n \int_A^B \left( \dfrac{\partial L}{\parti...
&= \sum_{j=1}^n \int_A^B \left( \dfrac{\partial L}{\parti...
&= \sum_{j=1}^n \int_A^B \left( \dfrac{\partial L}{\parti...
&= 0 \tag{##}
</tex>
となり、無事、別の座標系 $\eta_j$ でも恒等的にゼロに等し...
オイラー・ラグランジュ方程式の別の座標系での表現、
<tex>
\dfrac{\partial L}{\partial \eta_j} - \dfrac{d}{dt} \left...
</tex>
が導けました。今日はここまで、お疲れ様でした。
@@author:クロメル@@
@@accept:2014-03-13@@
@@category:解析力学@@
@@id:coodindep@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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オイラー・ラグランジュ方程式の座標非依存性
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オイラー・ラグランジュ方程式
<tex>
\left(\dfrac{\partial L}{\partial q_i} \right)- \dfrac{d}...
</tex>
は、デカルト座標系で表された場合でも、
極座標で表された時でも、等しく成り立つのでした。
どんな座標系 $q_i$ から座標系 $\eta_j$ への同次変換
<tex>
q_i = q_i(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n) \ \ \ (i = 1,2, \c...
</tex>
で考えても、オイラー・ラグランジュ方程式が成立することを...
簡単の為、ラグランジアンは時間に依存しないものとします。
ある程度分かっている人向けだと思います。
ちょっと復習
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そもそもオイラー・ラグランジュ方程式は、どうやって導出さ...
軽く振り返ってみましょう。
自然界では作用 $S$ (=ラグランジアン $L$ の時間積分)と...
これをハミルトンの原理とか、最小作用の原理といいます。
数式で表すと、 $A$ 点 $B$ 点の間では
<tex>
S = \int_A^B L(q_1 , \dot{q}_1 , \cdots , q_n , \dot{q}_n...
</tex>
として、その変分を $\delta S$ とし、境界項を省略すると、
<tex>
\delta S &= \delta \int_A^B L(q_1 , \dot{q}_1,\cdots) dt \\
&= \int_A^B \left\{ L(q_1 + \delta q_1, \dot{q}_1+\delta ...
&= \int_A^B \left\{ L(q_1 + \delta q_1, \dot{q}_1+\delta ...
&+ \left. L(q_1 , \dot{q}_1+\delta \dot{q}_1,\cdots) - L(...
&= \int_A^B \left( \dfrac{\partial L(q_1, \dot{q}_1,\cdot...
&+ \int_A^B \left( \dfrac{\partial L(q_1, \dot{q}_1,\cdot...
&= \sum_{i=1}^n \int_A^B \left( \dfrac{\partial L (q_1, \...
&= \sum_{i=1}^n \int_A^B \left( \dfrac{\partial L (q_1, \...
&= 0 \tag{##}
</tex>
このゼロが恒等的に成立するとすると、オイラー・ラグランジ...
<tex>
\dfrac{\partial L (q_1, \dot{q}_1,\cdots)}{\partial q_i} ...
</tex>
が導かれます。
さぁ、座標変換だ
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さて、そろそろ本題に入りましょう。座標変換、
<tex>
q_i = q_i(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n) \ \ \ (i = 1,2, \c...
</tex>
が与えられているとします。
この時には、
<tex>
&\sum_{i=1}^n \dfrac{\partial \eta_k}{\partial q_i}\dfrac...
&= \dfrac{\partial \eta_k}{\partial \eta_j} \\
&= \delta_{kj} \tag{##}
</tex>
が成立することを確認しておきます。このδはクロネッカーのデ...
<tex>
\sum_{i=1}^n \dfrac{\partial L}{\partial q_i} \delta q_i
&= \sum_{i,j,k=1}^n \dfrac{\partial L}{\partial \eta_k} \...
&= \sum_{j,k=1}^n \dfrac{\partial L}{\partial \eta_k} \df...
&= \sum_{j,k=1}^n \dfrac{\partial L}{\partial \eta_k} \de...
&= \sum_{j=1}^n \dfrac{\partial L}{\partial \eta_j} \delt...
</tex>
が成立します。同様に、後半部分も、
<tex>
\sum_{i=1}^n \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \delt...
&= \sum_{i,j,k=1}^n \dfrac{\partial L}{\partial \dot{\eta...
&= \sum_{j,k=1}^n \dfrac{\partial L}{\partial \dot{\eta}_...
&= \sum_{j,k=1}^n \dfrac{\partial L}{\partial \dot{\eta}_...
&= \sum_{j=1}^n \dfrac{\partial L}{\partial \dot{\eta}_j}...
</tex>
となります。よって、
<tex>
\delta S
&= \sum_{i=1}^n \int_A^B \left( \dfrac{\partial L}{\parti...
&= \sum_{j=1}^n \int_A^B \left( \dfrac{\partial L}{\parti...
&= \sum_{j=1}^n \int_A^B \left( \dfrac{\partial L}{\parti...
&= 0 \tag{##}
</tex>
となり、無事、別の座標系 $\eta_j$ でも恒等的にゼロに等し...
オイラー・ラグランジュ方程式の別の座標系での表現、
<tex>
\dfrac{\partial L}{\partial \eta_j} - \dfrac{d}{dt} \left...
</tex>
が導けました。今日はここまで、お疲れ様でした。
@@author:クロメル@@
@@accept:2014-03-13@@
@@category:解析力学@@
@@id:coodindep@@
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