物理のかぎプロジェクト

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#rst2hooktail_source ================================ エントロピー増大の法則を見てみる ================================ 熱力学で熱力学第二法則。つまり、エントロピー増大の法則を... (2020.6.28追記：「りけいじん」さんと言う方に以前この記事... 準備 ==== まず、一分子あたりの定積比熱を $c_V$ とします。普通のnモ... <tex> dS &= \dfrac{N c_V}{T}dT +\dfrac{p}{T}dV \\ &= \dfrac{N c_V}{T}dT +\dfrac{N k_B}{V}dV \tag{##} </tex> 状態「０」からの変化を積分してもとめると、 <tex> S - S_0 = N c_V \log (T/T_0) + N k_B \log (V/V_0) \tag{##} </tex> ここで体積を２倍にしてみると、 $ V \to 2V,N \to 2N $ です... 右辺第二項は $ 2 N k_B \log (2V/V_0) = 2 N k_B \log (V/V_... なり、エントロピーは示量変数ですから定数項 $ 2 N k_B \log... そこで以下の様に修正がされます。 <tex> S - S_0 = N c_V \log (T/T_0) + N k_B \log \left( \dfrac{V... </tex> となります。これは熱力学の実験側からの修正で、後に統計力... これから考える二部屋に「１」、「２」と名前を付けます。十... また、部屋全体の量には、 $V_t,N_t$ のようにトータル(total... 二部屋を仕切る透熱壁が固定されている系 ====================================== まず、この場合エネルギー保存則より、 <tex> N_1 c_V T_1 +N_2 c_V T_2 = (N_1 +N_2) c_V T^\prime \tag{##} </tex> よって、 <tex> T^\prime = \dfrac{N_1 T_1 + N_2 T_2}{N_1+N_2} \tag{##} </tex> となります。そして、 $N,V$ は変わりません。よって、エント... <tex> \Delta S &= S^\prime - S \\ &= N_1 c_V \log (T^\prime /T_1) + N_2 c_V \log (T^\prime ... </tex> と求められます。 二部屋を仕切る透熱壁が可動な系 ============================== まず、この場合もエネルギー保存則より、 <tex> N_1 c_V T_1 +N_2 c_V T_2 = (N_1 +N_2) c_V T^\prime \tag{##} </tex> が成立します。 よって、 <tex> T^\prime = \dfrac{N_1 T_1 + N_2 T_2}{N_1+N_2} \tag{##} </tex> です。また、壁が可動なので、部屋１と２の圧力pは等しくなり... <tex> p_1^\prime = p_2^\prime = p^\prime \\ \dfrac{N_1 k_B T^\prime}{V_1^\prime} = \dfrac{N_2 k_B T^\... \tag{##} </tex> そして、変化の落ち着くところでは全体が一様になるので、こ... <tex> \dfrac{V_1^\prime}{N_1}=\dfrac{V_2^\prime}{N_2}=\dfrac{V_... \tag{##} </tex> と、 $V$ が求まります。そして、 $N$ は変化しませんから、... <tex> \Delta S &= S^\prime - S \\ &= N_1 c_V \log (T^\prime /T_1) + N_2 c_V \log (T^\prime ... &+ N_1 k_B \log \left( \dfrac{V_t}{N_t} / \dfrac{V_1}{N_1... &+ N_2 k_B \log \left( \dfrac{V_t}{N_t} / \dfrac{V_2}{N_2... </tex> 最後の二項が先ほどの結果式 $(6)$ に比べて大きくなり、より... 二部屋を仕切る断熱壁が可動な系 ============================== これは、左右の部屋の圧力が異なり、少し難しいです。思考実... この時、押し方によって結果は変化します。仕事 $d^\prime W$... つまり、壁は断熱が完全で、移動速さは無限にゆっくりの時で... <tex> pV^\gamma = \mathrm{const.} \tag{##} </tex> の関係があります。よって、上の変化をする限り、圧力は体積... 二部屋の全体体積は $V_1+V_2$ から変わりません。解く為の方... <tex> p_1 V_1^\gamma &= p^\prime V_1^{\prime \gamma} \\ p_2 V_2^\gamma &= p^\prime V_2^{\prime \gamma} \\ V_1 + V_2 &= V_1^\prime + V_2^\prime = V_t \\ (p_1^\prime &= p_2^\prime =p^\prime) \tag{##} </tex> となります。未知量は $V_1^\prime , V_2^\prime , p^\prime$... <tex> p_1^{(1/\gamma)} V_1 &= p^{\prime (1/\gamma)} V_1^{\prime... p_2^{(1/\gamma)} V_2 &= p^{\prime (1/\gamma)} V_2^{\prime... V_1^\prime + V_2^\prime &= V_t \tag{##} </tex> 上の二式を足して、全体の体積（ $V_t$ 既知量）と関係づけれ... <tex> p^{\prime (1/\gamma)} = \dfrac{p_1^{(1/\gamma)} V_1 + p_2... </tex> と、 $p^\prime$ が求められました。これを式 $(14)$ に... $V_1^\prime , V_2^\prime$ が求まります。 <tex> V_1^{\prime} &= V_1 \left( p_1 /p^\prime \right)^{(1/\gam... V_2^{\prime} &= V_2 \left( p_2 /p^\prime \right)^{(1/\gam... </tex> さらに、 $T$ について求めると、式 $(16)$ より、 <tex> \dfrac{T_1^\prime}{T_1} = \dfrac{p^\prime V_1^\prime}{p_1... \dfrac{T_2^\prime}{T_2} = \dfrac{p^\prime V_2^\prime}{p_2... \tag{##} </tex> となります。また、式 $(16)$ より、 <tex> \dfrac{V_1^\prime}{V_1} = \left( \dfrac{p_1}{p^\prime} \r... \dfrac{V_2^\prime}{V_2} = \left( \dfrac{p_2}{p^\prime} \r... \tag{##} </tex> です。よって、変化後のエントロピー変化には、粒子数からの... <tex> \Delta S_1 &= N_1 c_V \log \left( \dfrac{T_1^\prime}{T_1}... &= N_1 c_V \log \left( \dfrac{p^\prime}{p_1} \right)^{(\g... &= N_1 \dfrac{k_B}{\gamma} \log \left( \dfrac{p^\prime}{p... &= 0 \tag{##} </tex> ここで、マイヤーの関係 $c_p -c_V = k_B$ を使いました。系... <tex> \Delta S &= 0 \tag{##} </tex> となります。この場合、エントロピーはどちらの部屋でも変わ... 「準静的な過程だからエントロピー変化がないです。また、こ... というご指摘を読者様から頂きました。ありがとうございます... 今回は、すみませんが、エントロピー変化を求めることはでき... @@reference: 長岡洋介,岩波基礎物理シリーズ７「統計力学」,... .. _理想気体のエントロピー変化を計算計算してみる: https:/... @@author:クロメル@@ @@accept:2014-05-31@@ @@id:twoRoomEntropy@@ @@category:熱力学@@

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#rst2hooktail_source ================================ エントロピー増大の法則を見てみる ================================ 熱力学で熱力学第二法則。つまり、エントロピー増大の法則を... (2020.6.28追記：「りけいじん」さんと言う方に以前この記事... 準備 ==== まず、一分子あたりの定積比熱を $c_V$ とします。普通のnモ... <tex> dS &= \dfrac{N c_V}{T}dT +\dfrac{p}{T}dV \\ &= \dfrac{N c_V}{T}dT +\dfrac{N k_B}{V}dV \tag{##} </tex> 状態「０」からの変化を積分してもとめると、 <tex> S - S_0 = N c_V \log (T/T_0) + N k_B \log (V/V_0) \tag{##} </tex> ここで体積を２倍にしてみると、 $ V \to 2V,N \to 2N $ です... 右辺第二項は $ 2 N k_B \log (2V/V_0) = 2 N k_B \log (V/V_... なり、エントロピーは示量変数ですから定数項 $ 2 N k_B \log... そこで以下の様に修正がされます。 <tex> S - S_0 = N c_V \log (T/T_0) + N k_B \log \left( \dfrac{V... </tex> となります。これは熱力学の実験側からの修正で、後に統計力... これから考える二部屋に「１」、「２」と名前を付けます。十... また、部屋全体の量には、 $V_t,N_t$ のようにトータル(total... 二部屋を仕切る透熱壁が固定されている系 ====================================== まず、この場合エネルギー保存則より、 <tex> N_1 c_V T_1 +N_2 c_V T_2 = (N_1 +N_2) c_V T^\prime \tag{##} </tex> よって、 <tex> T^\prime = \dfrac{N_1 T_1 + N_2 T_2}{N_1+N_2} \tag{##} </tex> となります。そして、 $N,V$ は変わりません。よって、エント... <tex> \Delta S &= S^\prime - S \\ &= N_1 c_V \log (T^\prime /T_1) + N_2 c_V \log (T^\prime ... </tex> と求められます。 二部屋を仕切る透熱壁が可動な系 ============================== まず、この場合もエネルギー保存則より、 <tex> N_1 c_V T_1 +N_2 c_V T_2 = (N_1 +N_2) c_V T^\prime \tag{##} </tex> が成立します。 よって、 <tex> T^\prime = \dfrac{N_1 T_1 + N_2 T_2}{N_1+N_2} \tag{##} </tex> です。また、壁が可動なので、部屋１と２の圧力pは等しくなり... <tex> p_1^\prime = p_2^\prime = p^\prime \\ \dfrac{N_1 k_B T^\prime}{V_1^\prime} = \dfrac{N_2 k_B T^\... \tag{##} </tex> そして、変化の落ち着くところでは全体が一様になるので、こ... <tex> \dfrac{V_1^\prime}{N_1}=\dfrac{V_2^\prime}{N_2}=\dfrac{V_... \tag{##} </tex> と、 $V$ が求まります。そして、 $N$ は変化しませんから、... <tex> \Delta S &= S^\prime - S \\ &= N_1 c_V \log (T^\prime /T_1) + N_2 c_V \log (T^\prime ... &+ N_1 k_B \log \left( \dfrac{V_t}{N_t} / \dfrac{V_1}{N_1... &+ N_2 k_B \log \left( \dfrac{V_t}{N_t} / \dfrac{V_2}{N_2... </tex> 最後の二項が先ほどの結果式 $(6)$ に比べて大きくなり、より... 二部屋を仕切る断熱壁が可動な系 ============================== これは、左右の部屋の圧力が異なり、少し難しいです。思考実... この時、押し方によって結果は変化します。仕事 $d^\prime W$... つまり、壁は断熱が完全で、移動速さは無限にゆっくりの時で... <tex> pV^\gamma = \mathrm{const.} \tag{##} </tex> の関係があります。よって、上の変化をする限り、圧力は体積... 二部屋の全体体積は $V_1+V_2$ から変わりません。解く為の方... <tex> p_1 V_1^\gamma &= p^\prime V_1^{\prime \gamma} \\ p_2 V_2^\gamma &= p^\prime V_2^{\prime \gamma} \\ V_1 + V_2 &= V_1^\prime + V_2^\prime = V_t \\ (p_1^\prime &= p_2^\prime =p^\prime) \tag{##} </tex> となります。未知量は $V_1^\prime , V_2^\prime , p^\prime$... <tex> p_1^{(1/\gamma)} V_1 &= p^{\prime (1/\gamma)} V_1^{\prime... p_2^{(1/\gamma)} V_2 &= p^{\prime (1/\gamma)} V_2^{\prime... V_1^\prime + V_2^\prime &= V_t \tag{##} </tex> 上の二式を足して、全体の体積（ $V_t$ 既知量）と関係づけれ... <tex> p^{\prime (1/\gamma)} = \dfrac{p_1^{(1/\gamma)} V_1 + p_2... </tex> と、 $p^\prime$ が求められました。これを式 $(14)$ に... $V_1^\prime , V_2^\prime$ が求まります。 <tex> V_1^{\prime} &= V_1 \left( p_1 /p^\prime \right)^{(1/\gam... V_2^{\prime} &= V_2 \left( p_2 /p^\prime \right)^{(1/\gam... </tex> さらに、 $T$ について求めると、式 $(16)$ より、 <tex> \dfrac{T_1^\prime}{T_1} = \dfrac{p^\prime V_1^\prime}{p_1... \dfrac{T_2^\prime}{T_2} = \dfrac{p^\prime V_2^\prime}{p_2... \tag{##} </tex> となります。また、式 $(16)$ より、 <tex> \dfrac{V_1^\prime}{V_1} = \left( \dfrac{p_1}{p^\prime} \r... \dfrac{V_2^\prime}{V_2} = \left( \dfrac{p_2}{p^\prime} \r... \tag{##} </tex> です。よって、変化後のエントロピー変化には、粒子数からの... <tex> \Delta S_1 &= N_1 c_V \log \left( \dfrac{T_1^\prime}{T_1}... &= N_1 c_V \log \left( \dfrac{p^\prime}{p_1} \right)^{(\g... &= N_1 \dfrac{k_B}{\gamma} \log \left( \dfrac{p^\prime}{p... &= 0 \tag{##} </tex> ここで、マイヤーの関係 $c_p -c_V = k_B$ を使いました。系... <tex> \Delta S &= 0 \tag{##} </tex> となります。この場合、エントロピーはどちらの部屋でも変わ... 「準静的な過程だからエントロピー変化がないです。また、こ... というご指摘を読者様から頂きました。ありがとうございます... 今回は、すみませんが、エントロピー変化を求めることはでき... @@reference: 長岡洋介,岩波基礎物理シリーズ７「統計力学」,... .. _理想気体のエントロピー変化を計算計算してみる: https:/... @@author:クロメル@@ @@accept:2014-05-31@@ @@id:twoRoomEntropy@@ @@category:熱力学@@

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