記事ソース/もう一度ベクトル2(ベクトルの読み書きそろばん)
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もう一度ベクトル2(ベクトルの読み書きそろばん)
===============================================
0. 複数個のベクトルの取り扱いはどうするのか
---------------------------------------------------------...
ベクトルが1つしか出てこない場合よりも複数個出てくる状...
ということには納得していただけるでしょうか?
例えば、物体に働く力を考える際、二つ以上の力が働かないと...
ありませんし、その力のかかっている角度しだいで運動する向...
速度を考える際にも川を泳いで渡るときの状況を考えてみれば...
「自分の泳いでいる速度ベクトル」と、「川の流れの分の速度ベク...
"流されながら泳ぐ"という状況を考えなければいけません。
そういった複数個のベクトルの相互関係や相互作用をどう定...
がこのセクションでのテーマになります。
上記の内容についてはベクトルの和・差で表すことができま...
複数のベクトルの扱いには和・差の他にも定数倍、内積、外積...
直感的には必要性を捉えづらいものの、和・差に加え三つの積...
数学的、物理的条件の取り扱いが便利になります。
ではベクトルの四則演算(にあたるもの)を考え、その「図形的な...
をセクション毎に考えていきます。
.. contents::
以下、特に断らない限り、出てくるベクトルは全てゼロベク...
ではない
場合とします。
1. 和、差
------------------------------
先ず和ですね。図形的解釈から解説しましょう。
ベクトルの和は
<tex>
\bm{a}+\bm{b}
</tex>
というように表記し、普通の数と同様に $+$ の記号を使って和...
図形的には $\bm{a}$ の終点に $\bm{b}$ の始点を平行移動し...
$\bm{a}$
の始点から $\bm{b}$ の終点をそれぞれ始点、終点となるよう...
$\bm{a}+\bm{b}$
とします。
そうすると以下の図のようになり、平行四辺形が表れることに...
ここで注意して見てもらいたいのはベクトルの和がどちらを先...
変わらないことです。
ここで「ベクトルを平行移動して一致すれば同じベクトルとみな...
.. image:: yassan-RestudyVector2-fig01.png
感覚的にわかりやすい例としては移動しているところを考えて...
「点 $P$ から点 $Q$
に2ステップ踏んでいったけど結局1ステップで行ったらどう...
というのが $\bm{a}+\bm{b}$ で表されるベクトルです
では代数的側面を見てみましょう。具代的に表記を与えると...
<tex>
\bm{a}+\bm{b}
=
\begin{pmatrix}
a_x \\
a_y \\
a_z
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
b_x \\
b_y \\
b_z
\end{pmatrix}
\stackrel{\mathrm{def}}{=}
\begin{pmatrix}
a_x+b_x \\
a_y+b_y \\
a_z+b_z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
b_x+a_x \\
b_y+a_y \\
b_z+a_z
\end{pmatrix}
=
\bm{b}+\bm{a}
</tex>
つまり成分ごと足してあげればいいんです。成分同士が可換(和...
なのでベクトルの和も可換になります。
ここでvectorの原義で書いた”運搬”と言う原義に納得していた...
うか。
ゴールがどこかには興味があるが運んだ道筋には興味はないと...
つまりその点に行く際に、和の順序を変えても(移動する順番を...
和の結果(行き着く点)は変わらないということです。
次に差に触れます。
図形的側面の差は捉えづらいのでちょっと注意して図と文章を...
ベクトルの差は $\bm{a}-\bm{b}$ 等と書き、普通の数と同様 $...
を用いて表します。
そしてその意味としては $\bm{a}-\bm{b}$ とは以下の図で $\b...
としたとき、移項して $\bm{c}+\bm{b}=\bm{a}$ となる $\bm{c...
解決します。
ここで $\bm{c}$ は $B$ から $A$
に向かうベクトルになっていることはちょっと注意です。
.. image:: yassan-RestudyVector2-fig02.png
代数的な考え方の方の差は成分ごとの差に変わるだけなので比...
かと思います。具体的に表記すると
<tex>
\bm{a}-\bm{b}
=
\begin{pmatrix}
a_x \\
a_y \\
a_z
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
b_x \\
b_y \\
b_z
\end{pmatrix}
\stackrel{\mathrm{def}}{=}
\begin{pmatrix}
a_x-b_x \\
a_y-b_y \\
a_z-b_z
\end{pmatrix}
</tex>
となります。
2. 定数倍
----------------------------
ベクトルは向きと大きさが同じベクトルを「同じベクトル」と...
を表現する際に向きと大きさ両方が必要です。 [*]_
ここでスポットが当たるのがその大きさになります。
ベクトルの定数倍が何を表すのかといえば、「向きは変化させ...
させる」というのが定数倍で表現される内容です。
ここで言っている"定数"というのはスカラー(普通の数)のこと...
言うこともあります。
具体的には文字式の積のように $\times$ を省いて文字同士を...
<tex>
k\bm{a}
</tex>
等と書きます( $k$ はその際の適当な定数)
図形的側面を考えますと先ほど述べたとおり矢印を伸ばす度合...
例えば $k\bm{a}$ であれば $\bm{a}$ 向きをそのままに $k$
倍の長さに伸ばしたもの
と考えます。
<tex>
\bm{a}+\bm{a}=2\bm{a}\\
\bm{a}+\bm{a}+\bm{a}=3\bm{a}\\
\bm{a}+\bm{a}+...+\bm{a}=n\bm{a}
</tex>
と考えると感覚的にもわかりやすいのではないでしょうか。
例えば $2\bm{a}$ であれば $\bm{a}$ で移動したあと再び $\b...
分移動した点へ
向かうベクトルと考えてあげるとちょうど $2\bm{a}$ は $\bm{...
と平行で大きさだけ
2倍したものと考えられます。
上記の演算では当然整数倍しか作れませんが数学においてはお...
に拡張し、「向きはそのままに大きさだけ $k$ 倍したベクトル」...
となります。
また、定数に $-1$ を採用したものを平行で逆に向かう同じ大...
そうすれば定数が負の場合は $-\bm{a}$
をまた定数倍すると考えてあげればいいからです。
例えば $-\bm{a}$ であれば
<tex>
&\bm{a}-\bm{a}\\
=
&\bm{a}+[-\bm{a}]\\
=
&\bm{0}
</tex>
とゼロベクトルとなり、ベクトルの和の結果移動していない点...
結局のところ、戻ってきてしまうという事実にも一致していま...
.. image:: yassan-RestudyVector2-fig03.png
では代数的側面に移りましょう。具体的な表記では定数が各成...
カルト座標で考えると相似拡大(または縮小)されているところ...
います。
<tex>
k\bm{a}
=
k
\begin{pmatrix}
a_x \\
a_y \\
a_z
\end{pmatrix}
\stackrel{\mathrm{def}}{=}
\begin{pmatrix}
ka_x \\
ka_y \\
ka_z
\end{pmatrix}
</tex>
.. image:: yassan-RestudyVector2-fig04.png
以上の内容から「 $k\bm{a}$ は $\bm{a}$
平行」という事実を注意しておきたいと思い
ます。言われてみれば当たり前ですが、純粋に数学的な問題で「...
ベクトルが $\bm{a}$
と平行であることを証明せよ」と言われたらそのベクトルの条件
が $k\bm{a}$ とかけることが目標になります。
.. [*]
「 もう一度ベクトル1_ 」では「三次元の位置(ベクトル)を決め...
と書いてあったのに、話が変わっているんじゃないかと思った...
向きと大きさを決めれば平行移動も含めてベクトルは一通りに...
を固定してみるとそれはベクトルの始点を中心としてその大き...
終点が動きます。その中で、ある向きを持った直線と球の交点...
ませんね!?自由度という概念を使って考えて見ますと、先ず大...
ベクトルの各成分の自乗和が定数になることから自由度は3か...
三次元の曲座標から明らかなように向きを指定することは $\t...
の2つの変数を指定するので自由度は2つ減って0。つまり、...
単位ベクトル
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
数学でも物理でもよく単位ベクトルなる絶対値が $1$ のベクト...
なぜかというと単位ベクトルを作っておけば定数倍して簡単に...
ベクトルが作れるからです。
例えば後述の外積による操作で得られたベクトルはその演算の...
決まってしまいます。その際、求めたいベクトルと向きは合っ...
違う場合、一端単位ベクトルを計算し、大きさを規格化したあ...
して求めたいベクトルを得るわけです。
大きさが $1$ のベクトルを作るには自分の長さで割ってあげま...
したがって適当な $\bm{a}$ に平行な単位ベクトル $\bm{n_\bm...
<tex>
\bm{n_\bm{a}}
=
&\frac{\bm{a}}{|\bm{a}|} \\
=
&\frac{1}{\sqrt[]{\mathstrut a_x^2+a_y^2+a_z^2}}
\begin{pmatrix}
a_x \\
a_y \\
a_z
\end{pmatrix}
</tex>
とかけます。つまり定数倍の $k$ が $\frac{1}{\sqrt[]{\math...
となっているということです。
.. image:: yassan-RestudyVector2-fig05.png
ベクトルの差
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
逆向きのベクトル、つまり負の定数倍のベクトルを定義したの...
考えて見ましょう。ベクトルの"差"を"負の足し算"と言い換え...
<tex>
\bm{a}-\bm{b}
=
\bm{a}+[-\bm{b}]
</tex>
と考えてあげれば以下の図で納得してもらえるはずです
.. image:: yassan-RestudyVector2-fig06.png
3. 内積と外積
-----------------------------------------------
和と差に関する概念は理解できたでしょうか?では実数の四...
のを解説します。本当のことを言うと商の概念は出てきません ...
ので、積についてだけ考えれば
いい事になります。
そもそもベクトルとベクトルってどうやってかけるんでしょう...
取ればよかったので比較的納得しやすいんです。
問題は積です。
和・差の代数関係から直接拡張すると同じ成分を掛け合わせる...
実際はそういうふうにはなっていなくてちょっと複雑です。
そういう事情があり、積の代数的な定義に関しては注意深く定...
内積
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
では先ず内積から。
内積は
<tex>
\bm{a}\cdot\bm{b}
</tex>
と書き、積という言葉通り掛け算の省略記号に当たる $\cd...
を使って書きます。
ここで、「積だから」という理由で $\times$ は使わないでくだ...
こちらは外積を表すための記号で、数学では使い分けています。
図形的定義は次図になります。
.. image:: yassan-RestudyVector2-fig08.png
つまり $|\bm{a}||\bm{b}|\cos{\theta}$ となるスカラーにな...
は $\bm{a}$ と $\bm{b}$ の始点をそろえたときに2つのベク...
この性質から内積をスカラー積と呼ぶこともあります。
図形的意味としては $\bm{a}$ を $\bm{b}$ に射影させた辺の...
$|\bm{a}|\cos{\theta}$
に $|\bm{b}|$ をかけた量です。 [*]_
直接「ここの長さが内積の値」という量ではなく上記のような位...
で与えられる関数」と捉えると内積というのは『二つのベクトル...
を示す比と見ることが出来ます。
内積の代数的定義を表現すると
<tex>
\bm{a}\cdot\bm{b}
=
\begin{pmatrix}
a_x \\
a_y \\
a_z
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
b_x \\
b_y \\
b_z
\end{pmatrix}
\stackrel{\mathrm{def}}{=}
a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z
</tex>
となります。
余弦定理に座標を代入すると導けるので挑戦してみましょう。(...
また代表的な関係を以下にあげると
<tex>
\bm{a}\cdot\bm{a}
=
a_xa_x+a_ya_y+a_za_z
=
a_x^2+a_y^2+a_z^2
=
|\bm{a}|^2
</tex>
外積
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
それでは外積に入ります。
外積は
<tex>
\bm{a}\times\bm{b}
</tex>
と書き、積という言葉通り掛け算の記号を使って $\times$ ...
ここで、「積だから」という理由で $\cdot$ は使わないでく...
こちらは内積を表すための記号で、数学では使い分けます。
外積の図形的定義は次図のようになります。
.. image:: yassan-RestudyVector2-fig09.png
つまり $\bm{a}$ と $\bm{b}$ に共に垂直で大きさが
$|\bm{a}||\bm{b}|\sin{\theta}$ となる
ベクトル量になります。そのせいもありこちらはスカラー積に...
図を全く用いずに説明するなら「 $\bm{a}\times\bm{b}$ とは $...
$\bm{b}$ の順に回した
とき右ねじを回した際にねじが進む方向を向いている、大きさが
$|\bm{a}||\bm{b}|\sin{\theta}$
のベクトル」ということになります。
また、ここで $|\bm{a}||\bm{b}|\sin{\theta}$ は $\bm{a}$ ...
の2ベクトルで張られる
平行四辺形の面積になります。
こちらは内積に対して『二つのベクトルがどれくらい違うか』...
出来ます。
代数的な定義としては
<tex>
\bm{a}\times\bm{b}
=
\begin{pmatrix}
a_x \\
a_y \\
a_z
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
b_x \\
b_y \\
b_z
\end{pmatrix}
\stackrel{\mathrm{def}}{=}
\begin{pmatrix}
a_yb_z-a_zb_y \\
a_zb_x-a_xb_z \\
a_xb_y-a_yb_x
\end{pmatrix}
</tex>
こちらも代表的な関係を挙げると
<tex>
&\bm{a}\times\bm{b}
=
-\bm{b}\times\bm{a} \\
&\bm{a}\times\bm{a}
=
\bm{0}
</tex>
となります
.. [*]
実数の商はどのように考えられるかというと例えば $a=c\div ...
なる $a$ を探すことにより得られます。これだけでは「必要条...
言う意見も出るかもしれませんが、欲しい逆元が一意であれば...
条件を満たします。そんな理由があって $0$ では割れません...
に関係なく不定or不能になってしまうからです。どちらにして...
満たされないことが理由です。では他の分野にも目を向けてみ...
行列が正則であれば逆行列が存在し適当な演算(下記の場合左...
として $\bm{y}=A\bm{x}$ から $\bm{x}=A^{-1}\bm{y}$ が得...
が一意である逆演算が定義できれば実数でいう"商"にあたるも...
と考えたわけです。そこでベクトルの2積に関しても考えてみ...
は2つのベクトルの成す角とその大きさがともに等しければ同...
逆元は無数にあるので、逆演算は定義できそうにありません。...
でしょう?図から考えるに、関係は一意ですから逆演算は考え...
シンプルには表せそうもありません。書籍の中で見かけたこと...
表記にはならないのかもしれません。また、実用性もあまりな...
そういえば差も和の逆演算として定義されます。
.. [*]
射影という日本語からは直接導き出せないかもしれませんが射...
対象となった図形(又は図形量)に如何に近いかといった事と非...
なぜなら、射影する元の図形の射影の対象となる図形成分(又...
表しているからです。内積で言えば $|\bm{a}|\cos{\theta}$ ...
射影量に射影の対象となった $|\bm{b}|$ をかけていると考え...
イメージも湧きやすくなるのではないでしょうか。
4. まとめ
-----------------------------------------------
これで一通りのベクトルの読み書きそろばんが終わりました。...
四則演算をマスターしたからといって二次方程式が解けないよ...
は上記の内容だけでは全くの不足です。大工が大工道具の手入...
料理人が包丁の手入れを怠らないように、僕たちも数学を道具...
最良の状態にしておかねばなりません。また、内積と外積はそ...
$\cos$ と
いう相補的な関係にあることは記憶にとどめるのに1つの助け...
問題解答
---------------
証明は余弦定理を用います。計算を追いやすくするため表記...
ベクトルに変えて計算します。
<tex>
\bm{a}
=
\begin{pmatrix}
a \\
b \\
c
\end{pmatrix}, \qquad
\bm{x}
=
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
</tex>
とします。
余弦定理に合わせる為下図のように $\overrightarrow{\rm AB}...
<tex>
\bm{v}=\bm{a}-\bm{x}
=
\begin{pmatrix}
a-x \\
b-y \\
c-z
\end{pmatrix}
</tex>
と書けます。
.. image:: yassan-RestudyVector2-fig10.png
余弦定理を使ってあらわすと。2つのベクトルのなす角 $\th...
<tex>
\cos{\theta}
=
\frac{|\bm{a}|^2+|\bm{x}|^2-|\bm{v}|^2}{2|\bm{x}||\bm{a}|}
=
\frac{|\bm{a}|^2+|\bm{x}|^2-|\bm{a}-\bm{x}|^2}{2|\bm{x}||...
</tex>
と書けます。それではこの表記を内積の図形的な定義式に代...
<tex>
\bm{x}\cdot\bm{a}
=
&|\bm{x}||\bm{a}|\cos{\theta} \\
=
&|\bm{x}||\bm{a}|\frac{|\bm{a}|^2+|\bm{x}|^2-|\bm{a}-\bm{...
\\
=
&\frac{1}{2}[|\bm{a}|^2+|\bm{x}|^2-|\bm{a}-\bm{x}|^2] \\
=
&\frac{1}{2}\{(x^2+y^2+z^2)+(a^2+b^2+c^2)-[(a-x)^2+(b-y)^...
=
&\frac{1}{2}\cdot2(ax+by+cz) \\
=
&ax+by+cz
</tex>
となり、代数的な表式が得られました。
※以上の計算では もう一度ベクトル1_
に書いてあるベクトルの大きさの計算を用いています。
.. _もう一度ベクトル1: http://www12.plala.or.jp/ksp/vect...
@@reference: 宮腰 忠, 高校数学+α, 共立出版, 2004, 177-2...
@@author: やっさん@@
@@accept: 2005-05-28@@
@@category: ベクトル解析@@
@@information: イラスト:崎間@@
@@id: restudyVector2@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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もう一度ベクトル2(ベクトルの読み書きそろばん)
===============================================
0. 複数個のベクトルの取り扱いはどうするのか
---------------------------------------------------------...
ベクトルが1つしか出てこない場合よりも複数個出てくる状...
ということには納得していただけるでしょうか?
例えば、物体に働く力を考える際、二つ以上の力が働かないと...
ありませんし、その力のかかっている角度しだいで運動する向...
速度を考える際にも川を泳いで渡るときの状況を考えてみれば...
「自分の泳いでいる速度ベクトル」と、「川の流れの分の速度ベク...
"流されながら泳ぐ"という状況を考えなければいけません。
そういった複数個のベクトルの相互関係や相互作用をどう定...
がこのセクションでのテーマになります。
上記の内容についてはベクトルの和・差で表すことができま...
複数のベクトルの扱いには和・差の他にも定数倍、内積、外積...
直感的には必要性を捉えづらいものの、和・差に加え三つの積...
数学的、物理的条件の取り扱いが便利になります。
ではベクトルの四則演算(にあたるもの)を考え、その「図形的な...
をセクション毎に考えていきます。
.. contents::
以下、特に断らない限り、出てくるベクトルは全てゼロベク...
ではない
場合とします。
1. 和、差
------------------------------
先ず和ですね。図形的解釈から解説しましょう。
ベクトルの和は
<tex>
\bm{a}+\bm{b}
</tex>
というように表記し、普通の数と同様に $+$ の記号を使って和...
図形的には $\bm{a}$ の終点に $\bm{b}$ の始点を平行移動し...
$\bm{a}$
の始点から $\bm{b}$ の終点をそれぞれ始点、終点となるよう...
$\bm{a}+\bm{b}$
とします。
そうすると以下の図のようになり、平行四辺形が表れることに...
ここで注意して見てもらいたいのはベクトルの和がどちらを先...
変わらないことです。
ここで「ベクトルを平行移動して一致すれば同じベクトルとみな...
.. image:: yassan-RestudyVector2-fig01.png
感覚的にわかりやすい例としては移動しているところを考えて...
「点 $P$ から点 $Q$
に2ステップ踏んでいったけど結局1ステップで行ったらどう...
というのが $\bm{a}+\bm{b}$ で表されるベクトルです
では代数的側面を見てみましょう。具代的に表記を与えると...
<tex>
\bm{a}+\bm{b}
=
\begin{pmatrix}
a_x \\
a_y \\
a_z
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
b_x \\
b_y \\
b_z
\end{pmatrix}
\stackrel{\mathrm{def}}{=}
\begin{pmatrix}
a_x+b_x \\
a_y+b_y \\
a_z+b_z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
b_x+a_x \\
b_y+a_y \\
b_z+a_z
\end{pmatrix}
=
\bm{b}+\bm{a}
</tex>
つまり成分ごと足してあげればいいんです。成分同士が可換(和...
なのでベクトルの和も可換になります。
ここでvectorの原義で書いた”運搬”と言う原義に納得していた...
うか。
ゴールがどこかには興味があるが運んだ道筋には興味はないと...
つまりその点に行く際に、和の順序を変えても(移動する順番を...
和の結果(行き着く点)は変わらないということです。
次に差に触れます。
図形的側面の差は捉えづらいのでちょっと注意して図と文章を...
ベクトルの差は $\bm{a}-\bm{b}$ 等と書き、普通の数と同様 $...
を用いて表します。
そしてその意味としては $\bm{a}-\bm{b}$ とは以下の図で $\b...
としたとき、移項して $\bm{c}+\bm{b}=\bm{a}$ となる $\bm{c...
解決します。
ここで $\bm{c}$ は $B$ から $A$
に向かうベクトルになっていることはちょっと注意です。
.. image:: yassan-RestudyVector2-fig02.png
代数的な考え方の方の差は成分ごとの差に変わるだけなので比...
かと思います。具体的に表記すると
<tex>
\bm{a}-\bm{b}
=
\begin{pmatrix}
a_x \\
a_y \\
a_z
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
b_x \\
b_y \\
b_z
\end{pmatrix}
\stackrel{\mathrm{def}}{=}
\begin{pmatrix}
a_x-b_x \\
a_y-b_y \\
a_z-b_z
\end{pmatrix}
</tex>
となります。
2. 定数倍
----------------------------
ベクトルは向きと大きさが同じベクトルを「同じベクトル」と...
を表現する際に向きと大きさ両方が必要です。 [*]_
ここでスポットが当たるのがその大きさになります。
ベクトルの定数倍が何を表すのかといえば、「向きは変化させ...
させる」というのが定数倍で表現される内容です。
ここで言っている"定数"というのはスカラー(普通の数)のこと...
言うこともあります。
具体的には文字式の積のように $\times$ を省いて文字同士を...
<tex>
k\bm{a}
</tex>
等と書きます( $k$ はその際の適当な定数)
図形的側面を考えますと先ほど述べたとおり矢印を伸ばす度合...
例えば $k\bm{a}$ であれば $\bm{a}$ 向きをそのままに $k$
倍の長さに伸ばしたもの
と考えます。
<tex>
\bm{a}+\bm{a}=2\bm{a}\\
\bm{a}+\bm{a}+\bm{a}=3\bm{a}\\
\bm{a}+\bm{a}+...+\bm{a}=n\bm{a}
</tex>
と考えると感覚的にもわかりやすいのではないでしょうか。
例えば $2\bm{a}$ であれば $\bm{a}$ で移動したあと再び $\b...
分移動した点へ
向かうベクトルと考えてあげるとちょうど $2\bm{a}$ は $\bm{...
と平行で大きさだけ
2倍したものと考えられます。
上記の演算では当然整数倍しか作れませんが数学においてはお...
に拡張し、「向きはそのままに大きさだけ $k$ 倍したベクトル」...
となります。
また、定数に $-1$ を採用したものを平行で逆に向かう同じ大...
そうすれば定数が負の場合は $-\bm{a}$
をまた定数倍すると考えてあげればいいからです。
例えば $-\bm{a}$ であれば
<tex>
&\bm{a}-\bm{a}\\
=
&\bm{a}+[-\bm{a}]\\
=
&\bm{0}
</tex>
とゼロベクトルとなり、ベクトルの和の結果移動していない点...
結局のところ、戻ってきてしまうという事実にも一致していま...
.. image:: yassan-RestudyVector2-fig03.png
では代数的側面に移りましょう。具体的な表記では定数が各成...
カルト座標で考えると相似拡大(または縮小)されているところ...
います。
<tex>
k\bm{a}
=
k
\begin{pmatrix}
a_x \\
a_y \\
a_z
\end{pmatrix}
\stackrel{\mathrm{def}}{=}
\begin{pmatrix}
ka_x \\
ka_y \\
ka_z
\end{pmatrix}
</tex>
.. image:: yassan-RestudyVector2-fig04.png
以上の内容から「 $k\bm{a}$ は $\bm{a}$
平行」という事実を注意しておきたいと思い
ます。言われてみれば当たり前ですが、純粋に数学的な問題で「...
ベクトルが $\bm{a}$
と平行であることを証明せよ」と言われたらそのベクトルの条件
が $k\bm{a}$ とかけることが目標になります。
.. [*]
「 もう一度ベクトル1_ 」では「三次元の位置(ベクトル)を決め...
と書いてあったのに、話が変わっているんじゃないかと思った...
向きと大きさを決めれば平行移動も含めてベクトルは一通りに...
を固定してみるとそれはベクトルの始点を中心としてその大き...
終点が動きます。その中で、ある向きを持った直線と球の交点...
ませんね!?自由度という概念を使って考えて見ますと、先ず大...
ベクトルの各成分の自乗和が定数になることから自由度は3か...
三次元の曲座標から明らかなように向きを指定することは $\t...
の2つの変数を指定するので自由度は2つ減って0。つまり、...
単位ベクトル
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
数学でも物理でもよく単位ベクトルなる絶対値が $1$ のベクト...
なぜかというと単位ベクトルを作っておけば定数倍して簡単に...
ベクトルが作れるからです。
例えば後述の外積による操作で得られたベクトルはその演算の...
決まってしまいます。その際、求めたいベクトルと向きは合っ...
違う場合、一端単位ベクトルを計算し、大きさを規格化したあ...
して求めたいベクトルを得るわけです。
大きさが $1$ のベクトルを作るには自分の長さで割ってあげま...
したがって適当な $\bm{a}$ に平行な単位ベクトル $\bm{n_\bm...
<tex>
\bm{n_\bm{a}}
=
&\frac{\bm{a}}{|\bm{a}|} \\
=
&\frac{1}{\sqrt[]{\mathstrut a_x^2+a_y^2+a_z^2}}
\begin{pmatrix}
a_x \\
a_y \\
a_z
\end{pmatrix}
</tex>
とかけます。つまり定数倍の $k$ が $\frac{1}{\sqrt[]{\math...
となっているということです。
.. image:: yassan-RestudyVector2-fig05.png
ベクトルの差
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
逆向きのベクトル、つまり負の定数倍のベクトルを定義したの...
考えて見ましょう。ベクトルの"差"を"負の足し算"と言い換え...
<tex>
\bm{a}-\bm{b}
=
\bm{a}+[-\bm{b}]
</tex>
と考えてあげれば以下の図で納得してもらえるはずです
.. image:: yassan-RestudyVector2-fig06.png
3. 内積と外積
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和と差に関する概念は理解できたでしょうか?では実数の四...
のを解説します。本当のことを言うと商の概念は出てきません ...
ので、積についてだけ考えれば
いい事になります。
そもそもベクトルとベクトルってどうやってかけるんでしょう...
取ればよかったので比較的納得しやすいんです。
問題は積です。
和・差の代数関係から直接拡張すると同じ成分を掛け合わせる...
実際はそういうふうにはなっていなくてちょっと複雑です。
そういう事情があり、積の代数的な定義に関しては注意深く定...
内積
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では先ず内積から。
内積は
<tex>
\bm{a}\cdot\bm{b}
</tex>
と書き、積という言葉通り掛け算の省略記号に当たる $\cd...
を使って書きます。
ここで、「積だから」という理由で $\times$ は使わないでくだ...
こちらは外積を表すための記号で、数学では使い分けています。
図形的定義は次図になります。
.. image:: yassan-RestudyVector2-fig08.png
つまり $|\bm{a}||\bm{b}|\cos{\theta}$ となるスカラーにな...
は $\bm{a}$ と $\bm{b}$ の始点をそろえたときに2つのベク...
この性質から内積をスカラー積と呼ぶこともあります。
図形的意味としては $\bm{a}$ を $\bm{b}$ に射影させた辺の...
$|\bm{a}|\cos{\theta}$
に $|\bm{b}|$ をかけた量です。 [*]_
直接「ここの長さが内積の値」という量ではなく上記のような位...
で与えられる関数」と捉えると内積というのは『二つのベクトル...
を示す比と見ることが出来ます。
内積の代数的定義を表現すると
<tex>
\bm{a}\cdot\bm{b}
=
\begin{pmatrix}
a_x \\
a_y \\
a_z
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
b_x \\
b_y \\
b_z
\end{pmatrix}
\stackrel{\mathrm{def}}{=}
a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z
</tex>
となります。
余弦定理に座標を代入すると導けるので挑戦してみましょう。(...
また代表的な関係を以下にあげると
<tex>
\bm{a}\cdot\bm{a}
=
a_xa_x+a_ya_y+a_za_z
=
a_x^2+a_y^2+a_z^2
=
|\bm{a}|^2
</tex>
外積
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それでは外積に入ります。
外積は
<tex>
\bm{a}\times\bm{b}
</tex>
と書き、積という言葉通り掛け算の記号を使って $\times$ ...
ここで、「積だから」という理由で $\cdot$ は使わないでく...
こちらは内積を表すための記号で、数学では使い分けます。
外積の図形的定義は次図のようになります。
.. image:: yassan-RestudyVector2-fig09.png
つまり $\bm{a}$ と $\bm{b}$ に共に垂直で大きさが
$|\bm{a}||\bm{b}|\sin{\theta}$ となる
ベクトル量になります。そのせいもありこちらはスカラー積に...
図を全く用いずに説明するなら「 $\bm{a}\times\bm{b}$ とは $...
$\bm{b}$ の順に回した
とき右ねじを回した際にねじが進む方向を向いている、大きさが
$|\bm{a}||\bm{b}|\sin{\theta}$
のベクトル」ということになります。
また、ここで $|\bm{a}||\bm{b}|\sin{\theta}$ は $\bm{a}$ ...
の2ベクトルで張られる
平行四辺形の面積になります。
こちらは内積に対して『二つのベクトルがどれくらい違うか』...
出来ます。
代数的な定義としては
<tex>
\bm{a}\times\bm{b}
=
\begin{pmatrix}
a_x \\
a_y \\
a_z
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
b_x \\
b_y \\
b_z
\end{pmatrix}
\stackrel{\mathrm{def}}{=}
\begin{pmatrix}
a_yb_z-a_zb_y \\
a_zb_x-a_xb_z \\
a_xb_y-a_yb_x
\end{pmatrix}
</tex>
こちらも代表的な関係を挙げると
<tex>
&\bm{a}\times\bm{b}
=
-\bm{b}\times\bm{a} \\
&\bm{a}\times\bm{a}
=
\bm{0}
</tex>
となります
.. [*]
実数の商はどのように考えられるかというと例えば $a=c\div ...
なる $a$ を探すことにより得られます。これだけでは「必要条...
言う意見も出るかもしれませんが、欲しい逆元が一意であれば...
条件を満たします。そんな理由があって $0$ では割れません...
に関係なく不定or不能になってしまうからです。どちらにして...
満たされないことが理由です。では他の分野にも目を向けてみ...
行列が正則であれば逆行列が存在し適当な演算(下記の場合左...
として $\bm{y}=A\bm{x}$ から $\bm{x}=A^{-1}\bm{y}$ が得...
が一意である逆演算が定義できれば実数でいう"商"にあたるも...
と考えたわけです。そこでベクトルの2積に関しても考えてみ...
は2つのベクトルの成す角とその大きさがともに等しければ同...
逆元は無数にあるので、逆演算は定義できそうにありません。...
でしょう?図から考えるに、関係は一意ですから逆演算は考え...
シンプルには表せそうもありません。書籍の中で見かけたこと...
表記にはならないのかもしれません。また、実用性もあまりな...
そういえば差も和の逆演算として定義されます。
.. [*]
射影という日本語からは直接導き出せないかもしれませんが射...
対象となった図形(又は図形量)に如何に近いかといった事と非...
なぜなら、射影する元の図形の射影の対象となる図形成分(又...
表しているからです。内積で言えば $|\bm{a}|\cos{\theta}$ ...
射影量に射影の対象となった $|\bm{b}|$ をかけていると考え...
イメージも湧きやすくなるのではないでしょうか。
4. まとめ
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これで一通りのベクトルの読み書きそろばんが終わりました。...
四則演算をマスターしたからといって二次方程式が解けないよ...
は上記の内容だけでは全くの不足です。大工が大工道具の手入...
料理人が包丁の手入れを怠らないように、僕たちも数学を道具...
最良の状態にしておかねばなりません。また、内積と外積はそ...
$\cos$ と
いう相補的な関係にあることは記憶にとどめるのに1つの助け...
問題解答
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証明は余弦定理を用います。計算を追いやすくするため表記...
ベクトルに変えて計算します。
<tex>
\bm{a}
=
\begin{pmatrix}
a \\
b \\
c
\end{pmatrix}, \qquad
\bm{x}
=
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
</tex>
とします。
余弦定理に合わせる為下図のように $\overrightarrow{\rm AB}...
<tex>
\bm{v}=\bm{a}-\bm{x}
=
\begin{pmatrix}
a-x \\
b-y \\
c-z
\end{pmatrix}
</tex>
と書けます。
.. image:: yassan-RestudyVector2-fig10.png
余弦定理を使ってあらわすと。2つのベクトルのなす角 $\th...
<tex>
\cos{\theta}
=
\frac{|\bm{a}|^2+|\bm{x}|^2-|\bm{v}|^2}{2|\bm{x}||\bm{a}|}
=
\frac{|\bm{a}|^2+|\bm{x}|^2-|\bm{a}-\bm{x}|^2}{2|\bm{x}||...
</tex>
と書けます。それではこの表記を内積の図形的な定義式に代...
<tex>
\bm{x}\cdot\bm{a}
=
&|\bm{x}||\bm{a}|\cos{\theta} \\
=
&|\bm{x}||\bm{a}|\frac{|\bm{a}|^2+|\bm{x}|^2-|\bm{a}-\bm{...
\\
=
&\frac{1}{2}[|\bm{a}|^2+|\bm{x}|^2-|\bm{a}-\bm{x}|^2] \\
=
&\frac{1}{2}\{(x^2+y^2+z^2)+(a^2+b^2+c^2)-[(a-x)^2+(b-y)^...
=
&\frac{1}{2}\cdot2(ax+by+cz) \\
=
&ax+by+cz
</tex>
となり、代数的な表式が得られました。
※以上の計算では もう一度ベクトル1_
に書いてあるベクトルの大きさの計算を用いています。
.. _もう一度ベクトル1: http://www12.plala.or.jp/ksp/vect...
@@reference: 宮腰 忠, 高校数学+α, 共立出版, 2004, 177-2...
@@author: やっさん@@
@@accept: 2005-05-28@@
@@category: ベクトル解析@@
@@information: イラスト:崎間@@
@@id: restudyVector2@@
ページ名:
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