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=============================
もう一度ベクトル1
=============================
1. 概念の導入
-------------------------------------------------
物理を含む自然科学には様々な量が出てきます。質量や、速...
でも耳にしているのではないでしょうか?その中でも大きさ [*...
スカラーと言います。例えば物理の諸量で言えば
質量、電荷、〜定数、〜(ベクトル)の大きさ、〜エネルギーの...
もスカラーだけでは表せない量が物理では出てきます。その代...
度、力です。なぜスカラーだけでは表せないかというと、後者...
あげないと何を表しているのやらわからないからです。そして...
持つ量をベクトルと言います。
まず位置について考えて見ましょう。以下の図を見ていただ...
ただ単に“ $5\,[\mathrm{m}]$ ”では場所はわかりませんよね?...
“ $4\,[\mathrm{m}]$ ”と表記しないとわかりません(正確に言...
れた方もいるでしょうか?前者と後者の違いは向き付きの量で...
です。つまり平面内で位置を表すには必ず二組の向きと量が必...
.. image:: yassan-RestudyVector-fig01.png
この地図に「建物の7階」と言う表記を加えたらもう1つ向き...
が容易に予想できると思います。今度は三組の向きと量が必要...
予想したくなります。n次元の位置を表すにはn組の量が必要...
.. image:: yassan-RestudyVector-fig02.png
では速度について考えてみますとやはり向きがかなり重要に...
ら速く移動することが出来ても、東京に行くのに九州方面に向...
球を一周すれば別ですが…)になってしまいます。
.. image:: yassan-RestudyVector-fig03.png
加速度はちょっとイメージしづらいので力で考えて見ましょ...
と $3\,[\mathrm{N}]$ の力が働くと物体はどうなる?」といっ...
を読んでくれば簡単に予想できると思います。そうです、向き...
以下の図を見ればこの後物体がどちらに動くのかは力の働く向...
ことが予想できると思います。
.. image:: yassan-RestudyVector-fig04.png
高校の数学のテキストを見てみると「ベクトルとは有向線分で...
こで言う「有向」とは「方向が有る」と言うことです。つまり向き...
ね。線分が決まれば同時に長さ(≒スカラー)も与えられたことに...
れていません。またベクトル(vector)の語源はvehicle [*]_ と...
、運搬といった意味です。この意味だと位置を表すイメージに...
考え方は後々和の順序が交換可能なことに関連してきます。
ベクトルは“有向”であるために図形的に表現するときは上記...
そして、矢印の根元を始点、先っぽを終点と言います。
.. [*]
「大きさ」とは一般には正のものを指しますがここでは適当な日...
含む実数全体の事を指しています。通常は数、若しくは実数の...
ベクトルと対比させたいときにスカラーと呼ぶようです。スカ...
のようで、ものさし等ではかれる普通の数といった意味に非常...
また、発音記号を見ると分かるとおり、“スケイラー”と発音し...
.. [*]
vectorという言葉は、1843年にHamiltonがラテン語のvectumか...
とは運ぶもの、という意味です。更に遡ると、サンスクリット...
するヴァーハナと同根のようです。また、日本語で発音を表記...
の方が近いです。生物学でベクター(綴りも一緒)と言えば遺伝...
で言えば病原菌媒介生物のことを指します。
2. 表記の導入
----------------------------------------------------------
これより下で $\stackrel{\mathrm{def}}{\equiv}$ と言う文字...
の定義のことを言っています。
では、具体的な表記について触れてみましょう。ここはいわ...
楽に読んでください。ベクトルの名前は基本的に矢印1つに付...
移動して重なれば(向きと大きさが一致)それは同じベクトルと...
先ず、高校までには点AからBに向かう矢印を $\overrightar...
した。しかし大学以降は、基本的にボールド(太字ですね)で表...
に向かうベクトルを $\bm{a}$ とします。」などと書きます。
右手座標系と位置ベクトル
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
ベクトルで表せる量は上で述べてきたように様々な量が表せ...
納得しやすい位置を表す位置ベクトルを例に挙げて解説したい...
先ず三次元で位置を表すには最低三つの量が必要です。その...
用いて表すことができますが、中学校から慣れ親しんでいる $x...
垂直に $z$ 軸を足した $xyz$ 座標を用いて表すことを考えま...
もともとあるものではなく人工的に作ったものですから、その...
(定義)してあげなければいけません。そこで大抵は右手座標系(...
右手座標系とは右手の親指、人差し指、中指を互いに直角にし...
中指の順に $x,y,z$ 軸を各々対応させている座標系のことです...
ルールを適用させたものを左手系と呼びますが、右手系と左手...
とすると、どう頑張っても重なりあわないので名前を付けて区...
右手座標系のみを扱います。
空間でその位置を一意的に指定したい場合、基準となる点(原...
変位量を各軸に関して指定してあげれば良いのでその量を誤解...
で表します。例えば以下の図5の点 $P$ であればその場所を $...
位置ベクトルとはその点を表すために各成分を一組にしたも...
物理では一般的に $(x,y,z)$ の位置ベクトル(その点を一般的...
で表すこと [*]_ が多いようです。具体的に表記すると次のよ...
<tex>
\bm{r}
\stackrel{\mathrm{def}}{\equiv}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
</tex>
ここで $\sqrt[]{\mathstrut x^2+y^2+z^2}$ をベクトルの絶対...
このベクトルの長さですね。その由来は次図の通りです。二乗...
各成分の正負にかかわらず、この式で表現できます。
.. image:: yassan-RestudyVector-fig05.png
主に位置をベクトルで表す際先っぽ、つまり終点と位置を表す...
ます
<tex>
r
\stackrel{\mathrm{def}}{\equiv}
|\bm{r}|
\stackrel{\mathrm{def}}{\equiv}
\sqrt[]{\mathstrut x^2+y^2+z^2}
</tex>
とボールドでない文字はそのベクトルの絶対値を表すことが多...
で表す際に縦書きにするのは、和・差をとるときに各成分ごと...
線形代数の分野で、行列を作用させると言う背景があるのが主...
実践
~~~~~~~~~~~~~~~
具体的に以上で述べたことを表してみましょう。
図2において $\overrightarrow{\rm OP}=\bm{r}$ として
<tex>
r=|\bm{r}|
</tex>
を考えてみます。単位をそろえないと長さが考えられないので...
の単位にそろえます。ここでは一階当たり $2.5\,[\mathrm{m}]...
高さは $2.5\times(7-1)=15\,[\mathrm{m}]$
となります。ちょうど右手座標系の $x,y,z$ のそれぞれの正方...
と対応しているので $\bm{r}$ は
<tex>
\bm{r}=
\begin{pmatrix}
3 \\
4 \\
15
\end{pmatrix}
</tex>
とかけるので
<tex>
r=|\bm{r}|=\sqrt[]{\mathstrut 3^2+4^2+15^2}=\sqrt[]{250}=...
</tex>
となりました。
.. [*]
右手座標系を別の見方で見ると二次元の $xy$ 座標で、右が $...
が $y$ 軸の正方向としたときに、紙面手前側を $z$ 軸正方向...
因みに、図2でいうと東が $x$ 軸の正方向、北が $y$ 軸の正...
正方向にとった座標系です。
このとき紙面奥側を正方向に取ると左手座標系になります。高...
特にことわらずに三次元の直行座標が描いてある場合、ほとん...
.. [*]
多分この理由は $\bm{x}$ で表すと何となく $y$ と $z$ に不...
ます。多分点までの距離を $r$ で表すことが多い関係で「ええ...
トルにしてしまえぃっ!」っていう感じだと思います。
.. [*]
高校の数学でベクトルを横書きで成分表示をするのは主に紙面...
個人的には縦書きをお勧めします。高校の数学の問題を扱う時...
「ベクトルは縦書き」と区別して書くと混同するミスも減らせる...
数学には「ベクトル」と言うものは単体としては存在せず、ある...
ル"空間"として定義されその元としてベクトルが定義されます...
ベクトルは次元付きで定義され、 $n$ 次元ベクトルとは $n$ ...
の"組"と同一視されます。そしてそのベクトル間の線形写像と...
同一視できます。数の組としては本質的には縦(書き)ベクトル...
数学的には差異のない概念と言えるのですが、縦書きが主に好...
3.まとめ
----------------------
ベクトルの応用の分野では図形的な解釈と具体的な成分を設...
両方の考察をする二面性を持つ分野です。ある証明は初等幾何...
のみの取り扱いで済みます)鮮やかに解いたり、またある証明は...
り出して代数的な手法で行ったり、それらを組み合わせたりし...
今はどちらの考察をしているのか見失わないように式を追うこ...
@@author: やっさん@@
@@accept: 2005-03-28@@
@@category: ベクトル解析@@
@@information: イラスト:崎間@@
@@id: restudyVector1@@
終了行:
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もう一度ベクトル1
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1. 概念の導入
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物理を含む自然科学には様々な量が出てきます。質量や、速...
でも耳にしているのではないでしょうか?その中でも大きさ [*...
スカラーと言います。例えば物理の諸量で言えば
質量、電荷、〜定数、〜(ベクトル)の大きさ、〜エネルギーの...
もスカラーだけでは表せない量が物理では出てきます。その代...
度、力です。なぜスカラーだけでは表せないかというと、後者...
あげないと何を表しているのやらわからないからです。そして...
持つ量をベクトルと言います。
まず位置について考えて見ましょう。以下の図を見ていただ...
ただ単に“ $5\,[\mathrm{m}]$ ”では場所はわかりませんよね?...
“ $4\,[\mathrm{m}]$ ”と表記しないとわかりません(正確に言...
れた方もいるでしょうか?前者と後者の違いは向き付きの量で...
です。つまり平面内で位置を表すには必ず二組の向きと量が必...
.. image:: yassan-RestudyVector-fig01.png
この地図に「建物の7階」と言う表記を加えたらもう1つ向き...
が容易に予想できると思います。今度は三組の向きと量が必要...
予想したくなります。n次元の位置を表すにはn組の量が必要...
.. image:: yassan-RestudyVector-fig02.png
では速度について考えてみますとやはり向きがかなり重要に...
ら速く移動することが出来ても、東京に行くのに九州方面に向...
球を一周すれば別ですが…)になってしまいます。
.. image:: yassan-RestudyVector-fig03.png
加速度はちょっとイメージしづらいので力で考えて見ましょ...
と $3\,[\mathrm{N}]$ の力が働くと物体はどうなる?」といっ...
を読んでくれば簡単に予想できると思います。そうです、向き...
以下の図を見ればこの後物体がどちらに動くのかは力の働く向...
ことが予想できると思います。
.. image:: yassan-RestudyVector-fig04.png
高校の数学のテキストを見てみると「ベクトルとは有向線分で...
こで言う「有向」とは「方向が有る」と言うことです。つまり向き...
ね。線分が決まれば同時に長さ(≒スカラー)も与えられたことに...
れていません。またベクトル(vector)の語源はvehicle [*]_ と...
、運搬といった意味です。この意味だと位置を表すイメージに...
考え方は後々和の順序が交換可能なことに関連してきます。
ベクトルは“有向”であるために図形的に表現するときは上記...
そして、矢印の根元を始点、先っぽを終点と言います。
.. [*]
「大きさ」とは一般には正のものを指しますがここでは適当な日...
含む実数全体の事を指しています。通常は数、若しくは実数の...
ベクトルと対比させたいときにスカラーと呼ぶようです。スカ...
のようで、ものさし等ではかれる普通の数といった意味に非常...
また、発音記号を見ると分かるとおり、“スケイラー”と発音し...
.. [*]
vectorという言葉は、1843年にHamiltonがラテン語のvectumか...
とは運ぶもの、という意味です。更に遡ると、サンスクリット...
するヴァーハナと同根のようです。また、日本語で発音を表記...
の方が近いです。生物学でベクター(綴りも一緒)と言えば遺伝...
で言えば病原菌媒介生物のことを指します。
2. 表記の導入
----------------------------------------------------------
これより下で $\stackrel{\mathrm{def}}{\equiv}$ と言う文字...
の定義のことを言っています。
では、具体的な表記について触れてみましょう。ここはいわ...
楽に読んでください。ベクトルの名前は基本的に矢印1つに付...
移動して重なれば(向きと大きさが一致)それは同じベクトルと...
先ず、高校までには点AからBに向かう矢印を $\overrightar...
した。しかし大学以降は、基本的にボールド(太字ですね)で表...
に向かうベクトルを $\bm{a}$ とします。」などと書きます。
右手座標系と位置ベクトル
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ベクトルで表せる量は上で述べてきたように様々な量が表せ...
納得しやすい位置を表す位置ベクトルを例に挙げて解説したい...
先ず三次元で位置を表すには最低三つの量が必要です。その...
用いて表すことができますが、中学校から慣れ親しんでいる $x...
垂直に $z$ 軸を足した $xyz$ 座標を用いて表すことを考えま...
もともとあるものではなく人工的に作ったものですから、その...
(定義)してあげなければいけません。そこで大抵は右手座標系(...
右手座標系とは右手の親指、人差し指、中指を互いに直角にし...
中指の順に $x,y,z$ 軸を各々対応させている座標系のことです...
ルールを適用させたものを左手系と呼びますが、右手系と左手...
とすると、どう頑張っても重なりあわないので名前を付けて区...
右手座標系のみを扱います。
空間でその位置を一意的に指定したい場合、基準となる点(原...
変位量を各軸に関して指定してあげれば良いのでその量を誤解...
で表します。例えば以下の図5の点 $P$ であればその場所を $...
位置ベクトルとはその点を表すために各成分を一組にしたも...
物理では一般的に $(x,y,z)$ の位置ベクトル(その点を一般的...
で表すこと [*]_ が多いようです。具体的に表記すると次のよ...
<tex>
\bm{r}
\stackrel{\mathrm{def}}{\equiv}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
</tex>
ここで $\sqrt[]{\mathstrut x^2+y^2+z^2}$ をベクトルの絶対...
このベクトルの長さですね。その由来は次図の通りです。二乗...
各成分の正負にかかわらず、この式で表現できます。
.. image:: yassan-RestudyVector-fig05.png
主に位置をベクトルで表す際先っぽ、つまり終点と位置を表す...
ます
<tex>
r
\stackrel{\mathrm{def}}{\equiv}
|\bm{r}|
\stackrel{\mathrm{def}}{\equiv}
\sqrt[]{\mathstrut x^2+y^2+z^2}
</tex>
とボールドでない文字はそのベクトルの絶対値を表すことが多...
で表す際に縦書きにするのは、和・差をとるときに各成分ごと...
線形代数の分野で、行列を作用させると言う背景があるのが主...
実践
~~~~~~~~~~~~~~~
具体的に以上で述べたことを表してみましょう。
図2において $\overrightarrow{\rm OP}=\bm{r}$ として
<tex>
r=|\bm{r}|
</tex>
を考えてみます。単位をそろえないと長さが考えられないので...
の単位にそろえます。ここでは一階当たり $2.5\,[\mathrm{m}]...
高さは $2.5\times(7-1)=15\,[\mathrm{m}]$
となります。ちょうど右手座標系の $x,y,z$ のそれぞれの正方...
と対応しているので $\bm{r}$ は
<tex>
\bm{r}=
\begin{pmatrix}
3 \\
4 \\
15
\end{pmatrix}
</tex>
とかけるので
<tex>
r=|\bm{r}|=\sqrt[]{\mathstrut 3^2+4^2+15^2}=\sqrt[]{250}=...
</tex>
となりました。
.. [*]
右手座標系を別の見方で見ると二次元の $xy$ 座標で、右が $...
が $y$ 軸の正方向としたときに、紙面手前側を $z$ 軸正方向...
因みに、図2でいうと東が $x$ 軸の正方向、北が $y$ 軸の正...
正方向にとった座標系です。
このとき紙面奥側を正方向に取ると左手座標系になります。高...
特にことわらずに三次元の直行座標が描いてある場合、ほとん...
.. [*]
多分この理由は $\bm{x}$ で表すと何となく $y$ と $z$ に不...
ます。多分点までの距離を $r$ で表すことが多い関係で「ええ...
トルにしてしまえぃっ!」っていう感じだと思います。
.. [*]
高校の数学でベクトルを横書きで成分表示をするのは主に紙面...
個人的には縦書きをお勧めします。高校の数学の問題を扱う時...
「ベクトルは縦書き」と区別して書くと混同するミスも減らせる...
数学には「ベクトル」と言うものは単体としては存在せず、ある...
ル"空間"として定義されその元としてベクトルが定義されます...
ベクトルは次元付きで定義され、 $n$ 次元ベクトルとは $n$ ...
の"組"と同一視されます。そしてそのベクトル間の線形写像と...
同一視できます。数の組としては本質的には縦(書き)ベクトル...
数学的には差異のない概念と言えるのですが、縦書きが主に好...
3.まとめ
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ベクトルの応用の分野では図形的な解釈と具体的な成分を設...
両方の考察をする二面性を持つ分野です。ある証明は初等幾何...
のみの取り扱いで済みます)鮮やかに解いたり、またある証明は...
り出して代数的な手法で行ったり、それらを組み合わせたりし...
今はどちらの考察をしているのか見失わないように式を追うこ...
@@author: やっさん@@
@@accept: 2005-03-28@@
@@category: ベクトル解析@@
@@information: イラスト:崎間@@
@@id: restudyVector1@@
ページ名:
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