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もういちどだけ内積・外積
================================
この記事の前半では、ベクトルの掛け算である内積と外積を、...
最後のセクションでは、テンソルの概念に少し触れます。
ベクトルの掛け算
-------------------------------------------------
まず二つのベクトル $\bm{A}$ , $\bm{B}$ を次のように定義し...
<tex>
\bm{A}=a^{1}\bm{e_{1}}+a^{2}\bm{e_{2}}+a^{3}\bm{e_{3}}
</tex>
<tex>
\bm{B}=b^{1}\bm{e_{1}}+b^{2}\bm{e_{2}}+b^{3}\bm{e_{3}}
</tex>
私達は既に、ベクトルには内積と外積という掛け算の仕方があ...
とりあえず、ベクトル $\bm{A}$ , $\bm{B}$ を、"普通に"掛け...
.. important::
係数は実数ですので普通に掛け算します。ベクトルとベクトル...
<tex>
\bm{A}\otimes \bm{B} &=(a^{1}\bm{e_{1}}+a^{2}\bm{e_{2}}+a...
&=a^{1}b^{1}\bm{e_{1}}\otimes \bm{e_{1}}+a^{1}b^{2}\bm{e_...
&+a^{2}b^{1}\bm{e_{2}}\otimes \bm{e_{1}}+a^{2}b^{2}\bm{e_...
&+a^{3}b^{1}\bm{e_{3}}\otimes \bm{e_{1}}+a^{3}b^{2}\bm{e_...
</tex>
ここまでは普通の掛け算と同じで、分配則を使って括弧を展開...
内積
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
基底の積 $\bm{e_{i}}\otimes \bm{e_{j}}$ に関して、次のよ...
1. もし $i=j$ ならば、 $\bm{e_{i}}\otimes \bm{e_{i}} =1$ ...
2. もし $i \ne j$ ならば、 $\bm{e_{i}}\otimes \bm{e_{j}} ...
すると式 $(1)$ は次のようになります。
<tex>
\bm{A}\otimes \bm{B} &=a^{1}b^{1}\bm{e_{1}}\otimes \bm{e_...
& =a^{1}b^{1}+a^{2}b^{2}+a^{3}b^{3}
</tex>
このルール $1$ 〜 $2$ を導入する場合は、特に $\otimes$ の...
<tex>
\bm{A}\cdot \bm{B}=a^{1}b^{1}+a^{2}b^{2}+a^{3}b^{3}
</tex>
これはご存知の通り、内積に他なりません。内積とは『二つの...
外積
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
今度は、次のようなルールを導入してみましょう。
1. もし $i=j$ ならば、 $\bm{e_{i}}\otimes \bm{e_{i}} =0$ ...
2. もし $i \ne j$ ならば、 $\bm{e_{i}}\otimes \bm{e_{j}} ...
すると式 $(1)$ は次のようになります。
<tex>
\bm{A}\otimes \bm{B}&=
a^{1}b^{2}\bm{e_{1}}\otimes \bm{e_{2}}+a^{1}b^{3}\bm{e_{1...
+a^{2}b^{1}\bm{e_{2}}\otimes \bm{e_{1}}+a^{2}b^{3}\bm{e_{...
+a^{3}b^{1}\bm{e_{3}}\otimes \bm{e_{1}}+a^{3}b^{2}\bm{e_{...
&=(a^{2}b^{3}-a^{3}b^{2})\bm{e_{2}}\otimes \bm{e_{3}}
+(a^{3}b^{1}-a^{1}b^{3})\bm{e_{3}}\otimes \bm{e_{1}}
+(a^{1}b^{2}-a^{2}b^{1})\bm{e_{1}}\otimes \bm{e_{2}}
</tex>
これは、なんだか外積のような形になっていますね。もう一つ...
3. $\bm{e_{2}}\otimes \bm{e_{3}} =\bm{e_{1}}$ , $\bm{e_...
すると、この結果は次のようなベクトルになります。これは既...
<tex>
\bm{A}\times \bm{B}=(a^{2}b^{3}-a^{3}b^{2})\bm{e_{1}}+(a^...
</tex>
外積は、ベクトルの向きが同じなら零になってしまい、直交す...
.. [*] 『ルールを入れる』と気安く言いましたが、これが具体...
.. [*] 内積のルール1と外積のルール2を組み合わせたルール...
考察
---------------------------------------------------------...
内積
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
式 $(1)$ で行った掛け算にはちゃんと名前がついていて、実は...
.. image:: Joh-TensorProduct1.gif
線形代数で出てきたことですが、内積は、このテンソル成分の...
内積は $A\cdot B=|A||B|\cos \theta$ と書くことが出来まし...
.. image:: Joh-InnerProduct2.gif
.. [*] 拡大・縮小のような長さを変える変換では内積の値も変...
外積
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
外積の向きは、基底ベクトルを右手系と左手系のどちらと定め...
また、私達の知っているような外積は、三次元と七次元のベク...
テンソル
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
私達は、最初にそのままベクトルを掛け合わせ、そこに独特の...
<tex>
\bm{A}\otimes \bm{B} &=(a^{1}\bm{e_{1}}+a^{2}\bm{e_{2}}+a...
&=a^{1}b^{1}(\bm{e_{1}}\otimes \bm{e_{1}})+a^{1}b^{2}(\bm...
&+a^{2}b^{1}(\bm{e_{2}}\otimes \bm{e_{1}})+a^{2}b^{2}(\bm...
&+a^{3}b^{1}(\bm{e_{3}}\otimes \bm{e_{1}})+a^{3}b^{2}(\bm...
</tex>
基底として、 $\bm{e_{i}}\otimes \bm{e_{j}}$ の形のものが...
私達は、ベクトル $\bm{A}=a^{1}\bm{e_{1}}+a^{2}\bm{e_{2}}+...
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
a^{1}b^{1} & a^{1}b^{2} & a^{1}b^{3} \\
a^{2}b^{1} & a^{2}b^{2} & a^{2}b^{3} \\
a^{3}b^{1} & a^{3}b^{2} & a^{3}b^{3} \\
\end{array}
\right) \tag{2}
</tex>
この行列は既に、さきほど内積のセクションで少し紹介したも...
.. [*] たまに、テンソルのことを行列だと勘違いしている人に...
いま、ベクトルをそのまま掛ける演算として、テンソル積とテ...
このあと テンソルの概念_ では、テンソル成分が座標変換の際...
.. [*] ベクトルの集合は ベクトル空間_ と呼ばれる代数構造...
.. _軸性ベクトルと極性ベクトル: http://www12.plala.or.jp/...
.. _内積空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
.. _もう一度ベクトル: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathIn...
.. _計量テンソル: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranal...
.. _直交座標系: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalys...
.. _七次元のベクトル: http://www12.plala.or.jp/ksp/vector...
.. _テンソルの概念: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoran...
.. _ベクトル空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranal...
.. _テンソル代数: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranal...
.. _外積代数: http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialfo...
.. _代数学: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/index.html
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-07-15@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: ReviewVectorProds@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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もういちどだけ内積・外積
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この記事の前半では、ベクトルの掛け算である内積と外積を、...
最後のセクションでは、テンソルの概念に少し触れます。
ベクトルの掛け算
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まず二つのベクトル $\bm{A}$ , $\bm{B}$ を次のように定義し...
<tex>
\bm{A}=a^{1}\bm{e_{1}}+a^{2}\bm{e_{2}}+a^{3}\bm{e_{3}}
</tex>
<tex>
\bm{B}=b^{1}\bm{e_{1}}+b^{2}\bm{e_{2}}+b^{3}\bm{e_{3}}
</tex>
私達は既に、ベクトルには内積と外積という掛け算の仕方があ...
とりあえず、ベクトル $\bm{A}$ , $\bm{B}$ を、"普通に"掛け...
.. important::
係数は実数ですので普通に掛け算します。ベクトルとベクトル...
<tex>
\bm{A}\otimes \bm{B} &=(a^{1}\bm{e_{1}}+a^{2}\bm{e_{2}}+a...
&=a^{1}b^{1}\bm{e_{1}}\otimes \bm{e_{1}}+a^{1}b^{2}\bm{e_...
&+a^{2}b^{1}\bm{e_{2}}\otimes \bm{e_{1}}+a^{2}b^{2}\bm{e_...
&+a^{3}b^{1}\bm{e_{3}}\otimes \bm{e_{1}}+a^{3}b^{2}\bm{e_...
</tex>
ここまでは普通の掛け算と同じで、分配則を使って括弧を展開...
内積
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基底の積 $\bm{e_{i}}\otimes \bm{e_{j}}$ に関して、次のよ...
1. もし $i=j$ ならば、 $\bm{e_{i}}\otimes \bm{e_{i}} =1$ ...
2. もし $i \ne j$ ならば、 $\bm{e_{i}}\otimes \bm{e_{j}} ...
すると式 $(1)$ は次のようになります。
<tex>
\bm{A}\otimes \bm{B} &=a^{1}b^{1}\bm{e_{1}}\otimes \bm{e_...
& =a^{1}b^{1}+a^{2}b^{2}+a^{3}b^{3}
</tex>
このルール $1$ 〜 $2$ を導入する場合は、特に $\otimes$ の...
<tex>
\bm{A}\cdot \bm{B}=a^{1}b^{1}+a^{2}b^{2}+a^{3}b^{3}
</tex>
これはご存知の通り、内積に他なりません。内積とは『二つの...
外積
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
今度は、次のようなルールを導入してみましょう。
1. もし $i=j$ ならば、 $\bm{e_{i}}\otimes \bm{e_{i}} =0$ ...
2. もし $i \ne j$ ならば、 $\bm{e_{i}}\otimes \bm{e_{j}} ...
すると式 $(1)$ は次のようになります。
<tex>
\bm{A}\otimes \bm{B}&=
a^{1}b^{2}\bm{e_{1}}\otimes \bm{e_{2}}+a^{1}b^{3}\bm{e_{1...
+a^{2}b^{1}\bm{e_{2}}\otimes \bm{e_{1}}+a^{2}b^{3}\bm{e_{...
+a^{3}b^{1}\bm{e_{3}}\otimes \bm{e_{1}}+a^{3}b^{2}\bm{e_{...
&=(a^{2}b^{3}-a^{3}b^{2})\bm{e_{2}}\otimes \bm{e_{3}}
+(a^{3}b^{1}-a^{1}b^{3})\bm{e_{3}}\otimes \bm{e_{1}}
+(a^{1}b^{2}-a^{2}b^{1})\bm{e_{1}}\otimes \bm{e_{2}}
</tex>
これは、なんだか外積のような形になっていますね。もう一つ...
3. $\bm{e_{2}}\otimes \bm{e_{3}} =\bm{e_{1}}$ , $\bm{e_...
すると、この結果は次のようなベクトルになります。これは既...
<tex>
\bm{A}\times \bm{B}=(a^{2}b^{3}-a^{3}b^{2})\bm{e_{1}}+(a^...
</tex>
外積は、ベクトルの向きが同じなら零になってしまい、直交す...
.. [*] 『ルールを入れる』と気安く言いましたが、これが具体...
.. [*] 内積のルール1と外積のルール2を組み合わせたルール...
考察
---------------------------------------------------------...
内積
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
式 $(1)$ で行った掛け算にはちゃんと名前がついていて、実は...
.. image:: Joh-TensorProduct1.gif
線形代数で出てきたことですが、内積は、このテンソル成分の...
内積は $A\cdot B=|A||B|\cos \theta$ と書くことが出来まし...
.. image:: Joh-InnerProduct2.gif
.. [*] 拡大・縮小のような長さを変える変換では内積の値も変...
外積
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
外積の向きは、基底ベクトルを右手系と左手系のどちらと定め...
また、私達の知っているような外積は、三次元と七次元のベク...
テンソル
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
私達は、最初にそのままベクトルを掛け合わせ、そこに独特の...
<tex>
\bm{A}\otimes \bm{B} &=(a^{1}\bm{e_{1}}+a^{2}\bm{e_{2}}+a...
&=a^{1}b^{1}(\bm{e_{1}}\otimes \bm{e_{1}})+a^{1}b^{2}(\bm...
&+a^{2}b^{1}(\bm{e_{2}}\otimes \bm{e_{1}})+a^{2}b^{2}(\bm...
&+a^{3}b^{1}(\bm{e_{3}}\otimes \bm{e_{1}})+a^{3}b^{2}(\bm...
</tex>
基底として、 $\bm{e_{i}}\otimes \bm{e_{j}}$ の形のものが...
私達は、ベクトル $\bm{A}=a^{1}\bm{e_{1}}+a^{2}\bm{e_{2}}+...
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
a^{1}b^{1} & a^{1}b^{2} & a^{1}b^{3} \\
a^{2}b^{1} & a^{2}b^{2} & a^{2}b^{3} \\
a^{3}b^{1} & a^{3}b^{2} & a^{3}b^{3} \\
\end{array}
\right) \tag{2}
</tex>
この行列は既に、さきほど内積のセクションで少し紹介したも...
.. [*] たまに、テンソルのことを行列だと勘違いしている人に...
いま、ベクトルをそのまま掛ける演算として、テンソル積とテ...
このあと テンソルの概念_ では、テンソル成分が座標変換の際...
.. [*] ベクトルの集合は ベクトル空間_ と呼ばれる代数構造...
.. _軸性ベクトルと極性ベクトル: http://www12.plala.or.jp/...
.. _内積空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
.. _もう一度ベクトル: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathIn...
.. _計量テンソル: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranal...
.. _直交座標系: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalys...
.. _七次元のベクトル: http://www12.plala.or.jp/ksp/vector...
.. _テンソルの概念: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoran...
.. _ベクトル空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranal...
.. _テンソル代数: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranal...
.. _外積代数: http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialfo...
.. _代数学: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/index.html
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-07-15@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: ReviewVectorProds@@
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