記事ソース/3、4スピンの合成
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===============================
3つ、4つのスピン1/2粒子の合成
===============================
この記事では、3つのスピン1/2粒子の合成を行います。さらに...
まずは復習(1つのスピン)
==========================
3スピンの合成の前に、少し復習しておきましょう。1つの1/2...
<tex>
| \uparrow \rangle \tag{##} \\
| \downarrow \rangle \tag{##}
</tex>
の様になります。スピン演算子は6種類あり、
<tex>
s_x , s_y , s_z , \bm{S}^2 , s^+ ,s^- \tag{##}
</tex>
です。実は、たくさんありますが独立なものは3つです。、つ...
<tex>
s^+ &= s_x + i s_y \tag{##} \\
s^- &= s_x - i s_y \tag{##} \\
\bm{S}^2 &= s_x^2 + s_y^2 + s_z^2 \tag{##} \\
&= \dfrac{1}{2}(s^+s^-+s^-s^+)+s_z^2 \tag{##}
</tex>
という関係があります。これらは演算子ということで状態(基...
<tex>
&s_z | \uparrow \rangle = \dfrac{\hbar}{2} | \uparrow \r...
&s_z | \downarrow \rangle = -\dfrac{\hbar}{2} | \downarr...
&s^+ | \uparrow \rangle = 0 \tag{##} \\
&s^+ | \downarrow \rangle = \hbar | \uparrow \rangle \tag...
&s^- | \uparrow \rangle = \hbar | \downarrow \rangle \tag...
&s^- | \downarrow \rangle = 0 \tag{##}
</tex>
この6個の式 [*]_ が全ての基本です。さらに付け加えておく...
$s_x = \dfrac{1}{2}(s^+ + s^-), s_y = \dfrac{1}{2i}(s...
.. [*] 独立な3個の演算子に基底が2つなので、この3×2=...
<tex>
&s_x | \uparrow \rangle = \dfrac{\hbar}{2} | \downarrow ...
&s_x | \downarrow \rangle = \dfrac{\hbar}{2} | \uparrow ...
&s_y | \uparrow \rangle = \dfrac{i\hbar}{2} | \downarrow...
&s_y | \downarrow \rangle = \dfrac{-i\hbar}{2} | \uparro...
&\bm{S}^2 | \uparrow \rangle = \dfrac{\hbar^2}{4} | \upar...
&\bm{S}^2 | \downarrow \rangle = \dfrac{\hbar^2}{4} | \d...
</tex>
式(1),(2)は基底なので、その線形結合がスピンの状態を表しま...
2×2の行列で表せて、状態も2×1の行列で表せます。この2×...
つまりある状態が、 $| \chi \rangle = c_1 | \uparrow \rang...
これをスピノールで表すと、 $| \chi \rangle= \begin{pmatri...
<tex>
&s_x = \dfrac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \e...
&s_y = \dfrac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \...
&s_z = \dfrac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \...
&\bm{S}^2 = \dfrac{3 \hbar^2}{4}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ ...
&s^+ = \hbar \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}...
&s^- = \hbar \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}...
</tex>
となります。実は一般に、スピンの状態はベクトルの様なもの...
続いて復習(2つのスピン)
==========================
次に、二つの1/2スピンの理論に移りましょう。基底状態は、2...
<tex>
&| \uparrow \uparrow \rangle \tag{##} \\
&| \uparrow \downarrow \rangle \tag{##} \\
&| \downarrow \uparrow \rangle \tag{##} \\
&| \downarrow \downarrow \rangle \tag{##}
</tex>
という二つのスピンを並べた表記法Aと
<tex>
&| S=1, m_z=1 \rangle \tag{##} \\
&| S=1, m_z=0 \rangle \tag{##} \\
&| S=1, m_z=-1 \rangle \tag{##} \\
&| S=0, m_z=0 \rangle \tag{##}
</tex>
それらをまとめて書く表記法Bです。これらは異なる基底であり...
<tex>
S^- = s^-_1 + s^-_2` \tag{##} \\
S^+ = s^+_1 + s^+_2` \tag{##}
</tex>
を用います。ここで右辺の添え字1,2は一番目のスピンに作用す...
<tex>
&S^- | S, m_z \rangle = \hbar \sqrt{(S + m_z)(S - m_z+ 1 ...
&S^+ | S, m_z \rangle = \hbar \sqrt{(S - m_z)(S + m_z+ 1 ...
</tex>
となります。これはスピンのz成分が1だけ増減したものを求...
<tex>
&s^-_1 | \uparrow \uparrow \rangle = \hbar | \downarrow ...
&s^-_1 | \uparrow \downarrow \rangle = \hbar | \downarro...
&s^-_1 | \downarrow \uparrow \rangle = 0 \tag{##} \\
&s^-_1 | \downarrow \downarrow \rangle = 0 \tag{##}
</tex>
式(12),(13)と比較してください。この演算子 $s^-_1$ につい...
<tex>
&| S=1 , m_z = 1 \rangle = | \uparrow \uparrow \rangle \t...
(&| S=1 , m_z = -1 \rangle = | \downarrow \downarrow \ran...
</tex>
の様に簡単な関係があります。これに下降演算子(もしくは上...
<tex>
S^- | S=1 , m_z = 1 \rangle &= \hbar \sqrt{2} | S=1 , m_z...
&= s^-_1 + s^-_2 | \uparrow \uparrow \rangle \\
&= \hbar ( | \uparrow \downarrow \rangle + | \downarrow \...
</tex>
よって、この計算により、
<tex>
| S=1 , m_z = 0 \rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \left( | \u...
</tex>
が求まります。さらに、これに下降演算子を掛けることで、
<tex>
| S=1 , m_z = -1 \rangle = | \downarrow \downarrow \rangl...
</tex>
も求まります。さて、基本は分かって頂けたかと思います。し...
分かることは、スピンの大きさが0なので、スピンのz成分も...
<tex>
&\langle S ,m_z | S^\prime , m^\prime_z \rangle = \delta_...
&\langle \uparrow | \uparrow \rangle = 1 \\
&\langle \downarrow | \uparrow \rangle = 0 \\
&\langle \uparrow | \downarrow \rangle = 0 \\
&\langle \downarrow | \downarrow \rangle = 1 \\
&\langle \uparrow \uparrow | \uparrow \uparrow \rangle = ...
&\langle \uparrow \downarrow | \uparrow \uparrow \rangle ...
</tex>
ここで $\delta_{ij}$ はクロネッカーのデルタです。つまり、...
<tex>
\langle S=1 , m_z = 0 | S=0 , m_z = 0 \rangle
&= \dfrac{1}{\sqrt{2}} \left( \langle \uparrow \downarrow...
\left( c | \uparrow \downarrow \rangle + d | \downarrow ...
&= \dfrac{1}{\sqrt{2}} (c+d) = 0 \tag{##} \\
\\
\langle S=0 , m_z = 0 | S=0 , m_z = 0 \rangle
&= \left( c^\ast \langle \uparrow \downarrow | + d^\ast ...
\left( c | \uparrow \downarrow \rangle + d | \downarrow ...
&= |c|^2 + |d|^2 = 1 \tag{##}
</tex>
私もよく分かっていないのですが、どうやら $c,d$ の位相は自...
<tex>
| S=0 , m_z = 0 \rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \left( | \u...
</tex>
が求まります。これですべての基底の関係が求まりました。の...
<tex>
\begin{pmatrix} | \uparrow \uparrow \rangle \\ | \uparrow...
| \downarrow \uparrow \rangle \\ | \downarrow \downarrow...
</tex>
という順に係数を対応させていきます。例えば、式(42),(45),(...
<tex>
| S=1 , m_z = 1 \rangle &= | \uparrow \uparrow \rangle
= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \tag{##}...
| S=1 , m_z = 0 \rangle &= \dfrac{1}{\sqrt{2}} \left( | \...
=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \en...
| S=1 , m_z = -1 \rangle &= | \downarrow \downarrow \rangle
= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \tag{##}...
| S=0 , m_z = 0 \rangle &=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \left( | \u...
=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \e...
</tex>
そして、スピン演算子は4×4行列となり、粒子1に作用する $...
<tex>
&s_{x1} =\dfrac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \...
&s_{x2} =\dfrac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \...
&s_{y1} =\dfrac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i & 0 ...
&s_{y2} =\dfrac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 & 0 ...
&s_{z1} =\dfrac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \...
&s_{z2} =\dfrac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \...
&s_x = s_{x1}+s_{x2} =\dfrac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 ...
&s_y = s_{y1}+s_{y2} =\dfrac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 ...
&s_z = s_{z1}+s_{z2} =\dfrac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 2 ...
&s^+ = s_{x} + i s_{y} =\hbar \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 &...
&s^- = s_{x} - i s_{y} =\hbar \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 &...
&\bm{S}^2 = s_x^2 + s_y^2 + s_z^2 = \hbar^2 \begin{pmatri...
</tex>
となります。ここで、交換関係 $[\bm{S}^2 , s_z]=0$ より、 ...
<tex>
P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1/\sqrt{2} & 1/\...
</tex>
とすると、
<tex>
P^{-1}\bm{S}^2 P = \hbar^2 \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 ...
</tex>
となります。基底の変換後は、式(50)のように書くなら、
<tex>
\begin{pmatrix}| S=1 , m_z = 1 \rangle \\ | S=1 , m_z = 0...
| S=0 , m_z = 0 \rangle \\ | S=1 , m_z = -1 \rangle \end{...
</tex>
の様になります。つまり、スピンの合成とは、 $s_z , \bm{S}^...
本題(3つのスピン)
====================
これからは主に行列で考えることにします。基本はいままでお...
3つのスピンに対しては、基底は8つで、
<tex>
\begin{pmatrix} | \uparrow \uparrow \uparrow \rangle \\ |...
| \uparrow \downarrow \uparrow \rangle \\ | \uparrow \do...
| \downarrow \uparrow \uparrow \rangle \\ | \downarrow \...
| \downarrow \downarrow \uparrow \rangle \\ | \downarrow...
</tex>
となります。
<tex>
s_x = \dfrac{\hbar}{2} \begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \tag{##} \\
s_y = \dfrac{\hbar}{2} \begin{pmatrix}
0 & -i & -i & 0 & -i & 0 & 0 & 0 \\
i & 0 & 0 & -i & 0 & -i & 0 & 0 \\
i & 0 & 0 & -i & 0 & 0 & -i & 0 \\
0 & i & i & 0 & 0 & 0 & 0 & -i \\
i & 0 & 0 & 0 & 0 & -i & -i & 0 \\
0 & i & 0 & 0 & i & 0 & 0 & -i \\
0 & 0 & i & 0 & i & 0 & 0 & -i \\
0 & 0 & 0 & i & 0 & i & i & 0 \end{pmatrix} \tag{##} \\
s_z = \dfrac{\hbar}{2} \begin{pmatrix}
3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} \tag{##} \\
\bm{S}^2 = s_x^2+s_y^2+s_z^2 = \dfrac{\hbar^2}{4}\begin{p...
15 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 7 & 4 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 7 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 7 & 0 & 4 & 4 & 0 \\
0 & 4 & 4 & 0 & 7 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 7 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 4 & 7 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 15 \end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
ここで注意しておくと $s_x^2,s_y^2$ を求める時に、行列の区...
<tex>
X^2 &= \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}^2 \\
&= \begin{pmatrix} A^2 + BC & AB + BD \\ CA + DC & D^2 + ...
</tex>
が成立します。これに気付くとだいぶ計算が楽になるはずです...
<tex>
\begin{pmatrix} | \uparrow \uparrow \uparrow \rangle \\ |...
| \uparrow \downarrow \uparrow \rangle \\ | \uparrow \do...
| \downarrow \uparrow \uparrow \rangle \\ | \downarrow \...
| \downarrow \downarrow \uparrow \rangle \\ | \downarrow...
\to \begin{pmatrix} | \uparrow \uparrow \uparrow \rangle ...
| \uparrow \downarrow \uparrow \rangle \\ | \downarrow \...
| \uparrow \downarrow \downarrow \rangle \\| \downarrow ...
| \downarrow \downarrow \uparrow \rangle \\ | \downarrow...
\tag{##}
</tex>
のように(全スピンの和を3/2,1/2,-1/2,-3/2の降順にして)基底...
<tex>
\bm{S}^2 = \dfrac{\hbar^2}{4}\begin{pmatrix}
15 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 7 & 4 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 7 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 4 & 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 4 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 7 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 4 & 7 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 15 \end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
の様に高々3×3行列の対角化で済むことが分かります。まあ、...
の $ m_z = \dfrac{3 \hbar}{2},\dfrac{\hbar}{2},-\dfrac{\h...
それらは順番に、
<tex>
|S = \dfrac{3}{2}, m_z = \dfrac{3}{2} \rangle
= \begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix} \tag{##} \\
|S = \dfrac{3}{2}, m_z = \dfrac{1}{2} \rangle
= \dfrac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
1 \\
0 \\
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix} \tag{##} \\
|S = \dfrac{3}{2}, m_z = \dfrac{-1}{2} \rangle
= \dfrac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
1 \\
0 \\
1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix} \tag{##} \\
|S = \dfrac{3}{2}, m_z = \dfrac{-3}{2} \rangle
= \begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
そして、式(79),(80)に直交するベクトルを求めます。すると、...
<tex>
|S = \dfrac{1}{2}, m_z = \dfrac{1}{2} ,i=1 \rangle
= \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
-1 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix} \tag{##} \\
|S = \dfrac{1}{2}, m_z = \dfrac{1}{2} ,i=2 \rangle
= \dfrac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
1 \\
0 \\
-2 \\
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix} \tag{##} \\
|S = \dfrac{1}{2}, m_z = \dfrac{-1}{2} ,i=1 \rangle
= \dfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
1 \\
0 \\
-1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix} \tag{##} \\
|S = \dfrac{1}{2}, m_z = \dfrac{-1}{2} ,i=2 \rangle
= \dfrac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
1 \\
0 \\
1 \\
-2 \\
0
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
いよいよ4つのスピン
====================
さて、いよいよ1/2スピンが4つの時を考えてみましょう。それ...
.. image :: chromel-34SpinGousei-01.png
.. image :: chromel-34SpinGousei-02.png
.. image :: chromel-34SpinGousei-03.png
.. image :: chromel-34SpinGousei-04.png
.. image :: chromel-34SpinGousei-05.png
.. image :: chromel-34SpinGousei-06.png
.. image :: chromel-34SpinGousei-07.png
最後は分かりづらいでしょうか。並べ替えると、
.. image :: chromel-34SpinGousei-08.png
となっています。実は、式(52)は
<tex>
\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left( | \uparrow \downarrow \rangle ...
</tex>
とも書けます。この流儀の方がこの場合、分かり易いと思うの...
<tex>
| S=2,m_z=2 \rangle &= | \uparrow \uparrow \uparrow \upar...
| S=2,m_z=1 \rangle &= \dfrac{1}{2}( | \uparrow \uparrow ...
| S=2,m_z=0 \rangle &= \dfrac{1}{\sqrt{6}}( | \uparrow \u...
| S=2,m_z=-1 \rangle &= \dfrac{1}{2}( | \uparrow \downarr...
| S=2,m_z=-2 \rangle &= | \downarrow \downarrow \downarro...
</tex>
となります。式(96)に直交するものとして、(注意:矢印を1/2,...
<tex>
| S=1 , m_z=1 ,i=1 \rangle &= \dfrac{1}{2}( | \uparrow \u...
| S=1 , m_z=1 ,i=2 \rangle &= \dfrac{1}{2}( | \uparrow \u...
| S=1 , m_z=1 ,i=3 \rangle &= \dfrac{1}{2}( | \uparrow \u...
</tex>
下降演算子を掛けて、
<tex>
| S=1 , m_z=0 ,i=1 \rangle &= \dfrac{1}{\sqrt{2}}( | \upa...
| S=1 , m_z=0 ,i=2 \rangle &= \dfrac{1}{\sqrt{2}}( | \upa...
| S=1 , m_z=0 ,i=3 \rangle &= \dfrac{1}{\sqrt{2}}( | \dow...
</tex>
となり、さらに、
<tex>
| S=1 , m_z= -1 ,i=1 \rangle &= \dfrac{1}{2}( | \uparrow...
| S=1 , m_z= -1 ,i=2 \rangle &= \dfrac{1}{2}( | \uparrow...
| S=1 , m_z= -1 ,i=3 \rangle &= \dfrac{1}{2}( -| \uparrow...
</tex>
最後に、2つの縮退したゼロスピンは、2粒子のゼロスピンの...
<tex>
| S=0 , m_z=0 ,i=1 \rangle &= \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}}\...
&= \dfrac{1}{2} ( | \uparrow \downarrow \uparrow \downarr...
</tex>
もう一つのゼロスピンは、上式は1番目2番目、3番目4番目...
<tex>
| S=0 , m_z=0 ,i=2 \rangle &= \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}}\...
&= \dfrac{1}{2} ( | \uparrow \uparrow \downarrow \downarr...
</tex>
以上で、16個の基底が全て求まりました。疲れましたね。今...
追記:最後の4粒子の合成の $S=0$ スピン状態ですが、このま...
<tex>
| S=0 , m_z=0 ,i=2 \rangle = \dfrac{1}{2\sqrt{3}} ( + | \...
</tex>
とすれば解決です!!
@@author:クロメル@@
@@accept:2014-12-24@@
@@category:量子力学@@
@@id:34SpinGousei@@
終了行:
#rst2hooktail_source
===============================
3つ、4つのスピン1/2粒子の合成
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この記事では、3つのスピン1/2粒子の合成を行います。さらに...
まずは復習(1つのスピン)
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3スピンの合成の前に、少し復習しておきましょう。1つの1/2...
<tex>
| \uparrow \rangle \tag{##} \\
| \downarrow \rangle \tag{##}
</tex>
の様になります。スピン演算子は6種類あり、
<tex>
s_x , s_y , s_z , \bm{S}^2 , s^+ ,s^- \tag{##}
</tex>
です。実は、たくさんありますが独立なものは3つです。、つ...
<tex>
s^+ &= s_x + i s_y \tag{##} \\
s^- &= s_x - i s_y \tag{##} \\
\bm{S}^2 &= s_x^2 + s_y^2 + s_z^2 \tag{##} \\
&= \dfrac{1}{2}(s^+s^-+s^-s^+)+s_z^2 \tag{##}
</tex>
という関係があります。これらは演算子ということで状態(基...
<tex>
&s_z | \uparrow \rangle = \dfrac{\hbar}{2} | \uparrow \r...
&s_z | \downarrow \rangle = -\dfrac{\hbar}{2} | \downarr...
&s^+ | \uparrow \rangle = 0 \tag{##} \\
&s^+ | \downarrow \rangle = \hbar | \uparrow \rangle \tag...
&s^- | \uparrow \rangle = \hbar | \downarrow \rangle \tag...
&s^- | \downarrow \rangle = 0 \tag{##}
</tex>
この6個の式 [*]_ が全ての基本です。さらに付け加えておく...
$s_x = \dfrac{1}{2}(s^+ + s^-), s_y = \dfrac{1}{2i}(s...
.. [*] 独立な3個の演算子に基底が2つなので、この3×2=...
<tex>
&s_x | \uparrow \rangle = \dfrac{\hbar}{2} | \downarrow ...
&s_x | \downarrow \rangle = \dfrac{\hbar}{2} | \uparrow ...
&s_y | \uparrow \rangle = \dfrac{i\hbar}{2} | \downarrow...
&s_y | \downarrow \rangle = \dfrac{-i\hbar}{2} | \uparro...
&\bm{S}^2 | \uparrow \rangle = \dfrac{\hbar^2}{4} | \upar...
&\bm{S}^2 | \downarrow \rangle = \dfrac{\hbar^2}{4} | \d...
</tex>
式(1),(2)は基底なので、その線形結合がスピンの状態を表しま...
2×2の行列で表せて、状態も2×1の行列で表せます。この2×...
つまりある状態が、 $| \chi \rangle = c_1 | \uparrow \rang...
これをスピノールで表すと、 $| \chi \rangle= \begin{pmatri...
<tex>
&s_x = \dfrac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \e...
&s_y = \dfrac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \...
&s_z = \dfrac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \...
&\bm{S}^2 = \dfrac{3 \hbar^2}{4}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ ...
&s^+ = \hbar \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}...
&s^- = \hbar \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}...
</tex>
となります。実は一般に、スピンの状態はベクトルの様なもの...
続いて復習(2つのスピン)
==========================
次に、二つの1/2スピンの理論に移りましょう。基底状態は、2...
<tex>
&| \uparrow \uparrow \rangle \tag{##} \\
&| \uparrow \downarrow \rangle \tag{##} \\
&| \downarrow \uparrow \rangle \tag{##} \\
&| \downarrow \downarrow \rangle \tag{##}
</tex>
という二つのスピンを並べた表記法Aと
<tex>
&| S=1, m_z=1 \rangle \tag{##} \\
&| S=1, m_z=0 \rangle \tag{##} \\
&| S=1, m_z=-1 \rangle \tag{##} \\
&| S=0, m_z=0 \rangle \tag{##}
</tex>
それらをまとめて書く表記法Bです。これらは異なる基底であり...
<tex>
S^- = s^-_1 + s^-_2` \tag{##} \\
S^+ = s^+_1 + s^+_2` \tag{##}
</tex>
を用います。ここで右辺の添え字1,2は一番目のスピンに作用す...
<tex>
&S^- | S, m_z \rangle = \hbar \sqrt{(S + m_z)(S - m_z+ 1 ...
&S^+ | S, m_z \rangle = \hbar \sqrt{(S - m_z)(S + m_z+ 1 ...
</tex>
となります。これはスピンのz成分が1だけ増減したものを求...
<tex>
&s^-_1 | \uparrow \uparrow \rangle = \hbar | \downarrow ...
&s^-_1 | \uparrow \downarrow \rangle = \hbar | \downarro...
&s^-_1 | \downarrow \uparrow \rangle = 0 \tag{##} \\
&s^-_1 | \downarrow \downarrow \rangle = 0 \tag{##}
</tex>
式(12),(13)と比較してください。この演算子 $s^-_1$ につい...
<tex>
&| S=1 , m_z = 1 \rangle = | \uparrow \uparrow \rangle \t...
(&| S=1 , m_z = -1 \rangle = | \downarrow \downarrow \ran...
</tex>
の様に簡単な関係があります。これに下降演算子(もしくは上...
<tex>
S^- | S=1 , m_z = 1 \rangle &= \hbar \sqrt{2} | S=1 , m_z...
&= s^-_1 + s^-_2 | \uparrow \uparrow \rangle \\
&= \hbar ( | \uparrow \downarrow \rangle + | \downarrow \...
</tex>
よって、この計算により、
<tex>
| S=1 , m_z = 0 \rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \left( | \u...
</tex>
が求まります。さらに、これに下降演算子を掛けることで、
<tex>
| S=1 , m_z = -1 \rangle = | \downarrow \downarrow \rangl...
</tex>
も求まります。さて、基本は分かって頂けたかと思います。し...
分かることは、スピンの大きさが0なので、スピンのz成分も...
<tex>
&\langle S ,m_z | S^\prime , m^\prime_z \rangle = \delta_...
&\langle \uparrow | \uparrow \rangle = 1 \\
&\langle \downarrow | \uparrow \rangle = 0 \\
&\langle \uparrow | \downarrow \rangle = 0 \\
&\langle \downarrow | \downarrow \rangle = 1 \\
&\langle \uparrow \uparrow | \uparrow \uparrow \rangle = ...
&\langle \uparrow \downarrow | \uparrow \uparrow \rangle ...
</tex>
ここで $\delta_{ij}$ はクロネッカーのデルタです。つまり、...
<tex>
\langle S=1 , m_z = 0 | S=0 , m_z = 0 \rangle
&= \dfrac{1}{\sqrt{2}} \left( \langle \uparrow \downarrow...
\left( c | \uparrow \downarrow \rangle + d | \downarrow ...
&= \dfrac{1}{\sqrt{2}} (c+d) = 0 \tag{##} \\
\\
\langle S=0 , m_z = 0 | S=0 , m_z = 0 \rangle
&= \left( c^\ast \langle \uparrow \downarrow | + d^\ast ...
\left( c | \uparrow \downarrow \rangle + d | \downarrow ...
&= |c|^2 + |d|^2 = 1 \tag{##}
</tex>
私もよく分かっていないのですが、どうやら $c,d$ の位相は自...
<tex>
| S=0 , m_z = 0 \rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \left( | \u...
</tex>
が求まります。これですべての基底の関係が求まりました。の...
<tex>
\begin{pmatrix} | \uparrow \uparrow \rangle \\ | \uparrow...
| \downarrow \uparrow \rangle \\ | \downarrow \downarrow...
</tex>
という順に係数を対応させていきます。例えば、式(42),(45),(...
<tex>
| S=1 , m_z = 1 \rangle &= | \uparrow \uparrow \rangle
= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \tag{##}...
| S=1 , m_z = 0 \rangle &= \dfrac{1}{\sqrt{2}} \left( | \...
=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \en...
| S=1 , m_z = -1 \rangle &= | \downarrow \downarrow \rangle
= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \tag{##}...
| S=0 , m_z = 0 \rangle &=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \left( | \u...
=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \e...
</tex>
そして、スピン演算子は4×4行列となり、粒子1に作用する $...
<tex>
&s_{x1} =\dfrac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \...
&s_{x2} =\dfrac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \...
&s_{y1} =\dfrac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i & 0 ...
&s_{y2} =\dfrac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 & 0 ...
&s_{z1} =\dfrac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \...
&s_{z2} =\dfrac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \...
&s_x = s_{x1}+s_{x2} =\dfrac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 ...
&s_y = s_{y1}+s_{y2} =\dfrac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 ...
&s_z = s_{z1}+s_{z2} =\dfrac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 2 ...
&s^+ = s_{x} + i s_{y} =\hbar \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 &...
&s^- = s_{x} - i s_{y} =\hbar \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 &...
&\bm{S}^2 = s_x^2 + s_y^2 + s_z^2 = \hbar^2 \begin{pmatri...
</tex>
となります。ここで、交換関係 $[\bm{S}^2 , s_z]=0$ より、 ...
<tex>
P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1/\sqrt{2} & 1/\...
</tex>
とすると、
<tex>
P^{-1}\bm{S}^2 P = \hbar^2 \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 ...
</tex>
となります。基底の変換後は、式(50)のように書くなら、
<tex>
\begin{pmatrix}| S=1 , m_z = 1 \rangle \\ | S=1 , m_z = 0...
| S=0 , m_z = 0 \rangle \\ | S=1 , m_z = -1 \rangle \end{...
</tex>
の様になります。つまり、スピンの合成とは、 $s_z , \bm{S}^...
本題(3つのスピン)
====================
これからは主に行列で考えることにします。基本はいままでお...
3つのスピンに対しては、基底は8つで、
<tex>
\begin{pmatrix} | \uparrow \uparrow \uparrow \rangle \\ |...
| \uparrow \downarrow \uparrow \rangle \\ | \uparrow \do...
| \downarrow \uparrow \uparrow \rangle \\ | \downarrow \...
| \downarrow \downarrow \uparrow \rangle \\ | \downarrow...
</tex>
となります。
<tex>
s_x = \dfrac{\hbar}{2} \begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \tag{##} \\
s_y = \dfrac{\hbar}{2} \begin{pmatrix}
0 & -i & -i & 0 & -i & 0 & 0 & 0 \\
i & 0 & 0 & -i & 0 & -i & 0 & 0 \\
i & 0 & 0 & -i & 0 & 0 & -i & 0 \\
0 & i & i & 0 & 0 & 0 & 0 & -i \\
i & 0 & 0 & 0 & 0 & -i & -i & 0 \\
0 & i & 0 & 0 & i & 0 & 0 & -i \\
0 & 0 & i & 0 & i & 0 & 0 & -i \\
0 & 0 & 0 & i & 0 & i & i & 0 \end{pmatrix} \tag{##} \\
s_z = \dfrac{\hbar}{2} \begin{pmatrix}
3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} \tag{##} \\
\bm{S}^2 = s_x^2+s_y^2+s_z^2 = \dfrac{\hbar^2}{4}\begin{p...
15 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 7 & 4 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 7 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 7 & 0 & 4 & 4 & 0 \\
0 & 4 & 4 & 0 & 7 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 7 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 4 & 7 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 15 \end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
ここで注意しておくと $s_x^2,s_y^2$ を求める時に、行列の区...
<tex>
X^2 &= \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}^2 \\
&= \begin{pmatrix} A^2 + BC & AB + BD \\ CA + DC & D^2 + ...
</tex>
が成立します。これに気付くとだいぶ計算が楽になるはずです...
<tex>
\begin{pmatrix} | \uparrow \uparrow \uparrow \rangle \\ |...
| \uparrow \downarrow \uparrow \rangle \\ | \uparrow \do...
| \downarrow \uparrow \uparrow \rangle \\ | \downarrow \...
| \downarrow \downarrow \uparrow \rangle \\ | \downarrow...
\to \begin{pmatrix} | \uparrow \uparrow \uparrow \rangle ...
| \uparrow \downarrow \uparrow \rangle \\ | \downarrow \...
| \uparrow \downarrow \downarrow \rangle \\| \downarrow ...
| \downarrow \downarrow \uparrow \rangle \\ | \downarrow...
\tag{##}
</tex>
のように(全スピンの和を3/2,1/2,-1/2,-3/2の降順にして)基底...
<tex>
\bm{S}^2 = \dfrac{\hbar^2}{4}\begin{pmatrix}
15 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 7 & 4 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 7 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 4 & 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 4 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 7 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 4 & 7 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 15 \end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
の様に高々3×3行列の対角化で済むことが分かります。まあ、...
の $ m_z = \dfrac{3 \hbar}{2},\dfrac{\hbar}{2},-\dfrac{\h...
それらは順番に、
<tex>
|S = \dfrac{3}{2}, m_z = \dfrac{3}{2} \rangle
= \begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix} \tag{##} \\
|S = \dfrac{3}{2}, m_z = \dfrac{1}{2} \rangle
= \dfrac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
1 \\
0 \\
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix} \tag{##} \\
|S = \dfrac{3}{2}, m_z = \dfrac{-1}{2} \rangle
= \dfrac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
1 \\
0 \\
1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix} \tag{##} \\
|S = \dfrac{3}{2}, m_z = \dfrac{-3}{2} \rangle
= \begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
そして、式(79),(80)に直交するベクトルを求めます。すると、...
<tex>
|S = \dfrac{1}{2}, m_z = \dfrac{1}{2} ,i=1 \rangle
= \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
-1 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix} \tag{##} \\
|S = \dfrac{1}{2}, m_z = \dfrac{1}{2} ,i=2 \rangle
= \dfrac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
1 \\
0 \\
-2 \\
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix} \tag{##} \\
|S = \dfrac{1}{2}, m_z = \dfrac{-1}{2} ,i=1 \rangle
= \dfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
1 \\
0 \\
-1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix} \tag{##} \\
|S = \dfrac{1}{2}, m_z = \dfrac{-1}{2} ,i=2 \rangle
= \dfrac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
1 \\
0 \\
1 \\
-2 \\
0
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
いよいよ4つのスピン
====================
さて、いよいよ1/2スピンが4つの時を考えてみましょう。それ...
.. image :: chromel-34SpinGousei-01.png
.. image :: chromel-34SpinGousei-02.png
.. image :: chromel-34SpinGousei-03.png
.. image :: chromel-34SpinGousei-04.png
.. image :: chromel-34SpinGousei-05.png
.. image :: chromel-34SpinGousei-06.png
.. image :: chromel-34SpinGousei-07.png
最後は分かりづらいでしょうか。並べ替えると、
.. image :: chromel-34SpinGousei-08.png
となっています。実は、式(52)は
<tex>
\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left( | \uparrow \downarrow \rangle ...
</tex>
とも書けます。この流儀の方がこの場合、分かり易いと思うの...
<tex>
| S=2,m_z=2 \rangle &= | \uparrow \uparrow \uparrow \upar...
| S=2,m_z=1 \rangle &= \dfrac{1}{2}( | \uparrow \uparrow ...
| S=2,m_z=0 \rangle &= \dfrac{1}{\sqrt{6}}( | \uparrow \u...
| S=2,m_z=-1 \rangle &= \dfrac{1}{2}( | \uparrow \downarr...
| S=2,m_z=-2 \rangle &= | \downarrow \downarrow \downarro...
</tex>
となります。式(96)に直交するものとして、(注意:矢印を1/2,...
<tex>
| S=1 , m_z=1 ,i=1 \rangle &= \dfrac{1}{2}( | \uparrow \u...
| S=1 , m_z=1 ,i=2 \rangle &= \dfrac{1}{2}( | \uparrow \u...
| S=1 , m_z=1 ,i=3 \rangle &= \dfrac{1}{2}( | \uparrow \u...
</tex>
下降演算子を掛けて、
<tex>
| S=1 , m_z=0 ,i=1 \rangle &= \dfrac{1}{\sqrt{2}}( | \upa...
| S=1 , m_z=0 ,i=2 \rangle &= \dfrac{1}{\sqrt{2}}( | \upa...
| S=1 , m_z=0 ,i=3 \rangle &= \dfrac{1}{\sqrt{2}}( | \dow...
</tex>
となり、さらに、
<tex>
| S=1 , m_z= -1 ,i=1 \rangle &= \dfrac{1}{2}( | \uparrow...
| S=1 , m_z= -1 ,i=2 \rangle &= \dfrac{1}{2}( | \uparrow...
| S=1 , m_z= -1 ,i=3 \rangle &= \dfrac{1}{2}( -| \uparrow...
</tex>
最後に、2つの縮退したゼロスピンは、2粒子のゼロスピンの...
<tex>
| S=0 , m_z=0 ,i=1 \rangle &= \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}}\...
&= \dfrac{1}{2} ( | \uparrow \downarrow \uparrow \downarr...
</tex>
もう一つのゼロスピンは、上式は1番目2番目、3番目4番目...
<tex>
| S=0 , m_z=0 ,i=2 \rangle &= \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}}\...
&= \dfrac{1}{2} ( | \uparrow \uparrow \downarrow \downarr...
</tex>
以上で、16個の基底が全て求まりました。疲れましたね。今...
追記:最後の4粒子の合成の $S=0$ スピン状態ですが、このま...
<tex>
| S=0 , m_z=0 ,i=2 \rangle = \dfrac{1}{2\sqrt{3}} ( + | \...
</tex>
とすれば解決です!!
@@author:クロメル@@
@@accept:2014-12-24@@
@@category:量子力学@@
@@id:34SpinGousei@@
ページ名:
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