ローカル生成器テスト/色々な座標系/ソース
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#rst2hooktail_source
.. _行列式: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/deter...
.. _ベクトル解析: http://www12.plala.or.jp/ksp/formula/ma...
============
色々な座標系
============
物理学で座標系を考えることはとても大事です。まず、座標に...
座標から見えてくること
======================
物理の計算では、デカルト座標系以外の座標系が威力を発揮す...
逆に、座標変換を考えることは、座標変換によっても変化しな...
物理学でよく使われるベッセル関数、ルジャンドル関数などの...
計量因子
========
デカルト座標系 $(x_{1},x_{2},x_{3})$ と、ある新しい座標系...
<tex>
x_{i}=x_{i}(q_{1},q_{2},q_{3})
</tex>
<tex>
q_{i}=q_{i}(x_{1},x_{2},x_{3})
</tex>
ここから $(x_{1},x_{2},x_{3})$ の全微分は式(1)のように表...
<tex>
\displaystyle dx_{i}={\partial x_{i}\over \partial q_{...
dq_{1}+{\partial x_{i}\over \partial q_{2}}
dq_{2}+{\partial x_{i}\over \partial q_{3}}
dq_{3}
\tag{1}
</tex>
一方、空間上の微小な二点間の距離 $ds$ は次のように表現で...
<tex>
ds^{2}&=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}\\
&=(h_{11}dq_{1})^{2}+(h_{22}dq_{2})^{2}+(h_{33}dq_{3})...
</tex>
ここで $h$ という量がいきなり出てきましたが、これは計量因...
一般に $(q_{1},q_{2},q_{3})$ は必ずしも長さの次元を持つわ...
式(1)を二乗して式(2)に代入すると一般に次式を得ます。これ...
<tex>
\displaystyle h_{ij}^{2}={\partial x_{1}\over \partial...
{\partial x_{1}\over \partial q_{j}}
+{\partial x_{2}\over \partial q_{i}}
{\partial x_{2}\over \partial q_{j}}
+{\partial x_{3}\over \partial q_{i}}
{\partial x_{3}\over \partial q_{j}}
</tex>
ヤコビアンと計量因子
====================
計量因子とヤコビアンとは関係があります。ここの議論はすぐ...
<tex>
ds^{2}&=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}\\
&=(h_{11}dq_{1})^{2}+(h_{22}dq_{2})^{2}+(h_{33}dq_{3})...
</tex>
計量因子は簡単のため $h_{11}$ を $h_{1}$ のように書いてし...
<tex>
dS_{ij}=h_{i}h_{j}dq_{i}dq_{j}
</tex>
<tex>
dV=h_{1}h_{2}h_{3}dq_{1}dq_{2}dq_{3}
</tex>
ヤコビアンの定義と比べてみると、式中に含まれる計量因子の...
<tex>
\displaystyle h_{i}h_{j}={\partial (x_{i},x_{j})\over ...
</tex>
<tex>
\displaystyle h_{i}h_{j}h_{k}={\partial (x_{i},x_{j},x...
</tex>
微分ベクトル演算子
==================
ベクトルの微積分に、三角形の記号がたくさん出てきたのを覚...
(1)勾配(grad):
--------------
勾配ベクトルは空間的な変化率を表すベクトルでした。そのベ...
例えば $q_{1}=\mathrm{const.}$ なる曲面に垂直な方向の変化...
<tex>
\displaystyle \nabla \psi \Big\arrowvert _{1}={\partia...
={1\over h_{1}}
{\partial \psi \over \partial q_{1}}
</tex>
他の成分も同様なので、結局、勾配は次式で表すことができま...
<tex>
\displaystyle \nabla \phi =\bigg({\partial \phi \over ...
,\ {\partial \phi \over \partial s_{2}}
,\ {\partial \phi \over \partial s_{3}}
\bigg)=\bigg({1\over h_{1}}
{\partial \phi \over \partial q_{1}}
,\ {1\over h_{2}}
{\partial \phi \over \partial q_{2}}
,\ {1\over h_{3}}
{\partial \phi \over \partial q_{3}}
\bigg)
</tex>
(2)発散(div):
-------------
発散の定義は次式でしたね(忘れてしまった人は ベクトル解析...
<tex>
\displaystyle \nabla \cdot V=\lim \limits _{\intop \li...
</tex>
ここで、式中の無限小体積要素は $d\tau =h_{1}h_{2}h_{3}dq_...
<tex>
\displaystyle \intop \limits V\cdot d\sigma \Big\arrow...
&=\Big[V_{1}h_{2}h_{3}+{\partial (V_{1}h_{2}h_{3})\ove...
dq_{1}\Big]dq_{2}dq_{3}-V_{1}h_{2}h_{3}dq_{2}dq_{3}\\
&={\partial (V_{1}h_{2}h_{3})\over \partial q_{1}}
dq_{1}dq_{2}dq_{3}
</tex>
第二成分、第三成分についても同様の計算が成り立ちますから...
<tex>
\displaystyle \intop \limits V\cdot d\sigma =\Big[{\pa...
+{\partial (V_{2}h_{3}h_{1})\over \partial q_{2}}
+{\partial (V_{3}h_{1}h_{2})\over \partial q_{3}}
\Big]dq_{1}dq_{2}dq_{3}
</tex>
これを $d\tau =h_{1}h_{2}h_{3}dq_{1}dq_{2}dq_{3}$ で割れ...
<tex>
\displaystyle \nabla \cdot V={1\over h_{1}h_{2}h_{3}}
\bigg[{\partial (V_{1}h_{2}h_{3})\over \partial q_{1}}
+{\partial (V_{2}h_{3}h_{1})\over \partial q_{2}}
+{\partial (V_{3}h_{1}h_{2})\over \partial q_{3}}
\bigg]
</tex>
(3)回転(curl):
--------------
回転を求めるにはストークスの定理を使います。まず $q_{1}=\...
<tex>
\displaystyle \int _{S}\nabla \times V\cdot d\sigma =\...
</tex>
ここで右辺の周回積分は次の図を見れば意味が分かりますね。...
.. image:: Joh-stokes7.png
<tex>
\displaystyle \ointop \limits V\cdot d\lambda
&=V_{2}h_{2}dq_{2}+\Big[V_{3}h_{3}+{\partial (V_{3}h_{...
dq_{2}\Big]dq_{3}-\Big[V_{2}h_{2}+{\partial (V_{2}h_{2...
dq_{3}\Big]dq_{2}-V_{3}h_{3}dq_{3}\\
&=\Big[{\partial (h_{3}V_{3})\over \partial q_{2}}
-{\partial (h_{2}V_{2})\over \partial q_{3}}
\Big]dq_{2}dq_{3}
</tex>
これより次式が言えます。
<tex>
\displaystyle \nabla \times V\Big\arrowvert _{1}={1\ov...
\Big[{\partial (h_{3}V_{3})\over \partial q_{2}}
-{\partial (h_{2}V_{2})\over \partial q_{3}}
\Big]dq_{2}dq_{3}
</tex>
全ての成分について計算して足し合わせると、次のようになり...
<tex>
\displaystyle \nabla \times {\boldmath V}={1\over h_{2...
\Big[{\partial (h_{3}V_{3})\over \partial q_{2}}
-{\partial (h_{2}V_{2})\over \partial q_{3}}
\Big]dq_{2}dq_{3}
+{1\over h_{3}h_{1}}
\Big[{\partial (h_{1}V_{1})\over \partial q_{3}}
-{\partial (h_{3}V_{3})\over \partial q_{1}}
\Big]dq_{3}dq_{1}
+{1\over h_{1}h_{2}}
\Big[{\partial (h_{2}V_{2})\over \partial q_{1}}
-{\partial (h_{3}V_{3})\over \partial q_{1}}
\Big]dq_{1}dq_{2}
</tex>
これでは長くて覚えるのが大変ですから、次のように 行列式_ ...
<tex>
\nabla \times {\boldmath V}=\frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}}
\left|
\begin{array}{ccc}
h_{1}{\boldmath e}_1 & h_{2}{\boldmath e}_2 & h_{3}{\b...
\frac{\partial}{\partial q_{1}} & \frac{\partial}{\par...
h_{1} V_1 & h_{2} V_2 & h_{3} V_3 \\
\end{array}
\right|
</tex>
※回転のことを、curlではなくてrot(ローテーション)と呼ぶ人...
(4)ラプラシアン:
----------------
最後にラプラシアンについて少しだけ触れます。ラプラシアン ...
<tex>
\triangle \phi =\nabla \cdot (\nabla \phi)
</tex>
<tex>
\triangle \bm{V}=(\nabla \cdot (\nabla V_{1}), \nabla ...
</tex>
すでに勾配と発散の計算は求めたのですから、ラプラシアンが...
おさらい
========
このページの結果は、また後でよく使いますから、公式として...
<tex>
\displaystyle h_{ij}^{2}={\partial x_{1}\over \partial...
{\partial x_{1}\over \partial q_{j}}
+{\partial x_{2}\over \partial q_{i}}
{\partial x_{2}\over \partial q_{j}}
+{\partial x_{3}\over \partial q_{i}}
{\partial x_{3}\over \partial q_{j}}
</tex>
<tex>
\displaystyle \nabla \phi =\bigg({\partial \phi \over ...
,\ {\partial \phi \over \partial s_{2}}
,\ {\partial \phi \over \partial s_{3}}
\bigg)=\bigg({1\over h_{1}}
{\partial \phi \over \partial q_{1}}
,\ {1\over h_{2}}
{\partial \phi \over \partial q_{2}}
,\ {1\over h_{3}}
{\partial \phi \over \partial h_{3}}
\bigg)
</tex>
<tex>
\displaystyle \nabla \cdot V={1\over h_{1}h_{2}h_{3}}
\bigg[{\partial (V_{1}h_{2}h_{3})\over \partial q_{1}}
+{\partial (V_{2}h_{3}h_{1})\over \partial q_{2}}
+{\partial (V_{3}h_{1}h_{2})\over \partial q_{3}}
\bigg]
</tex>
<tex>
\nabla \times {\boldmath V}=\frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}}
\left|
\begin{array}{ccc}
h_{1}{\boldmath e}_1 & h_{2}{\boldmath e}_2 & h_{3}{\b...
\frac{\partial}{\partial q_{1}} & \frac{\partial}{\par...
h_{1} V_1 & h_{2} V_2 & h_{3} V_3 \\
\end{array}
\right|
</tex>
<tex>
\triangle \phi =\nabla \cdot (\nabla \phi) =
{1\over h_{1}h_{2}h_{3}}
\bigg[{\partial \over \partial q_{1}}
(\frac{h_{2} h_{3}}{h_{1}}{\partial \phi \over \partia...
+{\partial \over \partial q_{2}}
(\frac{h_{3} h_{1}}{h_{2}}{\partial \phi \over \partia...
+{\partial \over \partial q_{3}}
(\frac{h_{1} h_{2}}{h_{3}}{\partial \phi \over \partia...
\bigg]
</tex>
@@author:nabeyang@@
@@accept:2014-03-31@@
@@category:物理数学@@
@@id:mathInPhys_coordinates@@
終了行:
#rst2hooktail_source
.. _行列式: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/deter...
.. _ベクトル解析: http://www12.plala.or.jp/ksp/formula/ma...
============
色々な座標系
============
物理学で座標系を考えることはとても大事です。まず、座標に...
座標から見えてくること
======================
物理の計算では、デカルト座標系以外の座標系が威力を発揮す...
逆に、座標変換を考えることは、座標変換によっても変化しな...
物理学でよく使われるベッセル関数、ルジャンドル関数などの...
計量因子
========
デカルト座標系 $(x_{1},x_{2},x_{3})$ と、ある新しい座標系...
<tex>
x_{i}=x_{i}(q_{1},q_{2},q_{3})
</tex>
<tex>
q_{i}=q_{i}(x_{1},x_{2},x_{3})
</tex>
ここから $(x_{1},x_{2},x_{3})$ の全微分は式(1)のように表...
<tex>
\displaystyle dx_{i}={\partial x_{i}\over \partial q_{...
dq_{1}+{\partial x_{i}\over \partial q_{2}}
dq_{2}+{\partial x_{i}\over \partial q_{3}}
dq_{3}
\tag{1}
</tex>
一方、空間上の微小な二点間の距離 $ds$ は次のように表現で...
<tex>
ds^{2}&=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}\\
&=(h_{11}dq_{1})^{2}+(h_{22}dq_{2})^{2}+(h_{33}dq_{3})...
</tex>
ここで $h$ という量がいきなり出てきましたが、これは計量因...
一般に $(q_{1},q_{2},q_{3})$ は必ずしも長さの次元を持つわ...
式(1)を二乗して式(2)に代入すると一般に次式を得ます。これ...
<tex>
\displaystyle h_{ij}^{2}={\partial x_{1}\over \partial...
{\partial x_{1}\over \partial q_{j}}
+{\partial x_{2}\over \partial q_{i}}
{\partial x_{2}\over \partial q_{j}}
+{\partial x_{3}\over \partial q_{i}}
{\partial x_{3}\over \partial q_{j}}
</tex>
ヤコビアンと計量因子
====================
計量因子とヤコビアンとは関係があります。ここの議論はすぐ...
<tex>
ds^{2}&=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}\\
&=(h_{11}dq_{1})^{2}+(h_{22}dq_{2})^{2}+(h_{33}dq_{3})...
</tex>
計量因子は簡単のため $h_{11}$ を $h_{1}$ のように書いてし...
<tex>
dS_{ij}=h_{i}h_{j}dq_{i}dq_{j}
</tex>
<tex>
dV=h_{1}h_{2}h_{3}dq_{1}dq_{2}dq_{3}
</tex>
ヤコビアンの定義と比べてみると、式中に含まれる計量因子の...
<tex>
\displaystyle h_{i}h_{j}={\partial (x_{i},x_{j})\over ...
</tex>
<tex>
\displaystyle h_{i}h_{j}h_{k}={\partial (x_{i},x_{j},x...
</tex>
微分ベクトル演算子
==================
ベクトルの微積分に、三角形の記号がたくさん出てきたのを覚...
(1)勾配(grad):
--------------
勾配ベクトルは空間的な変化率を表すベクトルでした。そのベ...
例えば $q_{1}=\mathrm{const.}$ なる曲面に垂直な方向の変化...
<tex>
\displaystyle \nabla \psi \Big\arrowvert _{1}={\partia...
={1\over h_{1}}
{\partial \psi \over \partial q_{1}}
</tex>
他の成分も同様なので、結局、勾配は次式で表すことができま...
<tex>
\displaystyle \nabla \phi =\bigg({\partial \phi \over ...
,\ {\partial \phi \over \partial s_{2}}
,\ {\partial \phi \over \partial s_{3}}
\bigg)=\bigg({1\over h_{1}}
{\partial \phi \over \partial q_{1}}
,\ {1\over h_{2}}
{\partial \phi \over \partial q_{2}}
,\ {1\over h_{3}}
{\partial \phi \over \partial q_{3}}
\bigg)
</tex>
(2)発散(div):
-------------
発散の定義は次式でしたね(忘れてしまった人は ベクトル解析...
<tex>
\displaystyle \nabla \cdot V=\lim \limits _{\intop \li...
</tex>
ここで、式中の無限小体積要素は $d\tau =h_{1}h_{2}h_{3}dq_...
<tex>
\displaystyle \intop \limits V\cdot d\sigma \Big\arrow...
&=\Big[V_{1}h_{2}h_{3}+{\partial (V_{1}h_{2}h_{3})\ove...
dq_{1}\Big]dq_{2}dq_{3}-V_{1}h_{2}h_{3}dq_{2}dq_{3}\\
&={\partial (V_{1}h_{2}h_{3})\over \partial q_{1}}
dq_{1}dq_{2}dq_{3}
</tex>
第二成分、第三成分についても同様の計算が成り立ちますから...
<tex>
\displaystyle \intop \limits V\cdot d\sigma =\Big[{\pa...
+{\partial (V_{2}h_{3}h_{1})\over \partial q_{2}}
+{\partial (V_{3}h_{1}h_{2})\over \partial q_{3}}
\Big]dq_{1}dq_{2}dq_{3}
</tex>
これを $d\tau =h_{1}h_{2}h_{3}dq_{1}dq_{2}dq_{3}$ で割れ...
<tex>
\displaystyle \nabla \cdot V={1\over h_{1}h_{2}h_{3}}
\bigg[{\partial (V_{1}h_{2}h_{3})\over \partial q_{1}}
+{\partial (V_{2}h_{3}h_{1})\over \partial q_{2}}
+{\partial (V_{3}h_{1}h_{2})\over \partial q_{3}}
\bigg]
</tex>
(3)回転(curl):
--------------
回転を求めるにはストークスの定理を使います。まず $q_{1}=\...
<tex>
\displaystyle \int _{S}\nabla \times V\cdot d\sigma =\...
</tex>
ここで右辺の周回積分は次の図を見れば意味が分かりますね。...
.. image:: Joh-stokes7.png
<tex>
\displaystyle \ointop \limits V\cdot d\lambda
&=V_{2}h_{2}dq_{2}+\Big[V_{3}h_{3}+{\partial (V_{3}h_{...
dq_{2}\Big]dq_{3}-\Big[V_{2}h_{2}+{\partial (V_{2}h_{2...
dq_{3}\Big]dq_{2}-V_{3}h_{3}dq_{3}\\
&=\Big[{\partial (h_{3}V_{3})\over \partial q_{2}}
-{\partial (h_{2}V_{2})\over \partial q_{3}}
\Big]dq_{2}dq_{3}
</tex>
これより次式が言えます。
<tex>
\displaystyle \nabla \times V\Big\arrowvert _{1}={1\ov...
\Big[{\partial (h_{3}V_{3})\over \partial q_{2}}
-{\partial (h_{2}V_{2})\over \partial q_{3}}
\Big]dq_{2}dq_{3}
</tex>
全ての成分について計算して足し合わせると、次のようになり...
<tex>
\displaystyle \nabla \times {\boldmath V}={1\over h_{2...
\Big[{\partial (h_{3}V_{3})\over \partial q_{2}}
-{\partial (h_{2}V_{2})\over \partial q_{3}}
\Big]dq_{2}dq_{3}
+{1\over h_{3}h_{1}}
\Big[{\partial (h_{1}V_{1})\over \partial q_{3}}
-{\partial (h_{3}V_{3})\over \partial q_{1}}
\Big]dq_{3}dq_{1}
+{1\over h_{1}h_{2}}
\Big[{\partial (h_{2}V_{2})\over \partial q_{1}}
-{\partial (h_{3}V_{3})\over \partial q_{1}}
\Big]dq_{1}dq_{2}
</tex>
これでは長くて覚えるのが大変ですから、次のように 行列式_ ...
<tex>
\nabla \times {\boldmath V}=\frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}}
\left|
\begin{array}{ccc}
h_{1}{\boldmath e}_1 & h_{2}{\boldmath e}_2 & h_{3}{\b...
\frac{\partial}{\partial q_{1}} & \frac{\partial}{\par...
h_{1} V_1 & h_{2} V_2 & h_{3} V_3 \\
\end{array}
\right|
</tex>
※回転のことを、curlではなくてrot(ローテーション)と呼ぶ人...
(4)ラプラシアン:
----------------
最後にラプラシアンについて少しだけ触れます。ラプラシアン ...
<tex>
\triangle \phi =\nabla \cdot (\nabla \phi)
</tex>
<tex>
\triangle \bm{V}=(\nabla \cdot (\nabla V_{1}), \nabla ...
</tex>
すでに勾配と発散の計算は求めたのですから、ラプラシアンが...
おさらい
========
このページの結果は、また後でよく使いますから、公式として...
<tex>
\displaystyle h_{ij}^{2}={\partial x_{1}\over \partial...
{\partial x_{1}\over \partial q_{j}}
+{\partial x_{2}\over \partial q_{i}}
{\partial x_{2}\over \partial q_{j}}
+{\partial x_{3}\over \partial q_{i}}
{\partial x_{3}\over \partial q_{j}}
</tex>
<tex>
\displaystyle \nabla \phi =\bigg({\partial \phi \over ...
,\ {\partial \phi \over \partial s_{2}}
,\ {\partial \phi \over \partial s_{3}}
\bigg)=\bigg({1\over h_{1}}
{\partial \phi \over \partial q_{1}}
,\ {1\over h_{2}}
{\partial \phi \over \partial q_{2}}
,\ {1\over h_{3}}
{\partial \phi \over \partial h_{3}}
\bigg)
</tex>
<tex>
\displaystyle \nabla \cdot V={1\over h_{1}h_{2}h_{3}}
\bigg[{\partial (V_{1}h_{2}h_{3})\over \partial q_{1}}
+{\partial (V_{2}h_{3}h_{1})\over \partial q_{2}}
+{\partial (V_{3}h_{1}h_{2})\over \partial q_{3}}
\bigg]
</tex>
<tex>
\nabla \times {\boldmath V}=\frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}}
\left|
\begin{array}{ccc}
h_{1}{\boldmath e}_1 & h_{2}{\boldmath e}_2 & h_{3}{\b...
\frac{\partial}{\partial q_{1}} & \frac{\partial}{\par...
h_{1} V_1 & h_{2} V_2 & h_{3} V_3 \\
\end{array}
\right|
</tex>
<tex>
\triangle \phi =\nabla \cdot (\nabla \phi) =
{1\over h_{1}h_{2}h_{3}}
\bigg[{\partial \over \partial q_{1}}
(\frac{h_{2} h_{3}}{h_{1}}{\partial \phi \over \partia...
+{\partial \over \partial q_{2}}
(\frac{h_{3} h_{1}}{h_{2}}{\partial \phi \over \partia...
+{\partial \over \partial q_{3}}
(\frac{h_{1} h_{2}}{h_{3}}{\partial \phi \over \partia...
\bigg]
</tex>
@@author:nabeyang@@
@@accept:2014-03-31@@
@@category:物理数学@@
@@id:mathInPhys_coordinates@@
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