ソース/ケプラー運動
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ケプラー運動
==========================================
この記事では,重力場中の天体の運動が円錐曲線になることを...
計算がテクニカルなところもありますが,ケプラーの
第一法則がきちんと満たされていることを確認してみましょう.
微分方程式を求める
======================
まず,解くべき微分方程式を求めましょう.ラグランジュの運...
問題の設定は,大きな天体(質量 $M$ )の周りを小さな小惑星(...
いるとします. $M>>m$ とすると,大きな天体は静止している...
中心力場の問題なので,座標系は,大きな天体を極とする極座...
その時,小惑星の運動エネルギー $T$ は,
<tex>
T={1\over2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)
</tex>
となりますね.一方,ポテンシャルエネルギー $U$ は,
<tex>
U=-G{Mm\over r}
</tex>
です.
よって,この系のラグランジアン $L=T-U$ を求めると,次のよ...
<tex>
L={1\over2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)+G{Mm\over r}
</tex>
これをラグランジュの運動方程式に代入しましょう.まず, $r...
<tex>
{\rm{d}\over\rm{d}t}{\partial L\over\partial \dot{r}}={\p...
</tex>
ゆえに,次式を得ます.
<tex>
m{\mathrm{d}^2r\over\mathrm{d}t^2}=mr\dot{\theta}^2-G{Mm\...
</tex>
次に, $\theta$ について求めますが, ${\partial L\over \p...
<tex>
{\rm{d}\over\rm{d}t}{\partial L\over\partial\dot{\theta}}=0
</tex>
となり,次の角運動量保存則を得ます.( $l$ を全角運動量(定...
<tex>
mr^2\dot{\theta}=l\quad(2)
</tex>
式(1)(2)を連立して,次式を得ます.
<tex>
{\mathrm{d}^2r\over\mathrm{d}t^2}&={l^2\over m^2r^3}-G{M\...
\dot{\theta}&={l\over mr^2}\quad(4)
</tex>
さて,これで解くべき微分方程式が求まりました.これを何と...
運動の軌跡を求める
====================
さて,これから運動の軌跡を求めたいわけですが,このままで...
そこで,変数変換の出番です.式(3)とか式(4)を見ていると $1...
というわけで,試しに $r={1\over q}$ と変数変換して見まし...
<tex>
\dot{\theta}={l\over m}q^2\quad(5)
</tex>
となります.
次に(3)の左辺について考えて見ますと,
<tex>
{\mathrm{d}r\over\mathrm{d}t}&={\mathrm{d}\theta\over\mat...
\left({\mathrm{d}\over\mathrm{d}\theta}{1\over q}\right)\\
&={l\over m}q^2\left(-{1\over q^2}{\mathrm{d}q\over\mathr...
&=-{l\over m}{\mathrm{d}q\over\mathrm{d}\theta}
</tex>
<tex>
{\mathrm{d}^2r\over\mathrm{d}t^2}&={\mathrm{d} \theta \ov...
{\mathrm{d}\over\mathrm{d}\theta}\left(-{l\over m}{\mathr...
&=-\left({l \over m}\right)^2 q^2{\mathrm{d} ^2 q \over \...
</tex>
となります.よって,(3)は
<tex>
-\left({l\over m}\right)^2q^2{\mathrm{d} ^2 q \over \math...
={l^2\over m^2}q^3-GMq^2
</tex>
と書き直せます. $r>0$ より $q>0$ なので,これを整理して,
<tex>
{\mathrm{d}^2q\over\mathrm{d}\theta ^2}=-q+{GMm^2\over l^...
</tex>
とできます.
この微分方程式は単振動でおなじみの式ですね.そこで,これ...
<tex>
q=A\cos(\theta+\phi)+{GMm^2\over l^2}
</tex>
となります.これを, $r={1\over q}$ で元に戻してあげると,
<tex>
r={{l^2\over GMm^2}\over 1+{Al^2\over GMm^2}\cos(\theta+\...
</tex>
となります.これは,極座標で表した時の円錐曲線の方程式
<tex>
r={l\over 1+e\cos\theta}
</tex>
そのものですね.
確かに,惑星の運動は円錐曲線を描くことを確認できました.
雑談
=======
これでニュートン型ポテンシャル $V(r)=-G{Mm\over r}$ の中...
結果をみるとこのポテンシャルの中を動く質点の運動は,楕円...
ことがわかりました.つまり,宇宙の果てまで飛んで行ってし...
運動の軌跡は楕円になって閉曲線を描くことがわかります.
実は,このような性質をもつポテンシャルってそんなに沢山は...
ポテンシャル $V(r)$ の中の運動を考えたときに,軌道が有界...
運動の軌道が閉じた曲線になるための必要十分条件は,ポテン...
<tex>
V(r)={1\over 2}kr^2
</tex>
の形をしているか,
<tex>
V(r)=-{k\over r}
</tex>
の形をしていることなのです.なんだか面白そうな定理ですね...
@@author:佑弥@@
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ケプラー運動
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この記事では,重力場中の天体の運動が円錐曲線になることを...
計算がテクニカルなところもありますが,ケプラーの
第一法則がきちんと満たされていることを確認してみましょう.
微分方程式を求める
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まず,解くべき微分方程式を求めましょう.ラグランジュの運...
問題の設定は,大きな天体(質量 $M$ )の周りを小さな小惑星(...
いるとします. $M>>m$ とすると,大きな天体は静止している...
中心力場の問題なので,座標系は,大きな天体を極とする極座...
その時,小惑星の運動エネルギー $T$ は,
<tex>
T={1\over2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)
</tex>
となりますね.一方,ポテンシャルエネルギー $U$ は,
<tex>
U=-G{Mm\over r}
</tex>
です.
よって,この系のラグランジアン $L=T-U$ を求めると,次のよ...
<tex>
L={1\over2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)+G{Mm\over r}
</tex>
これをラグランジュの運動方程式に代入しましょう.まず, $r...
<tex>
{\rm{d}\over\rm{d}t}{\partial L\over\partial \dot{r}}={\p...
</tex>
ゆえに,次式を得ます.
<tex>
m{\mathrm{d}^2r\over\mathrm{d}t^2}=mr\dot{\theta}^2-G{Mm\...
</tex>
次に, $\theta$ について求めますが, ${\partial L\over \p...
<tex>
{\rm{d}\over\rm{d}t}{\partial L\over\partial\dot{\theta}}=0
</tex>
となり,次の角運動量保存則を得ます.( $l$ を全角運動量(定...
<tex>
mr^2\dot{\theta}=l\quad(2)
</tex>
式(1)(2)を連立して,次式を得ます.
<tex>
{\mathrm{d}^2r\over\mathrm{d}t^2}&={l^2\over m^2r^3}-G{M\...
\dot{\theta}&={l\over mr^2}\quad(4)
</tex>
さて,これで解くべき微分方程式が求まりました.これを何と...
運動の軌跡を求める
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さて,これから運動の軌跡を求めたいわけですが,このままで...
そこで,変数変換の出番です.式(3)とか式(4)を見ていると $1...
というわけで,試しに $r={1\over q}$ と変数変換して見まし...
<tex>
\dot{\theta}={l\over m}q^2\quad(5)
</tex>
となります.
次に(3)の左辺について考えて見ますと,
<tex>
{\mathrm{d}r\over\mathrm{d}t}&={\mathrm{d}\theta\over\mat...
\left({\mathrm{d}\over\mathrm{d}\theta}{1\over q}\right)\\
&={l\over m}q^2\left(-{1\over q^2}{\mathrm{d}q\over\mathr...
&=-{l\over m}{\mathrm{d}q\over\mathrm{d}\theta}
</tex>
<tex>
{\mathrm{d}^2r\over\mathrm{d}t^2}&={\mathrm{d} \theta \ov...
{\mathrm{d}\over\mathrm{d}\theta}\left(-{l\over m}{\mathr...
&=-\left({l \over m}\right)^2 q^2{\mathrm{d} ^2 q \over \...
</tex>
となります.よって,(3)は
<tex>
-\left({l\over m}\right)^2q^2{\mathrm{d} ^2 q \over \math...
={l^2\over m^2}q^3-GMq^2
</tex>
と書き直せます. $r>0$ より $q>0$ なので,これを整理して,
<tex>
{\mathrm{d}^2q\over\mathrm{d}\theta ^2}=-q+{GMm^2\over l^...
</tex>
とできます.
この微分方程式は単振動でおなじみの式ですね.そこで,これ...
<tex>
q=A\cos(\theta+\phi)+{GMm^2\over l^2}
</tex>
となります.これを, $r={1\over q}$ で元に戻してあげると,
<tex>
r={{l^2\over GMm^2}\over 1+{Al^2\over GMm^2}\cos(\theta+\...
</tex>
となります.これは,極座標で表した時の円錐曲線の方程式
<tex>
r={l\over 1+e\cos\theta}
</tex>
そのものですね.
確かに,惑星の運動は円錐曲線を描くことを確認できました.
雑談
=======
これでニュートン型ポテンシャル $V(r)=-G{Mm\over r}$ の中...
結果をみるとこのポテンシャルの中を動く質点の運動は,楕円...
ことがわかりました.つまり,宇宙の果てまで飛んで行ってし...
運動の軌跡は楕円になって閉曲線を描くことがわかります.
実は,このような性質をもつポテンシャルってそんなに沢山は...
ポテンシャル $V(r)$ の中の運動を考えたときに,軌道が有界...
運動の軌道が閉じた曲線になるための必要十分条件は,ポテン...
<tex>
V(r)={1\over 2}kr^2
</tex>
の形をしているか,
<tex>
V(r)=-{k\over r}
</tex>
の形をしていることなのです.なんだか面白そうな定理ですね...
@@author:佑弥@@
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