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#rst2hooktail_source
=========================================================...
自然数の約数の和について
=========================================================...
自然数 $x$ の約数の和についての一性質を
書いていきます。 $x$ のすべての約数の和を $f(x)$ とします。
この時、すべての $x$ について、
<tex>
f(x) \leqq mx \tag{##}
</tex>
を満たす $m$ が存在するかどうかを調べるのです。
簡単のため、 $x=a^2 b^4 c^5$ とします。
この時、
この時、約数の和は、
<tex>
\frac{\mathrm{sum \ of\ yakusu\ of\ x}}{x} &= \fra...
&= (1+a+a^2)(1+b+b^2+b^3+b^4)(1+c+c^2+c^3+c^4+c^5)/a^2 b^...
&=\frac{a^3-1}{a-1}\frac{b^5-1}{b-1}\frac{c^6-1}{c-1}/a^2...
&= \frac{1-1/a^3}{1-1/a}\frac{1-1/b^5}{1-1/b}\frac{1-1/c^...
</tex>
ここで、オイラーのゼータ関数を考えます。
<tex>
\zeta(s)=\frac{1}{1-1/2^s}\frac{1}{1-1/3^s}\frac{1}{1-1/5...
</tex>
以上の様に、 $s$ についてのゼータ関数は、素数の関数の無限...
式 $(2)$ と式 $(3)$ を見比べてみると、
式 $(2)$ は、任意の自然数だったので、
式 $(2)$ のような形をした関数がとる最大値と考えてよいこと...
ここからは、 $x$ は任意より $x=2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11...
という全ての素数の積とします。
式 $(2)$ は下からおさえることができて、
<tex>
f(x) &= \frac{1}{1-1/2} \frac{1}{1-1/3}\frac{1}{1-1/5} \c...
&= \zeta(1) \times \frac{1}{\zeta(2)} \\
&= \infty \times \frac{6}{\pi^2} \tag{##}
</tex>
となります [*]_ 。
.. [*] ちなみに、 $\zeta(1)=\infty \ , \ \zeta(2)=\frac...
よって、式 $(1)$ を満たす $m$ は、存在しないことが分かり...
それでは今日は、この辺で。
@@author:K.I.、クロメル@@
@@accept:2010-01-16@@
@@category:物理数学@@
@@id:sumOfDivisors@@
終了行:
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自然数の約数の和について
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自然数 $x$ の約数の和についての一性質を
書いていきます。 $x$ のすべての約数の和を $f(x)$ とします。
この時、すべての $x$ について、
<tex>
f(x) \leqq mx \tag{##}
</tex>
を満たす $m$ が存在するかどうかを調べるのです。
簡単のため、 $x=a^2 b^4 c^5$ とします。
この時、
この時、約数の和は、
<tex>
\frac{\mathrm{sum \ of\ yakusu\ of\ x}}{x} &= \fra...
&= (1+a+a^2)(1+b+b^2+b^3+b^4)(1+c+c^2+c^3+c^4+c^5)/a^2 b^...
&=\frac{a^3-1}{a-1}\frac{b^5-1}{b-1}\frac{c^6-1}{c-1}/a^2...
&= \frac{1-1/a^3}{1-1/a}\frac{1-1/b^5}{1-1/b}\frac{1-1/c^...
</tex>
ここで、オイラーのゼータ関数を考えます。
<tex>
\zeta(s)=\frac{1}{1-1/2^s}\frac{1}{1-1/3^s}\frac{1}{1-1/5...
</tex>
以上の様に、 $s$ についてのゼータ関数は、素数の関数の無限...
式 $(2)$ と式 $(3)$ を見比べてみると、
式 $(2)$ は、任意の自然数だったので、
式 $(2)$ のような形をした関数がとる最大値と考えてよいこと...
ここからは、 $x$ は任意より $x=2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11...
という全ての素数の積とします。
式 $(2)$ は下からおさえることができて、
<tex>
f(x) &= \frac{1}{1-1/2} \frac{1}{1-1/3}\frac{1}{1-1/5} \c...
&= \zeta(1) \times \frac{1}{\zeta(2)} \\
&= \infty \times \frac{6}{\pi^2} \tag{##}
</tex>
となります [*]_ 。
.. [*] ちなみに、 $\zeta(1)=\infty \ , \ \zeta(2)=\frac...
よって、式 $(1)$ を満たす $m$ は、存在しないことが分かり...
それでは今日は、この辺で。
@@author:K.I.、クロメル@@
@@accept:2010-01-16@@
@@category:物理数学@@
@@id:sumOfDivisors@@
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