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剛体のオイラー角でのハミルトニアンを解く
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剛体の回転シリーズ番外編3です。
せっかく番外編2で剛体のハミルトニアンを求めたので、
剛体のハミルトニアンを解いて剛体の運動方程式を導いてみま...
復習
===================
まず、ハミルトニアンを確認します。
剛体のハミルトニアンを次のようなものでした。
<tex>
H &=\frac{1}{2 I_x \sin^2 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta...
&+ \frac{1}{2 I_y \sin^2 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta ...
&+ \frac{p_\psi^2}{2 I_z} \tag{##}
</tex>
パラメータ $\lambda$ に対して、
<tex>
\dot{\lambda} = \frac{\partial H}{\partial p_\lambda} \ta...
</tex>
<tex>
\dot{p}_\lambda = - \frac{\partial H}{\partial \lambda} \...
</tex>
です。
それでは、さっそく式 $(2)$ を求めてみましょう。
<tex>
\dot{\phi} &= \frac{\partial H}{\partial p_\phi} \\
&= \frac{1}{I_x \sin^2 \theta} \cos \psi \{ (p_\phi - \co...
&+ \frac{1}{I_y \sin^2 \theta} \sin \psi \{ (p_\phi - \co...
\tag{##}
</tex>
ここで、次のように $\alpha , \beta , \gamma$ を定義します。
<tex>
\alpha = \frac{\cos^2 \psi}{I_x}+\frac{\sin^2 \psi}{I_y} ...
</tex>
<tex>
\beta = \frac{1}{I_y}-\frac{1}{I_x} \tag{##}
</tex>
<tex>
\gamma = \frac{\sin^2 \psi}{I_x}+ \frac{\cos^2 \psi}{I_y}...
</tex>
すると、式 $(4)$ は、次のようになります。
<tex>
\dot{\phi} &= \frac{1}{\sin^2 \theta}\alpha \ p_\phi +\fr...
&- \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}\alpha \ p_\phi \tag{...
</tex>
まずは $p_\phi$ から、これはハミルトニアンが $\phi$ を含...
<tex>
\dot{p}_\phi = -\frac{\partial H}{\partial \phi} = 0
</tex>
次に、 $p_\theta$ 。これは、難しいです。
<tex>
\dot{p}_\theta &= - \frac{\partial H}{\partial \theta} \\
&= \frac{\cos \theta}{I_x \sin^3 \theta}\{ (p_\phi - \cos...
&- \frac{1}{I_x \sin^2 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta p_...
(\cos \psi \sin \theta p_\psi - \cos \theta \sin \psi p_\...
&+ \frac{\cos \theta}{I_y \sin^3 \theta}\{ (p_\phi - \cos...
&- \frac{1}{I_y \sin^2 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta p_...
(\sin \psi \sin \theta p_\psi + \cos \theta \cos \psi p_\...
</tex>
すると、式 $(4)$ の続きは、
<tex>
\dot{p}_\theta &= \frac{\cos \theta}{\sin^3 \theta}\alpha...
&+ \frac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{\sin^2 \theta}\...
&- \frac{1 + \cos^2 \theta}{\sin^3 \theta} \alpha \ p_\p...
&+ 0 \times p_\theta^2 \\
&- \frac{\sin \psi \cos \psi}{\sin^2 \theta} \beta \ p_\...
&+ \frac{\cos \theta}{\sin^3 \theta} \alpha \ p_\psi^2 \...
</tex>
式 $(8)$ を行列を使って表すと、
<tex>
\dot{p}_\theta &= \begin{pmatrix} p_\phi & p_\theta & p_\...
\begin{pmatrix}
\frac{\cos \theta}{\sin^3 \theta}\alpha & \frac{\sin \psi...
\frac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{2\sin^2 \theta}\be...
-\frac{1 + \cos^2 \theta}{2\sin^3 \theta}\alpha & -\frac{...
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} p_\phi \\
p_\theta \\
p_\psi
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
@@author:クロメル@@
@@accept:2010-03-03@@
@@category:力学@@
@@id:equationOfRigidHamiltonian@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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剛体のオイラー角でのハミルトニアンを解く
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剛体の回転シリーズ番外編3です。
せっかく番外編2で剛体のハミルトニアンを求めたので、
剛体のハミルトニアンを解いて剛体の運動方程式を導いてみま...
復習
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まず、ハミルトニアンを確認します。
剛体のハミルトニアンを次のようなものでした。
<tex>
H &=\frac{1}{2 I_x \sin^2 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta...
&+ \frac{1}{2 I_y \sin^2 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta ...
&+ \frac{p_\psi^2}{2 I_z} \tag{##}
</tex>
パラメータ $\lambda$ に対して、
<tex>
\dot{\lambda} = \frac{\partial H}{\partial p_\lambda} \ta...
</tex>
<tex>
\dot{p}_\lambda = - \frac{\partial H}{\partial \lambda} \...
</tex>
です。
それでは、さっそく式 $(2)$ を求めてみましょう。
<tex>
\dot{\phi} &= \frac{\partial H}{\partial p_\phi} \\
&= \frac{1}{I_x \sin^2 \theta} \cos \psi \{ (p_\phi - \co...
&+ \frac{1}{I_y \sin^2 \theta} \sin \psi \{ (p_\phi - \co...
\tag{##}
</tex>
ここで、次のように $\alpha , \beta , \gamma$ を定義します。
<tex>
\alpha = \frac{\cos^2 \psi}{I_x}+\frac{\sin^2 \psi}{I_y} ...
</tex>
<tex>
\beta = \frac{1}{I_y}-\frac{1}{I_x} \tag{##}
</tex>
<tex>
\gamma = \frac{\sin^2 \psi}{I_x}+ \frac{\cos^2 \psi}{I_y}...
</tex>
すると、式 $(4)$ は、次のようになります。
<tex>
\dot{\phi} &= \frac{1}{\sin^2 \theta}\alpha \ p_\phi +\fr...
&- \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}\alpha \ p_\phi \tag{...
</tex>
まずは $p_\phi$ から、これはハミルトニアンが $\phi$ を含...
<tex>
\dot{p}_\phi = -\frac{\partial H}{\partial \phi} = 0
</tex>
次に、 $p_\theta$ 。これは、難しいです。
<tex>
\dot{p}_\theta &= - \frac{\partial H}{\partial \theta} \\
&= \frac{\cos \theta}{I_x \sin^3 \theta}\{ (p_\phi - \cos...
&- \frac{1}{I_x \sin^2 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta p_...
(\cos \psi \sin \theta p_\psi - \cos \theta \sin \psi p_\...
&+ \frac{\cos \theta}{I_y \sin^3 \theta}\{ (p_\phi - \cos...
&- \frac{1}{I_y \sin^2 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta p_...
(\sin \psi \sin \theta p_\psi + \cos \theta \cos \psi p_\...
</tex>
すると、式 $(4)$ の続きは、
<tex>
\dot{p}_\theta &= \frac{\cos \theta}{\sin^3 \theta}\alpha...
&+ \frac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{\sin^2 \theta}\...
&- \frac{1 + \cos^2 \theta}{\sin^3 \theta} \alpha \ p_\p...
&+ 0 \times p_\theta^2 \\
&- \frac{\sin \psi \cos \psi}{\sin^2 \theta} \beta \ p_\...
&+ \frac{\cos \theta}{\sin^3 \theta} \alpha \ p_\psi^2 \...
</tex>
式 $(8)$ を行列を使って表すと、
<tex>
\dot{p}_\theta &= \begin{pmatrix} p_\phi & p_\theta & p_\...
\begin{pmatrix}
\frac{\cos \theta}{\sin^3 \theta}\alpha & \frac{\sin \psi...
\frac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{2\sin^2 \theta}\be...
-\frac{1 + \cos^2 \theta}{2\sin^3 \theta}\alpha & -\frac{...
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} p_\phi \\
p_\theta \\
p_\psi
\end{pmatrix}
\tag{##}
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@@author:クロメル@@
@@accept:2010-03-03@@
@@category:力学@@
@@id:equationOfRigidHamiltonian@@
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