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=========================================================...
角運動量
=========================================================...
剛体の回転シーリズ第2弾です。前の記事は ベクトルのモー...
角運動量の従う式
=========================
ニュートンの力学第二法則は、
<tex>
\bm{F}=m\frac{d^2\bm{r}}{dt^2}=\frac{d\bm{p}}{dt} \tag{1}
</tex>
でした。
適当に座標を決めて、
この式の両辺のモーメントをとってみますと、
<tex>
\bm{r} \times \bm{F}=\bm{r} \times \frac{d\bm{p}}{dt}
</tex>
この式の左辺は力のモーメント(トルク)であり、
<tex>
\bm{N}= \bm{r} \times \bm{F} \tag{2}
</tex>
右辺は、次に示す通り角運動量の時間微分です。
<tex>
\bm{r} \times \frac{d\bm{p}}{dt} &= \frac{d}{dt}(\bm{r} \...
&= \frac{d}{dt}(\bm{r} \times \bm{p})- m \bm{v} \times ...
&= \frac{d}{dt}(\bm{r} \times \bm{p})
</tex>
よって、角運動量とトルクの関係
<tex>
\bm{N}=\frac{d\bm{L}}{dt} \tag{3}
</tex>
が導かれるわけです。
角運動量保存の法則
===============================
いま導いた式のトルクがゼロの時、角運動量は保存量になりま...
式 $(2)$ を見れば、これは $ \bm{F}=0 $ の時か、加わる力が...
特に後者の時、働く力のことを中心力といいます。
今、 $ \bm{r} $ と $ \bm{p} $ が $ xy $ 平面内にあるとき...
この時角運動量は $ z $ 軸方向にあり、 $ z $ 軸方向単位ベ...
極座標を用いて、
<tex>
\bm{L}=mrv_\theta \hat{\bm{z}}= mr^2\Dot{\theta} \hat{\bm...
</tex>
$ v_\theta $ は、速度 $ \bm{v} $ の $ \theta $ 方向成分で...
角運動量ベクトルは中心力なので保存しますから、最初の値か...
面積速度一定の法則
========================
ここで $\bm{L}$ という量が面積速度という概念と結びつくこ...
.. image:: chromel-angularMomentum-01-t.png
.. image:: chromel-angularMomentum-02-t.png
面積速度とは原点 $ O $ と質点を結ぶ線分が単位時間当たりに...
$ \bm{r} $ と $ \bm{v} $ のなす角度を $ \phi $ とすれば、
<tex>
\bm{S}= \bm{r} \times \bm{v} \\
|\bm{S}|=\frac{1}{2}|\bm{r}|\ |\bm{v}|\sin \phi
</tex>
となります。上の図では時間中に接線速度ベクトルが変化して...
これは点 $ P $ における瞬間的な面積速度と考えれば正確に一...
さて、図を見れば $\bm{L}$ を $ 2m $ で割ってやれば $ \bm{...
つまり、角運動量保存の法則は、面積速度は一定になることと...
.. _ベクトルのモーメントとトルク角運動量: http://www12.pl...
@@author:クロメル@@
@@accept:2007-03-23@@
@@category:力学@@
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角運動量
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剛体の回転シーリズ第2弾です。前の記事は ベクトルのモー...
角運動量の従う式
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ニュートンの力学第二法則は、
<tex>
\bm{F}=m\frac{d^2\bm{r}}{dt^2}=\frac{d\bm{p}}{dt} \tag{1}
</tex>
でした。
適当に座標を決めて、
この式の両辺のモーメントをとってみますと、
<tex>
\bm{r} \times \bm{F}=\bm{r} \times \frac{d\bm{p}}{dt}
</tex>
この式の左辺は力のモーメント(トルク)であり、
<tex>
\bm{N}= \bm{r} \times \bm{F} \tag{2}
</tex>
右辺は、次に示す通り角運動量の時間微分です。
<tex>
\bm{r} \times \frac{d\bm{p}}{dt} &= \frac{d}{dt}(\bm{r} \...
&= \frac{d}{dt}(\bm{r} \times \bm{p})- m \bm{v} \times ...
&= \frac{d}{dt}(\bm{r} \times \bm{p})
</tex>
よって、角運動量とトルクの関係
<tex>
\bm{N}=\frac{d\bm{L}}{dt} \tag{3}
</tex>
が導かれるわけです。
角運動量保存の法則
===============================
いま導いた式のトルクがゼロの時、角運動量は保存量になりま...
式 $(2)$ を見れば、これは $ \bm{F}=0 $ の時か、加わる力が...
特に後者の時、働く力のことを中心力といいます。
今、 $ \bm{r} $ と $ \bm{p} $ が $ xy $ 平面内にあるとき...
この時角運動量は $ z $ 軸方向にあり、 $ z $ 軸方向単位ベ...
極座標を用いて、
<tex>
\bm{L}=mrv_\theta \hat{\bm{z}}= mr^2\Dot{\theta} \hat{\bm...
</tex>
$ v_\theta $ は、速度 $ \bm{v} $ の $ \theta $ 方向成分で...
角運動量ベクトルは中心力なので保存しますから、最初の値か...
面積速度一定の法則
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ここで $\bm{L}$ という量が面積速度という概念と結びつくこ...
.. image:: chromel-angularMomentum-01-t.png
.. image:: chromel-angularMomentum-02-t.png
面積速度とは原点 $ O $ と質点を結ぶ線分が単位時間当たりに...
$ \bm{r} $ と $ \bm{v} $ のなす角度を $ \phi $ とすれば、
<tex>
\bm{S}= \bm{r} \times \bm{v} \\
|\bm{S}|=\frac{1}{2}|\bm{r}|\ |\bm{v}|\sin \phi
</tex>
となります。上の図では時間中に接線速度ベクトルが変化して...
これは点 $ P $ における瞬間的な面積速度と考えれば正確に一...
さて、図を見れば $\bm{L}$ を $ 2m $ で割ってやれば $ \bm{...
つまり、角運動量保存の法則は、面積速度は一定になることと...
.. _ベクトルのモーメントとトルク角運動量: http://www12.pl...
@@author:クロメル@@
@@accept:2007-03-23@@
@@category:力学@@
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