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単振動　〜等速円運動の射影〜
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:Author: tomo et al.@物理のかぎプロジェクト
:Date: 2005-07-04

単振動 [*]_ は，物理学のいろいろな場面で登場する重要な運動です．ばねの運動で登場したり，
振り子の運動で登場したり，はたまた電気振動なんていうものもあります．
以下では，等速円運動の射影として単振動を紹介し，速度や加速度についてもみていきます． 等速円運動_ についてまだ学習していない人は，そちらからご覧下さい．

.. [*] 
 「単振動」という表現の他に，「調和振動」という表現もよく使います．「単振動」と「（1次元）調和振動」は同じものを指します．また，「調和振動子」と言った場合には，振動しているもの（振動の性質をもつもの）を指します．

単振動は等速円運動の射影だ
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半径 |7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29| の円周上を運動する 等速円運動_ を考えます．分かりやすいように， |19d59c7d61b117f2865b20b59c8b70f7| 平面状に原点を中心とする
半径 |7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29| の円を描いておきます．物体は時刻 |3e8f7b0adf6d7024b951f29a18225e4a| のとき点 |a3e6772fee4e56a296c4a761437a93fb| を出発して，角速度 |260b57b4fdee8c5a001c09b555ccd28d| で運動します．

..  figure:: tomo-shm-fig1.png

この等速円運動について， |415290769594460e2e485922904f345d| 軸への射影を考えてみましょう．時間を追って図を描くと，以下のようになります（ |b9ece18c950afbfa6b0fdbfa4ff731d3| は周期）．

- |4323b9c67685c293f9dc53085ab098a6|

..  figure:: tomo-shm-fig2.png

- |93cac4c656a958f2e5c9c5f11f0a6de2|

..  figure:: tomo-shm-fig3.png

- |60f0c2f972a9748be240203883696897|

..  figure:: tomo-shm-fig4.png

- |e2ba7f59a04b059071e8e950dacadcb0|

..  figure:: tomo-shm-fig5.png

この |415290769594460e2e485922904f345d| 軸への射影こそが，単振動だというわけです．

変位はどのように表されるか
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変位 |415290769594460e2e485922904f345d| がどのように表されるか，考えてみましょう．時刻 |3e8f7b0adf6d7024b951f29a18225e4a| のとき
点 |a3e6772fee4e56a296c4a761437a93fb| を出発して，角速度 |260b57b4fdee8c5a001c09b555ccd28d| で運動した場合， |3561d94b4ac71d35620d338eab3c9e6f| 後には以下のようになっているはずです．

..  figure:: tomo-shm-fig6.png

つまり，変位 |415290769594460e2e485922904f345d| は，

.. raw:: latex

  \begin{align*}y=A\sin \omega t\end{align*}


と表されることになります． |7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29| のことを「振幅」， |88265cd42f61bdf16ef2bd9fada9d5cd| の中身（ここでは |b690ac1408796734e8517f49d9c240f2| ）のことを「位相」と呼びます．

速度と加速度はどのように表されるか
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単振動の速度 |92638bfa140b97edb7a208f01f1e78b4| と単振動の加速度 |049526a86f30148986edffdb4168e359| はどのようになっているでしょうか．
図で示すと以下のようになります．速度 |9e3669d19b675bd57058fd4664205d2a| ，加速度 |0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661| を，変位と同様に |415290769594460e2e485922904f345d| 軸に射影します．

..  figure:: tomo-shm-fig7.png

|ce6600efefc65d6f0af9c5a603ade8f4| を |415290769594460e2e485922904f345d| 軸に射影して，

.. raw:: latex

  \begin{align*}v_y=r\omega \cos \omega t\end{align*}


|5f4227f51fa6324286d9be63b4c05534| を |415290769594460e2e485922904f345d| 軸に射影して，

.. raw:: latex

  \begin{align*}a_y=-r\omega ^2 \sin \omega t\end{align*}


となります．また，位相の部分を |7937416e966256c6150cba6a46556d82| （説明は 等速円運動_ を参照）を用いて，

.. raw:: latex

  \begin{align*}y=A\sin \frac{2\pi}{T}t\end{align*}


.. raw:: latex

  \begin{align*}v_y=A\omega \cos \frac{2\pi}{T}t\end{align*}


.. raw:: latex

  \begin{align*}a_y=-A\omega ^2 \sin \frac{2\pi}{T}t\end{align*}


と書き換えることができます． |415290769594460e2e485922904f345d| ， |92638bfa140b97edb7a208f01f1e78b4| ， |049526a86f30148986edffdb4168e359| を並べてグラフに描くと以下のようになります．

..  figure:: tomo-shm-fig8.png

補足
~~~~~~~~~~~~~

高等学校の物理では微積分が出てきませんが，

.. raw:: latex

  \begin{align*}v_y=\frac{dy}{dt}\end{align*}


.. raw:: latex

  \begin{align*}a_y=\frac{dv_y}{dt}=\frac{d^2y}{dt^2}\end{align*}


という関係が成り立っています．

.. _等速円運動: ../circularMotion/index.html
.. |7937416e966256c6150cba6a46556d82| raw:: latex

  $\omega =\frac{2\pi}{T}$


.. |5f4227f51fa6324286d9be63b4c05534| raw:: latex

  $a=A\omega ^2$


.. |ce6600efefc65d6f0af9c5a603ade8f4| raw:: latex

  $v=A\omega$


.. |0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661| raw:: latex

  $a$


.. |9e3669d19b675bd57058fd4664205d2a| raw:: latex

  $v$


.. |049526a86f30148986edffdb4168e359| raw:: latex

  $a_y$


.. |92638bfa140b97edb7a208f01f1e78b4| raw:: latex

  $v_y$


.. |b690ac1408796734e8517f49d9c240f2| raw:: latex

  $\omega t$


.. |88265cd42f61bdf16ef2bd9fada9d5cd| raw:: latex

  $\sin $


.. |3561d94b4ac71d35620d338eab3c9e6f| raw:: latex

  $t[{\rm s}]$


.. |e2ba7f59a04b059071e8e950dacadcb0| raw:: latex

  $t=T$


.. |60f0c2f972a9748be240203883696897| raw:: latex

  $t=\frac{3}{4}T$


.. |93cac4c656a958f2e5c9c5f11f0a6de2| raw:: latex

  $t=\frac{1}{2}T$


.. |4323b9c67685c293f9dc53085ab098a6| raw:: latex

  $t=\frac{1}{4}T$


.. |b9ece18c950afbfa6b0fdbfa4ff731d3| raw:: latex

  $T$


.. |415290769594460e2e485922904f345d| raw:: latex

  $y$


.. |260b57b4fdee8c5a001c09b555ccd28d| raw:: latex

  $\omega$


.. |a3e6772fee4e56a296c4a761437a93fb| raw:: latex

  $(A, 0)$


.. |3e8f7b0adf6d7024b951f29a18225e4a| raw:: latex

  $t=0$


.. |19d59c7d61b117f2865b20b59c8b70f7| raw:: latex

  $x-y$


.. |7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29| raw:: latex

  $A$