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特別な性質を持つ演算子
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量子力学に出てくる演算子の中には，特別な性質を持ったものがいくつかあります．
その性質と名称を一緒に覚えましょう．

共役演算子とは
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<tex>(\phi, X\psi)=(Y\phi, \psi)</tex>

を満たす演算子 $Y$ のことを，演算子 $X$ の共役演算子といいます．このとき，

<tex>Y=X^{\dagger}</tex>

と書きます．


エルミート演算子とは
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<tex>X^{\dagger}=X</tex>

つまり，

<tex>(\phi, X\psi)=(X\phi, \psi)</tex>

を満たす演算子 $X$ のことを，エルミート演算子といいます．

エルミート演算子の固有値
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エルミート演算子 $X$ に対して，

<tex>Xu_n=nu_n</tex>

という固有値方程式を考えます（固有関数が $u_n$ で固有値が $n$ ）．この式で， $u_n$ との内積を取ると，

<tex>n(u_n, u_n)=(u_n, nu_n)=(u_n, Xu_n)=(X^{\dagger}u_n, u_n)=(Xu_n, u_n)=(nu_n, u_n)=n^{*}(u_n, u_n)</tex>

となります．これから，「エルミート演算子の固有値は実数（ $n^{*}=n$ ）である」ことが分かります．

エルミート演算子の異なる固有値に対する固有関数
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エルミート演算子 $X$ に対して，

<tex>Xu_n=nu_n</tex>

という固有値方程式を考えます（固有関数が $u_n$ で固有値が $n$ ）．この式で，

<tex>Xu_m=mu_m(n\neq m)</tex>

を満たす $u_m$ との内積を取ると，

<tex>n(u_m, u_n)=(u_m, nu_n)=(u_m, Xu_n)=(X^{\dagger}u_m, u_n)=(Xu_m, u_n)=(mu_m, u_n)=m(u_m, u_n)</tex>

より，

<tex>(n-m)(u_m, u_n)=0</tex>

となります．ここで， $n\neq m$ から，

<tex>(u_m, u_n)=0</tex>

が得られ，「エルミート演算子の異なる固有値に対する固有関数は直交する」ことが分かります．

ユニタリー演算子とは
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単位行列を $E$ としたとき，

<tex>X^{\dagger}X=XX^{\dagger}=E</tex>

を満たす演算子 $X$ のことを，ユニタリー演算子といいます．

@@author: tomo@@
@@accept: 2004-12-15@@