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ガウス積分の公式
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物理を学んでいると、頻繁に出てくる積分というのがあります。
その一つが *ガウス積分* です。

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ガウス積分
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ガウス積分とは、つぎのような式で書かれる積分のことです。

<tex>
I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2} dx  \tag{1}
</tex>

ここで $x$ は実数、 $a$ は正の定数です。

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ガウス積分の公式
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ふつうガウス積分は、公式として扱われることが多いです。
ガウス積分の公式はつぎのようなものです。
<tex>
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}  \tag{2}
</tex>

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ガウス積分の公式の証明
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いくら公式だとはいっても、一度は本当にそうなることを確認しておきたいものです。
この公式の証明は院試で頻出ですので、その道を目指す方は覚えておくと良いでしょう。

まず、左辺の積分値を $I$ とします。 $I$ は被積分関数の関数形から、定義域が $I > 0$ であることがわかります。 $I$ は、
<tex>
I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2} dx
</tex>
と書いても、
<tex>
I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a y^2} dy
</tex>
と書いても、積分値に変わりはありませんね。

したがって、
<tex>
I^2 & = \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2} dx \right)^2 \\
    & = \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2} dx \right) \cdot \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a y^2} dy \right) \\
    & = \int_{-\infty}^{\infty} dx \int_{-\infty}^{\infty} dy \ e^{- a (x^2 + y^2)} \tag{3}
</tex>
と変形していくことができます。

ここで $x = r \sin \theta$ 、 $y = r \cos \theta$ と変数変換をします。また、無限遠で積分領域を矩形から円形へと変形します。被積分関数が無限遠で速やかに0に収束することから、このようにしても積分値は変わりません。すると (3) 式は、
<tex>
I^2 & = \int_0^{\infty} r dr \int_0^{2\pi} d\theta \ e^{-a r^2} \tag{4}
</tex>
と書けます。 $\theta$ については積分を実行することができて、さらに式変形をしていくと
<tex>
I^2 & = 2 \pi \int_0^{\infty} r dr \ e^{-a r^2} \\
    & = 2 \pi \int_0^{\infty} d\left( \frac{r^2}{2} \right) \ e^{-a r^2} \\
    & = \pi \left[ -\frac{1}{a} e^{-a t} \right]_{t = 0}^{t = \infty} \\
    & = \frac{\pi}{a} \tag{5}
</tex>
となります。ただし 2行目から 3行目で見やすいように、積分変数 $r^2$ を $t$ に置換しています。
$I > 0$ なので、正の値のみをとって
<tex>
I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \tag{6}
</tex>
となり、ガウス積分の公式を得ることができました。

@@author: CO@@
@@accept: 2004-12-12@@