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部分積分
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積分公式を一番よく覚えているのは大学入試直前ではないでしょうか．
大学生以上になると授業での演習量が減るのでどんどん忘れて行きます．
授業の最後にたまに演習問題があることがあるんですが，
部分積分がさっぱり分からなくなっていて問題が解けなかったので復習しました．


部分積分の公式
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つぎの積分公式

$\displaystyle \int f'(x)g(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\,dx$

を部分積分といいます．2つの関数のかけ算になっている被積分関数の1つ
（この場合は f(x) ）だけを部分的に積分するので部分積分といいます．
定積分の場合は

$\displaystyle \int_a^b f'(x)g(x)\,dx=\left[f(x)g(x)\right]_a^b-\int_a^b f(x)g'(x)\,dx$

となります．それぞれの公式の証明は教科書に書いてあると思いますが，
部分積分の公式は覚えておくべきです．
これだけではよく分からないので例題をみて行きましょう．


例題1： exx の積分
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つぎの積分

$\displaystyle \int e^xx\,dx$

を実行せよ．

解
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被積分関数がかけ算になっています．

$\displaystyle \int e^x\,dx=e^x ,\quad \int x\,dx=\frac{1}{2}x^2$

ですから，1つずつなら簡単ですが，かけ算だとどうしていいか分かりません．